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常利率下的雙險(xiǎn)種的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型*

沈焰焰

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院，福建 福州 350007)

摘要:〗文章引入一類常利率因素下的雙險(xiǎn)種的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，討論了初始準(zhǔn)備金為μ、利率為δ、雙險(xiǎn)種的再保險(xiǎn)的破產(chǎn)概率，并給出破產(chǎn)概率的表達(dá)式和Lundberg上界．

關(guān)鍵詞:利率；雙險(xiǎn)種；再保險(xiǎn)；破產(chǎn)概率

本文在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上建立了常利率因素下雙險(xiǎn)種的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到初始準(zhǔn)備金為u時(shí)破產(chǎn)概率ψ(u)的明確表達(dá)式和Lundberg上界．這不僅加強(qiáng)了模型的現(xiàn)實(shí)描述能力，而且對保險(xiǎn)公司的安全經(jīng)營及其監(jiān)督也具有非常重要的意義．

1模型的建立

設(shè)保險(xiǎn)公司的盈余過程為

U(t)=

u(1+δ)+(c1t-c1R1t+c2t-c2R2t)(1+δ)-

其中，U(t)為保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t的盈余；u=U(0)>0為保險(xiǎn)公司在經(jīng)營初期的準(zhǔn)備金；ci>0(i=1,2)為保險(xiǎn)公司第i種險(xiǎn)種單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi)，即保費(fèi)率；ciRi(i=1,2)為原保險(xiǎn)人單位時(shí)間支付第i種險(xiǎn)種給再保險(xiǎn)人保費(fèi)；Xki(i=1,2)表示保險(xiǎn)公司第i種險(xiǎn)種第k次的索賠額；Rki(i=1,2)表示再保險(xiǎn)公司第i種險(xiǎn)種第k次的補(bǔ)償給原保險(xiǎn)人的賠償額；Ni(t)(i=1,2)則表示時(shí)刻t為止保險(xiǎn)公司第i險(xiǎn)種所發(fā)生的理賠總次數(shù).

我們作如下的假設(shè)：

假設(shè)2{N1(t):t≥0}是以λ1為參數(shù)的possion過程．{N2(t):t≥0}是以λ2為參數(shù)的possion過程．{N1(t):t≥0}與{N2(t):t≥0}相互獨(dú)立．

假設(shè)3為保證保險(xiǎn)公司穩(wěn)定經(jīng)營要求：令

H(t)=(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t-

稱{H(t),t≥0}為盈利過程．通常要求E(H(t))>0由獨(dú)立性可知

由于

本研究擬采用LC-MS/MS法對原發(fā)性高脂血癥人群的血漿中9種膽汁酸的分布情況進(jìn)行分析，并通過與健康人群相關(guān)膽汁酸進(jìn)行比較，了解人體的血脂水平與其血漿膽汁酸分布情況的相關(guān)性，對比分析原發(fā)性高脂血癥人群與健康人群血漿中膽汁酸的組成與含量差異，以期為原發(fā)性高脂血癥人群的治療和飲食結(jié)構(gòu)調(diào)整提供有力的客觀性依據(jù)。

E(H(t))=E{(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t-

(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t-

E(Xk1-Rk1)E(N1(t))-E(Xk2-Rk2)E(N2(t))=

(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t-

(λ1(p1-q1)+λ2(p2-q2))t>0

從而

(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)>

λ1(p1-q1)+λ2(p2-q2)

定義1T=inf{t|t≥0,Uδ(t)<0}稱T為破產(chǎn)發(fā)生時(shí)刻．

定義2ψ(u)=P{Tδ<∞|Uδ(0)=u}稱ψ(u)為初始準(zhǔn)備金為u時(shí)的破產(chǎn)概率．

2主要結(jié)果

{H(t),t≥0}盈利過程的性質(zhì)

性質(zhì)1{H(t),t≥0}具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量

H(ti)-H(ti-1)=

(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)(ti-ti-1)-

[A1(ti)-A1(ti-1)]-[A2(ti)-A2(ti-1)]

由于(ti-ti-1),A1(ti)-A1(ti-1),A2(ti)-A2(ti-1)是相互獨(dú)立的，所以{H(t),t≥0}具有獨(dú)立的增量．又因?yàn)?/p>

H(t+j)-H(t)=(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)(t+j-t)-[A1(t+j)-A1(t)]-[A2(t+j)-A2(t)]對于一切的t≥0，(t+j-t)=j,且A1(t+j)-A1(t),A2(t+j)-A2(t)分別具有相同的分布，所以對于一切的t≥0，H(t+j)-H(t)也具有相同的分布．{H(t),t≥0}具有平穩(wěn)的增量．因此{(lán)H(t),t≥0}具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量．

性質(zhì)2E(H(t))=(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t-(λ1(p1-p11)+λ2(p2-p21))

Var(H(t))=λ1t(p11+q11)+λ2t(p22+q22)

Var(H(t))=

Var((c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t)+

性質(zhì)3存在正數(shù)r，使得E(e-rH(t))<∞

定理1存在函數(shù)g(r)使得E(e-rH(t))=etg(r)證明

e-r(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t·eλ1t(MXk1-Rk1(r)-1)·eλ2t(MXk2-R2(r)-1)=

e-r(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)t+λ1t(MXk1-Rk1(r)-1)+λ2t(MXk2-R2(r)-1)

令

g(r)=-r(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)+

λ1(MXk1-Rk1(r)-1)+λ2(MXk2-Rk2(r)-1)

則E(e-rH(t))=etg(x)，其中MXk1-Rk1(r)，MXk2-Rk2(r)分別是Xk1-Rk1，Xk2-Rk2的矩母函數(shù)．

定理2方程g(r)=0存在唯一的正解R，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)．

證明

g(r)=-r(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)+

λ1(MXk1-Rk1(r)-1)+λ2(MXk2-Rk2(r)-1)

g′(r)=-r(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)+

g″(r)=λ1M″Xk1-Rk1(r)+λ2M″Xk2-Rk2(r)

MXk1-Rk1(0)=MXk2-Rk2(0)=1,

g(0)=0,

g′(0)=-(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)+

λ1(p1-q1)+λ2(p2-q2)<0,

由Cauchy-Schwarz不等式知g″(0)>0，故g(r)為凸函數(shù)，g(r)=0有兩個(gè)解，除去r=0，另外存在唯一的正解R.

定理3設(shè)X(t)=e-RU(t),則{X(t),t≥0}是秧，其中R為定理2中的調(diào)節(jié)系數(shù)．

證明

X(t)=e-RU(t)=

e-R((1+δ)u+H(t))=e-R(1+δ)u·e-RH(t)

X(0)=e-R(1+δ)u·e-RH(0)=e-R(1+δ)u是一個(gè)常數(shù)，即X(t)=X(0) ·e-RH(t)

令Y(t)=-RH(t)，由性質(zhì)1可知{Y(t),t≥0}是一初值為零的，且具有齊次獨(dú)立增量的隨機(jī)過程．所以MH(t)(r)=E(erH(t))=(MH(1)(r))t,t≥0而

MH(1)(r)=

er(c1+c2-c1R1-c2R2)·(1+δ)+λ1(MXk1-Rk1(r)-1)+λ2(MXk2-R2(r)-1)

由定理2可知，MH(1)(-R)=e0=1，即E[e(-RH(1))]=e0=1，

E[|X(t)|]=|X(0)|E[e-RH(t)]=

|X(0)|E[e-RH(1)]t=|X(0)|<∞

E[X(t)|X(r):r≤s]=

E[X(s)e-RH(t)+RH(s)|X(r):r≤s]=

X(s)E[e-RH(t)+RH(s)|X(r):r≤s]=

X(s)E[e-RH(t-s)|X(r):r≤s]=X(s)

所以{X(t),t≥0}是秧．

其中MH(t)(r)是H(t)的矩母函數(shù)．

上述不等式稱為Lundberg不等式，e-R(1+δ)u稱為ψ(u)的Lundberg上界．

E[X(t∧T)]=E[X(0)]=e-R(1+δ)u

根據(jù)全期望公式

e-R(1+δ)u=E[X(t∧T)]=

E[X(t∧T)|T≤t]P(T≤t)+

E[X(t∧T)|T>t]P(T>t)=

E[X(t)|T≤t]P(T≤t)+

E[X(T)|T>t]P(T>t)

e-R(1+δ)u=E[X(t∧T)]=

E[X(t∧T)|T≤t]P(T≤t)+

E[X(t∧T)|T>t]P(T>t)=

E[X(t)|T<∞]P(T<∞)+

E[X(∞)|T=∞]P(T=∞)=

E[X(T)|T<∞]P(T<∞)

即上式可變?yōu)棣?u)

參考文獻(xiàn)：

[1]劉丹,王志福.常利率下帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013(6):22-24.

[2]李靜霞,王永茂.常利率因素下的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2008(3):101-106.

[3]陳麗.常利率下的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012(3):114-119.

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(責(zé)任編輯:陳衍峰)

A Risk Model of Double-type-reinsurance with Costant Interest

SHEN Yan-yan

(FujianchuanzhengcommunicationCollege,Fuzhou,Fujian350007,China)

Abstract:A double-type of the reinsurance of the insurance risk model with constant interest is introduced . Initial reserve u, interest rate δ and ruin probability are discussed. Meanwhile, the explicit expression for the ruin probability and its Lundberg upper bound are proposed.

keywords:interest; double line; reinsurance; ruin probability

中圖分類號(hào)：O212

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-7974(2015)06-0024-03

作者簡介：沈焰焰,福建莆田人,講師．

基金項(xiàng)目：2010年福建省交通科技發(fā)展項(xiàng)目“基于物聯(lián)網(wǎng)的物流系統(tǒng)中關(guān)鍵問題的GRASP算法研究”(201011)；2014年省教育廳社科類項(xiàng)目“海西經(jīng)濟(jì)區(qū)貿(mào)易結(jié)構(gòu)對經(jīng)濟(jì)增長的影響路徑的研究”(JAS14585)；2015年省教育廳社科類項(xiàng)目“風(fēng)險(xiǎn)理論在保險(xiǎn)公司經(jīng)營中的應(yīng)用”(JAS150868)

收稿日期：*2015-06-12

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.12.008