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一類NLSE方程的精確行波解*

高芳，馬銳，熊梅

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 云南 650021)

摘要：通過行波變換將一類非線性薛定諤方程及其推廣形式轉(zhuǎn)化為常微分方程動力系統(tǒng)，求出其奇點(diǎn)，并討論其類型；計(jì)算出系統(tǒng)的哈密爾頓量，并運(yùn)用Maple軟件，畫出了系統(tǒng)的奇點(diǎn)和相圖；求出動力系統(tǒng)的解，并回代求出非線性偏微分方程及其推廣形式的精確行波解.

關(guān)鍵詞：非線性薛定諤方程;推廣形式;動力系統(tǒng);哈密爾頓量;行波解

1非線性薛定諤方程

非線性薛定諤方程(Nonlinear Schr?dinger Equation,NLSE)或方程組在數(shù)學(xué)和物理學(xué)研究中具有廣泛的應(yīng)用[1-2].近年來，因其在海洋研究中的地位而變得十分有意義，人們對如下的非線性薛定諤方程[3]討論較多：

(1)

其中x是傳播距離，t是轉(zhuǎn)化變量.應(yīng)用行波法，Akhmediev N等[4]求解出方程的怪波解.本文運(yùn)用動力系統(tǒng)行波法[5-8]及Maple軟件求解該非線性薛定諤方程及其推廣形式的精確行波解.

1.1非線性薛定諤方程的行波變換

為了找出此非線性薛定諤方程(NLSE)的解，設(shè)[6]

φ(x,t)=eiη·u(ξ)

其中，ξ=x-ct,η=px+qt.為了簡便起見，將u(ξ)簡寫為u.

由假設(shè)，可以推出

將上式代入(1)式后，分離實(shí)部和虛部，分別令實(shí)部和虛部為零，可得系統(tǒng)

由系統(tǒng)的第一個式子，可知

uξ=0或1-qc=0

1.2動力系統(tǒng)

由上述系統(tǒng)的第二個方程，移項(xiàng)得

這是一個微分動力系統(tǒng)，將動力系統(tǒng)中的兩個式子相除，并變量分離后積分得到

c1是積分常數(shù)，通常令c1=0,可得

(2)

由(2)式，得到一個哈密爾頓量

(3)

1.3奇點(diǎn)類型

在奇點(diǎn)A(0,0)時，有λ2-a=0.

(ii)當(dāng)a<0,b<0時，λ1,2為兩虛根，此時A(0,0)為中心(如圖2所示).

圖1　a>0,b<0時奇點(diǎn)的情況　　　　　　　　　　　 　 圖2　a<0,b<0時奇點(diǎn)的情況

1.4結(jié)果分析

(1)當(dāng)a<0,b<0時，A(0,0)為中心，由(3)式可以得到

1.5結(jié)論

根據(jù)以上分析，得到了方程的精確行波解：

(1)當(dāng)a<0,b<0時

(2)當(dāng)a>0，b<0時

2非線性薛定諤方程的推廣形式

近年來，隨著對非線性薛定諤方程的研究越來越多，它的推廣也變得十分有意義.非線性薛定諤方程的推廣形式如下

(4)

2.1非線性薛定諤方程推廣形式的行波變換

同樣，為了找出此非線性薛定諤方程推廣形式的解，設(shè)

ψ(x,t)=eiη·u(ξ)

其中，ξ=x-ct，η=px+qt.將u(ξ)簡寫為u.

根據(jù)假設(shè)，可以推出

將上式代入(4)式后，兩邊同時消去eiη，分離實(shí)部和虛部后，分別令實(shí)部和虛部為零，就得到一個系統(tǒng)

由系統(tǒng)的第一個式子，有uξ=0或1-qc=0.

情況一，當(dāng)uξ=0成立，解出u=C,其中C是一個常數(shù).

2.2動力系統(tǒng)

由上述系統(tǒng)的第二個方程，得

將此動力系統(tǒng)中的兩個式子相除，變量分離后積分得到

其中，c1是積分常數(shù)，通常令c1=0,可得

(5)

由(5)式，得到一個哈密爾頓量

(6)

2.3奇點(diǎn)類型

在奇點(diǎn)A(0,0)時，有λ2-a=0.

(ii)當(dāng)a<0，b<0時，λ1,2為兩虛根，此時A(0,0)為中心(如圖4所示).

圖3　a>0,b<0時奇點(diǎn)的情況　 　　　　　　　　　 圖4　a<0，b<0時奇點(diǎn)的情況

Fig.3The situation of singular point when a>0andb<0Fig.4The situation of singular point when a<0andb<0

2.4結(jié)果分析

2.5結(jié)論

根據(jù)以上分析，得到了方程的精確行波解：

(1)當(dāng)a<0，b<0時

(2)當(dāng)a>0，b<0時

至此，運(yùn)用動力系統(tǒng)行波法簡單快速求解出了非線性薛定諤方程及其推廣形式的精確解，并利用Maple軟件畫出兩個方程解的三維圖.與其他方法相比，動力系統(tǒng)行波法求解非線性薛定諤方程方法簡單，計(jì)算也可以借助Maple軟件，而且得到的解更加簡潔明了.唯一不足的是，動力系統(tǒng)行波法并不適用于所有的非線性薛定諤方程，必須通過行波法化為哈密爾頓系，否則無法求解.如果對于一些階數(shù)比較高的非線性偏微分方程，因難以求出其奇點(diǎn)，積分問題也難解決.

參考文獻(xiàn):

[1]馮延福，楊慧.一類光學(xué)中的非線性Schr?dinger方程整體解的存在性[J].云南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，32(4)：32-36.

[2]趙強(qiáng)，程秀華，霍葉珂.非線性耦合薛定諤方程組的整體吸引子[J].云南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，23(3)：186-189.

[3]ZAKHAROV V E,SHABAT A B.Exact theory of two-dimensional self-focusing and one dimensional sel-modulation of waves in nonlinear medium[J].Sov.Phys.JETP,1972,34:62.

[4]AKHMEDIEV N,SOTO-CRESPO J M,ANKIEWICZ A.Extreme waves that appear from nowhere:On the nature of rogue waves[J].Physics Letters A,2009,373(25):2137-2145.

[5]LI JIBIN.Solitary and periodic traveling wave solutions in Klein-Gordon-Schr?dinger equations[J].云南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2003，25(3)：176-180.

[6]LI JIBIN.Exact explicit traveling wave solutions for (n+1)-dimensional Klein-Gordon-Zakharov equations[J].Chaos,Solitons and Fractals,2007,34(3):867-871.

[7]ZHANG KELEI,TANG SHENGQIANG,WANG ZHAOJUAN.Bifurcation of traveling wave solutions for the generalized Camassa-Holm-KP equations[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2010,15(3):564-572.

[8]GENG YIXIANG,LI JIBIN.Exact solutions to nonlinearly dispersive Schr?dinger equation[J].Applied Mathematics and Computation,2008,195:420-439.

Exact Travelling Wave Solutions of the Focusing

Nonlinear Schr?dinger Equation

GAO Fang, Ma Rui, XIONG Mei

(College of Statistics and Mathematics,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming 650021,China)

Abstract:To solve the nonlinear Schr?dinger equation,the former had constructed the rogue wave solutions,but they did not give the exact travelling wave solution of it.In this paper,we chance from the focusing nonlinear Schr?dinger equation and its promotion form to dynamical systems by reduce traveling wave system,and discuss the types of the singular points of system after we get the singular points;Then,we divide the system and obtain a Hamilton system.With the help of Maple software,it shows the singular points in the phase portraits clearly;Finally,we take the solutions of dynamical systems back to the focusing nonlinear Schr?dinger equation and its promotion form.There are two forms exact traveling wave solutions of NLSE and its promotion form,and it describes the solutions with three-dimensional graph visually.

Keywords:Dynamical systems; Promotion form; Hamiltonian; Singular points; Phase portraits; Traveling wave solutions

中圖分類號：O24

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-9793(2015)06-0039-06

通信作者：馬銳(1963-)，女，云南昆明人，教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面研究.

作者簡介：高芳(1988-)，女，福建平潭人，碩士研究生，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)方面研究.E-mail:386470769@qq.com.

基金項(xiàng)目：云南省教育廳高等學(xué)校教學(xué)改革研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012019).

收稿日期：*2015-09-23