楊　昭　李文銘?。兾鲙煼洞髮W(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院　710062）

淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)

楊昭李文銘（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院710062）

摘要：逆向思維是一種創(chuàng)造性的思維方式。數(shù)學(xué)作為一門較抽象的學(xué)科，在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力方面有著十分重要的作用。本文通過介紹在教學(xué)中加強學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、定理的逆運用及對逆向思維解題技巧的掌握，并結(jié)合分析法和反證法，探討教師如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力。

關(guān)鍵詞：逆向思維初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.155

正向思維一般是指傳統(tǒng)的、邏輯的、習(xí)慣的思維方向，它在我們的生活和學(xué)習(xí)中經(jīng)常采用。而逆向思維則是一種反向思維，它要求人們要善于從事物的正、反兩個方向去思考問題，把一些原來一直如此的事物顛倒過來思考，從而認(rèn)識事物的相反方面，揭示不同的現(xiàn)象，獲得不同的效果，進(jìn)而從中發(fā)現(xiàn)新的原理、新的方法、新的結(jié)構(gòu)、新的思路。逆向思維在創(chuàng)新活動的過程中發(fā)揮著重要的作用，運用逆向思維去思考和處理問題，實際上就是以“出奇”去達(dá)到“制勝”。

在初中數(shù)學(xué)中存在許多互逆運算，如：加減、乘除、乘方與開方等。它們都是相輔相成的。要真正學(xué)好數(shù)學(xué)，靈活解決數(shù)學(xué)問題，正向思維和逆向思維都不可或缺。然而初中生由于受到思維定勢的影響，在解決數(shù)學(xué)問題時普遍習(xí)慣于從問題的正面入手。長此以往，便會造成學(xué)生的解題思路狹窄、思維僵化，不利于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

作為初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要有意識地加強逆向思維的訓(xùn)練，打破學(xué)生的思維定勢。從基本的初中數(shù)學(xué)教材入手，尋找其中能夠用于培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的素材，并重視對其在課堂中的講解，使這些材料充分發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的作用。同時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生積極思考，使學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，這樣既鍛煉了學(xué)生的思維靈活性，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

一、加強學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的逆運用

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說理解難度較大。如果教師在教學(xué)之初，僅注重對概念的一個方面進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生在今后的應(yīng)用中也會只單一的重視從這一方面進(jìn)行思考。學(xué)生沒有完整掌握概念的內(nèi)容，就容易導(dǎo)致理解的偏差，從而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這就要求教師在對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，注重從正反兩方面進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生同時理解概念的正、逆兩種形式。

如學(xué)習(xí)“相反數(shù)”概念時，教師可考慮從正面提出問題：相反數(shù)是什么？再從反方向提出問題：什么數(shù)的相反數(shù)是什么？同時，還可以設(shè)計如下互逆的問題：如果a=-8，那么-a=_____；如果-a=-8，那么a=_____。

又如，在教學(xué)“補角”概念時，教師就可這樣引導(dǎo)學(xué)生從正、逆兩方面來理解此概念：“如果α+β=180°，那么α和β互為補角”；反過來：“如果兩個角α和β互為補角，那么α+β=180°”。

教師通過從正、逆兩個角度巧設(shè)疑問，不僅訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維，同時使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念之初就形成了完整的認(rèn)識。

二、加強學(xué)生對數(shù)學(xué)公式、定理的逆運用

同數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一樣，教師在對數(shù)學(xué)公式、定理的教學(xué)中也應(yīng)有意識地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識和習(xí)慣，幫助學(xué)生從僅使用正向思維過渡到同時使用正、逆雙向思維，克服長期思維定勢導(dǎo)致的思維刻板，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

如，教師在幫助學(xué)生理解方差公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]時，可從正向告訴學(xué)生，這些字母代表的含義，也可以通過例子逆向幫助學(xué)生強化公式的意義，如展示例題：一組數(shù)據(jù)的方差是S2=[（x1-4）2+（x2-4）2+（x3-4）2…+（x10-4）2]，則這組數(shù)據(jù)共有多少個？平均數(shù)是多少？

三、貫穿對逆向思維解題技巧的訓(xùn)練

逆向思維不是靠教師“教出來”的，是學(xué)生在各個教學(xué)環(huán)節(jié)中不斷親身經(jīng)歷、不斷鍛煉，不斷積累而形成的。因此，教師要堅持在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷滲透逆向思維解題的方法，合理利用練習(xí)題，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，從而逐步提升學(xué)生的逆向思維能力。以下就從三個方面舉例說明，利用練習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維解題技巧。

（一）逆用運算律

例1：計算129×（-63）+129×58-10×129-94× 71+79×71。

此題看似復(fù)雜，涉及乘法分配律的逆運用，對于初學(xué)有理數(shù)混合運算的學(xué)生有一定難度，教師可引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察題目特點，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題可通過幾次逆用乘法分配律大大簡化運算。

解：原式=129×（-63+58-10）+71×（-94+79）（乘法分配律的逆用）

=129×（-15）+71×（-15）

=（129+71）×（-15）（乘法分配律的逆用）

=200×（-15）

=-3000

（二）逆序思考問題

例2：已知方程2x2+（p-2）x+=0的兩個根分別為某正方形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑，求p的值。

分析：若按正向思維，應(yīng)得關(guān)于p的方程

但解此方程非常麻煩。如果逆向思考，設(shè)正方形內(nèi)切圓半徑為r，則外接圓半徑為r，由根與系數(shù)的關(guān)系得：

（三）從問題的對立面入手

例3，若下列兩個方程x2-2（a-1）x+（a2+3）= 0；x2-2ax+a2-2a+4=0至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍。此題若從正面著手，則情況較多。相反，如果我們從至少有一個方程有實數(shù)根的對立面，即兩個方程都沒有實數(shù)根考慮，則得到以下解法：

解不等式組：

得-1

此題由于采用了逆向思維，解法變得如此簡捷。

四、分析法

分析法是一種執(zhí)果索因的逆向思維過程，指從要證的結(jié)論出發(fā)，逆向?qū)で笫顾闪⒌臈l件，直到歸結(jié)為判定一個顯然成立的條件為止，從而證明論點的正確性、合理性的論證方法。運用分析法解決問題，便于學(xué)生理清題設(shè)與結(jié)論之間的復(fù)雜關(guān)系，通過逆向思維獲得解題的思路。

例4：已知如圖1，△ABD與△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC。

圖1

分析：在這道題中，教師可用問答的形式