張　杰,范生宏，劉昌儒，石　磊，管樂鑫

(1.北京衛(wèi)星制造廠，北京100094；

2.清華大學 土木工程系 地球空間信息研究所， 北京 100084；

3.北京普達迪泰科技有限公司， 北京 100083；

4.國家測繪地理信息局衛(wèi)星測繪應用中心， 北京 100830；

5.北京控制工程研究所， 北京 100190 )

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空間后方交會精度分析及實驗驗證

張杰1,范生宏2,3，劉昌儒4，石磊5，管樂鑫5

(1.北京衛(wèi)星制造廠，北京100094；

2.清華大學 土木工程系 地球空間信息研究所， 北京 100084；

3.北京普達迪泰科技有限公司， 北京 100083；

4.國家測繪地理信息局衛(wèi)星測繪應用中心， 北京 100830；

5.北京控制工程研究所， 北京 100190 )

摘要單像空間后方交會是攝影測量計算三維坐標的關鍵步驟，有著嚴密且復雜的數學公式，其內部參數及外部環(huán)境都會成為交會精度的影響因素。針對目前單像空間后方交會求解方法研究較多，而精度評價方面研究較少的現狀，通過對單像空間后方交會理論進行分析，尋找影響交會精度的影響因素，設計各種情況的后方交會實驗，著重研究了像點坐標、物方點坐標、控制場大小和攝影距離對交會精度的影響。通過實驗研究得出這幾種影響因素對交會精度的影響大小和影響趨勢，對于實際工程應用中提高單像空間后方交會精度具有一定的指導意義。

關鍵詞后方交會；精度；分析；像點坐標

Analysis and Verification of Single Image

Space Resection Precision

ZHANG Jie1，FAN Sheng-hong2,3，LIU Chang-ru4,SHI Lei5，GUAN Yue-xin5

(1.BeijingSpacecrafts，Beijing100094，China;

2.DepartmentofCivilEngineering，TsinghuaUniversity，Beijing100084，China;

3.BeijingPRODETECTechnologyInc.，Beijing100083，China;

4.SatelliteSurveyingandMappingApplicationCenter，NASG，Beijing101300，China;

5.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190，China)

AbstractThe single image space resection is a key step in photogrammetry to calculate 3D coordinates，it has a close and complicated mathematical formula，and is susceptible by its internal parameters and external environment.At present，there are more studies on resection solving methods but fewer studies on precision evaluation.This paper studies the factors that influence the resection precision based on single image space resection theory analysis，and designs resection experiments for various situations.The influence of image point coordinates，object space point coordinates，control field size and photogrammetric distance on resection precision is studied in detail.The influence degree and trends of those influence factors on resection precision are obtained from experiments，which has some guiding significance for improving the precision of single image space resection in practical engineering applications.

Key wordsspace resection;precision;analysis;image point coordinates

0引言

單像空間后方交會是攝影測量的基本問題之一，是根據一定數量的控制點及其相應像點坐標解求攝站參數(XS，YS，ZS，ω，φ，κ)的過程，是攝影測量計算三維坐標的關鍵步驟[1,2]?？臻g后方交會的求解就是共線方程線性化平差解算的過程，當前，眾多學者對求解方法進行了研究，直接解法、角錐法以及直接線性變換解法[3，4]等都是常用的方法，但在精度評價方面卻研究甚少，這主要受制于共線方程的復雜性以及實際情況的不可預測性。Lumann[5]采用蒙特卡洛方法，使用大量模擬數據分析了后方交會及其相關轉換的影響因素，得出了一定的結論，對后方交會精度分析進行了初步探討，但實際測量情況復雜萬變，此分析尚不足完全指導實踐。

本文在分析后方交會經典模型的基礎上，結合實際測量環(huán)境，概括總結了影響后方交會精度的內在因素和外在因素，同時進行了后方交會的測試實驗，分析了各種因素對交會精度的影響，并重點闡述了主要因素的影響結果及其規(guī)避措施，以期望對實際工程應用有借鑒作用。

1數學模型分析

空間后方交會是基于單張像片的點位測量，其理想的投影成像模型是幾何光學中的小孔成像模型[6]，如圖1所示。

圖1　中心透視投影

圖1中攝影鏡頭的光學中心為S(攝影中心)，物方控制點P經過S投影到像平面上的像為p′，攝影光軸So與像平面垂直，o稱為主點，So間的距離稱為主距，記為f。

考慮相機畸變，根據幾何透視變換可得共線方程[7，8]：

(1)

式中，Δx，Δy，f為相機內部參數，在相機標定過程中確定，此為后方交會精度的內在影響因素；XS，YS，ZS，(ai，bi，ci)(i=1，2，3)為攝影成像參數，空間后方交會時確定。

將式(1)微分，列出誤差方程式:

V=AX-L。

(2)

經過平差，可以得到以上參數的最小二乘解：

(3)

式中，P為各觀測值的權。

根據成像模型及空間交會參數值，可列出物方坐標系與像空間坐標系之間的轉換關系：

x=R(X-X′)。

(4)

式中，x為像空間坐標；X為物方坐標；R、X′由空間交會參數組成。根據誤差傳播定律，像空間坐標的精度與物方點坐標精度及后方交會各參數精度有關，旋轉矩陣R為單位矩陣，則誤差傳播式(5)為：

(5)

式中，σx為像空間坐標精度； σx為物方點精度； σx′為平移測量精度，由后方交會確定。

攝影距離可由幾何方法計算，如圖2所示。

圖2　攝影距離計算示意

圖2中，b為物方點基線長度；γ為攝影基線夾角，則攝影距離計算公式為：

(6)

根據Kahman理論，可得攝影距離h的精度計算公式：

(7)

可見，在攝影距離一定時，其測量精度隨著攝影基線夾角的增大以及物方點基線長度的增加而提高。

根據式(1)和式(2)可見，后方交會的精度不僅與點位測量精度有關，還與點位分布、控制面積、成像夾角等因素有關，此為后方交會精度的外在影響因素，這些參數的精度可通過協(xié)方差矩陣[9]衡量為：

(8)

(9)

式中，r為多余條件數，該方法計算的精度實質是平差以后的內符合精度。

2實驗驗證分析

根據以上分析設計了實驗進行分析。實驗用相機為Basler生產的型號為scA1390-17gm的相機，CCD分辨率為1 392*1 040，像素尺寸為4.65 μm，配套鏡頭使用Computar廠家的M0814-MP鏡頭(f=8 mm，F=1.4)，配合光源使用獲取標志點圖像。

控制場由19個控制點構成，均勻分布在1 000 mm×1 000 mm的平面范圍內，如圖3所示。

圖3　控制測量中點位分布圖

實驗前對實驗用相機使用十參數模型[9]進行相機內參標定，獲取穩(wěn)定準確的內參數，并使用高精度攝影測量系統(tǒng)對控制場進行測量，控制點測量精度優(yōu)于0.03 mm，像點中心坐標識別精度為1/30 pixel=0.155 μm。

根據上節(jié)分析，像點、物方點誤差，控制場區(qū)域大小，攝影距離，控制場橫向位移，控制場與像平面夾角，控制場點位空間分布，相機內部畸變以及橫向速度變化等都是后方交會精度的影響因素，其中前4項較為常見，且影響較大，現具體分析。實驗中Y軸方向為攝影方向，X、Z軸與像平面平行且與攝影方向Y軸垂直。

2.1像點坐標誤差

由于像點誤差值較小并且精度較高，本項實驗誤差梯度為0.05 μm，最大誤差為1.05 μm。

由圖4(a)可以看出，三軸的平移量精度與像點誤差存在明顯的線性關系，精度隨著像點誤差的增大而降低，這與共線方程的理論分析一致。X、Z軸的變化趨勢及其精度值相同，與X、Z軸相比，Y軸的精度損失較小，對像點坐標誤差敏感性較差。

由圖4(b)可知，與平移量的變化趨勢相同，旋轉角精度也與像點誤差的大小存在著明顯的線性甚至是二次函數的關系，當像點誤差增大時旋轉角精度變低，κ的精度明顯好于其他2個旋轉角。

圖4　像點誤差對測量精度的影響

綜上可以得出，像點坐標的誤差對后方交會的影響較大，實際使用中應采用高精度的圖像點中心識別算法，提高像點坐標測量精度。假設像點坐標精度達到1/30 pixel，即0.155 μm，沒有其他誤差，則后方交會的平移量精度可以達到0.35 mm，旋轉角精度可以達到0.000 2 rad，具有較高的測量精度。

2.2物方點坐標誤差

點位誤差以0.01 mm的誤差梯度從0.02 mm增加到0.20 mm，各項精度變化如圖5所示。

圖5　物方點誤差對測量精度的影響

圖5顯示了物方點誤差對平移量以及旋轉角精度的影響。由圖5可知：后方交會各個參數與物方點誤差之間存在較明顯的線性關系，當物方點誤差增大時，X、Z軸的平移量精度以及ω，φ旋轉角的精度下降較快，Y軸平移量以及旋轉角κ的精度下降速度稍緩。從單個變量來看，Y軸平移量以及旋轉角κ的精度好于其他變量，受物方點誤差的影響相對較小，而其他2個平移量及旋轉角變化趨勢相同。

由此可見，物方點誤差是后方交會的重要誤差來源，實際應用中應確保物方點坐標精度。

2.3控制場區(qū)域大小

根據點位的分布區(qū)域，控制場的大小從原尺寸的100%下降到原尺寸的20%，最終保留只有4個點的區(qū)域，隨著控制場尺寸的減小，各項誤差的變化如6圖所示。

從圖6可以看出，平移量精度和旋轉角精度與控制場大小存在著近似反比的關系，控制場區(qū)域越小，三軸平移量精度和旋轉角精度越低，特別是當控制區(qū)域減少到原區(qū)域的30%之后，各量精度降低明顯加快，當區(qū)域達到一定比例(50%)時，各量精度變化不再明顯，開始趨于穩(wěn)定。X、Z軸變化趨勢相同，同等條件下精度均低于Y軸，可見X、Z軸受控制場區(qū)域大小的影響明顯。從單個角度來看，κ受此因素影響較小，在各個比例中均有較好的精度，其敏感性較弱。ω以及φ變化趨勢一致，精度受控制場大小影響大。

控制場大小的變化一方面代表著可使用的控制點數量，另一方面則指出各控制點間與攝影中心之間的夾角變化。隨著控制場區(qū)域的縮小，可用的控制點數量在減少，多余觀測也在減少，當減少到4個點時，達到最少觀測值，精度也就最低。此外，控制場外圍點與攝影中心構成的形狀也在逐漸破壞，交會角度逐漸降低，空間形狀逐漸惡化，導致精度降低。

圖6　控制場比例對測量精度的影響

2.4攝影距離

初始攝影距離為1 000 mm，距離變化值為230 mm，共測量14次，最終距離變?yōu)? 000 mm。共拍攝95張照片，各個相機的位置如7圖所示。

圖7　不同攝影距離的攝站位置

從圖8(a)中可以看出，在較近距離時(<2.2 m)，距離的增加對平移量的影響較小，呈緩慢增加的趨勢，但隨著距離的增加，特別是在距離增加到2.2 m之后，精度下降比較迅速，誤差幾乎成線性增加，受距離的影響明顯。另外攝影距離對三軸的影響不同，對X、Z軸的影響相同，并明顯大于Y軸。

圖8(b)顯示的是攝影距離對旋轉角的影響。與平移量的影響不同，攝影距離對旋轉角的影響大致呈拋物線式，在距離較近時，旋轉角的精度較低，隨著距離的增加三軸角度精度均在提高，達到一定距離后，精度也達到最好，此后精度隨著距離的增加持續(xù)降低。此外，κ受攝影距離的影響較小，變化范圍較小，ω、φ兩個角度對攝影距離的敏感性明顯高于κ。

圖8　攝影距離對測量精度的影響

結合攝影圖像分析可知，當距離較近時，同名像點較少，后方交會所用的點數較少，因而交會精度較低，這一點可在2.3節(jié)中驗證，當距離增加時，同名點也在增加，交會精度隨之提高。當同名點全部識別后，攝影距離對交會精度的影響開始顯現。在同名點全部識別的基礎上，交會精度隨著距離的增加而降低。

2.5結論

通過以上實驗及數據分析可知：各種因素對交會精度的影響程度不同。像點坐標誤差及物方點坐標誤差對其的影響已經達到了線性關系，精度隨著外部條件的變化迅速變化；對控制場區(qū)域大小而言，當控制場區(qū)域大小達到一定程度時，交會精度變化不再明顯；對攝影距離而言，當攝影距離增加到一定程度后，交會精度受距離的影響明顯增加。在變化趨勢方面，后方交會的6個參數中，X、Z軸的平移量變化趨勢一致，相對于Y軸(攝影方向)，它們對影響因素的敏感性較強，變化明顯。旋轉角也存在著相似的情況?？梢?，攝影方向受各因素的影響較小，精度普遍較高。同時由上述實驗數據可知，各參數之間存在一定的相關性，因而將各參數分開求解的后方交會算法具有一定的局限性。此外，為了增加除攝影方向外其他兩軸的精度，應盡量增加控制點基線長度，完善控制點空間分布以及縮短攝影距離。

3結束語

本文分析了后方交會的成像模型，重點分析了基于共線方程的理論平差精度，最后根據分析設計了實驗進行驗證分析。后方交會有著嚴密且復雜的數學公式，其內部參數及外部環(huán)境都會成為交會精度的影響因素，本文實驗分析的并非全部影響因素，只考慮了部分常見因素的影響，并對這些因素進行了具體分析，得出了不同因素對后方交會精度的影響趨勢，對后方交會測量有一定的實際意義。下一步將分析多種因素聯(lián)合對交會精度的影響以及不同因素在運動狀態(tài)下的精度變化趨勢，使精度分析更加完善合理。

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張杰男，(1979—)，高級工程師。主要研究方向：精密測量技術的應用與研究。

范生宏男，(1978—)，博士，高級工程師。主要研究方向：近景攝影測量。

作者簡介

基金項目：國家重點基礎研究發(fā)展計劃資助項目(“973”計劃)，(2013CB733100)。

收稿日期：2015-09-23

中圖分類號TH133；TP183

文獻標識碼A

文章編號1003-3106(2015)12-0059-05

doi:10.3969/j.issn.1003-3106.2015.12.16

引用格式：張杰,范生宏，劉昌儒，等.空間后方交會精度分析及實驗驗證[J].無線電工程,2015,45(12):59-63.