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記錄值樣本下F(x;θ)=1-e-a(θ)h(x)的參數(shù)估計*
許瑩
(長春大學(xué)旅游學(xué)院,吉林 長春 130607)
摘要:研究基于下記錄值樣本,F(xiàn)(x;θ)=1-e-a(θh(x))分布參數(shù)的Bayes估計以及經(jīng)驗Bayes估計,最后給出作為樣本的下記錄值,指出它的優(yōu)勢和意義.
關(guān)鍵詞:Bayes估計;經(jīng)驗Bayes估計;下記錄值;指數(shù)分布族
定義1F(x;θ)為連續(xù)分布函數(shù),其樣本分別是X1,X2,…,Xn,并且兩兩互相獨立,其密度函數(shù)為f(x;θ).當(dāng)n≥1時,令L(1)=1,L(n+1)=min{j:j>L(n),Xj
1預(yù)備知識
引理2假設(shè)統(tǒng)計判決問題的損失函數(shù)為X~f(x;θ),θ∈Θ,L(θ,δ),并且π(θ)為θ的先驗分布,因此,只要下面兩點成立,那么這個估計便是容許的,兩點為:①如果關(guān)于δ,L(θ,δ)是一個嚴(yán)凸的損失函數(shù),在此統(tǒng)計判決問題中,幾乎處處有惟一的Bayes解.②θ擁有惟一的Bayes估計.
2指數(shù)組的選取
選取F(x;θ)=1-e-a(θ)h(x)作為分布函數(shù),其中,0
3Bayes估計
f(x1,x2,…,xn;θ)=xf(Xn;θ)·H(x1;θ)=
4經(jīng)驗Bayes估計
接下來,繼續(xù)探討XL(n)的邊緣概率密度函數(shù)fn(x;θ).
其中,R(x;θ)=-lnF(x;θ),可令T=h(x),t是T的觀測值,因此有h'(x)=1.得到XL(n)的邊緣概率函數(shù)后,進一步得到下記錄值的概率密度函數(shù)fT(t;θ)
當(dāng)θ=a(θ)時,可把T的概率密度函數(shù)進一步轉(zhuǎn)化成下面的形式,即
因此有T=T(XL(n))~Ga(n,θ).
證明由于伽馬分布Γ(α.β)是θ的共軛先驗分布,所以,容易得到π(θ|X),即
又由于T=h(x),并且t是T的觀測值,那么應(yīng)該有h'(x)=1,因此可以將上式π(θ|X)的結(jié)果進一步推算,得到
又由于
IGa(n+α,β+T)
5總結(jié)
記錄值是一個十分重要的概念,它能夠?qū)﹄S機變量序列的變化趨勢系統(tǒng)進行刻畫,意義十分重大.Chandle.K.N在1952年首次把統(tǒng)計理論與記錄值樣本聯(lián)系起來,開創(chuàng)了統(tǒng)計理論的先河,為后人的繼續(xù)研究,鋪平了一條道路.通過研究可以發(fā)現(xiàn),記錄值減少了樣本的個數(shù),這樣一來,計算過程不但變得簡單,其結(jié)果亦更加精準(zhǔn),值得我們繼續(xù)深度的思考.
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(責(zé)任編輯:陳衍峰)
Parameter Estimation for F(x;θ)=1-e-a(θ)h(x)under Records
XU Ying
(TheTourismCollegeofChangchunUniversity,Changchun,Jilin130607,China)
Abstract:Based on the record sample values,F(x;θ)=1-e-a(θh(x)) distribution parameters of the Bayes estimation and empirical Bayes estimation is given as the recorded value of the sample. Its advantages and meaning are pointed out.
Keywords:Bayes estimation; Empirical Bayes estimation; The record values; Exponential family
中圖分類號:O213
文獻標(biāo)志碼:A
文章編號:1008-7974(2015)06-0027-03
作者簡介:許瑩,女,吉林省吉林市人,教師.
基金項目:吉林省教育廳項目資助(2013456)
收稿日期:*2015-09-29
DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.12.009