范城城，王　密，朱　映，向夏蕓，程宇峰

(武漢大學(xué)測繪遙感信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072)

Research on the Method of ZY-3 Satellite Attitude Interpolation and Fitting

FAN Chengcheng，WANG Mi，ZHU Ying，XIANG Xiayun，CHENG Yufeng

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ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)插值與擬合方法研究

范城城，王密，朱映，向夏蕓，程宇峰

(武漢大學(xué)測繪遙感信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072)

Research on the Method of ZY-3 Satellite Attitude Interpolation and Fitting

FAN Chengcheng，WANG Mi，ZHU Ying，XIANG Xiayun，CHENG Yufeng

摘要：衛(wèi)星姿態(tài)作為構(gòu)建ZY-3衛(wèi)星高分辨率遙感影像嚴(yán)密幾何成像模型的必要參數(shù)，其精度對衛(wèi)星影像幾何定位精度有直接影響，因此研究如何獲取衛(wèi)星成像時刻的三線陣影像掃描行精確姿態(tài)具有重要意義。本文分別基于多項(xiàng)式插值方法、多項(xiàng)式擬合方法及球面線性插值方法對ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)進(jìn)行了擬合與平滑，進(jìn)一步與基于高精度幾何定標(biāo)場反演的對地相機(jī)精密姿態(tài)進(jìn)行了比較。研究結(jié)果表明，基于歐拉角姿態(tài)參數(shù)的插值擬合方法同樣適用于四元數(shù)姿態(tài)參數(shù)，兩者精度相當(dāng)，且姿態(tài)擬合精度可以達(dá)到1～2角秒級，為遙感影像高精度幾何處理提供精確可靠的外方位角元素。

關(guān)鍵詞：姿態(tài)擬合；姿態(tài)插值；多項(xiàng)式擬合；球面線性插值；ZY-3衛(wèi)星

一、引言

高精度衛(wèi)星姿態(tài)是構(gòu)建光學(xué)影像嚴(yán)密幾何成像模型時重要的外方位角元素，因此ZY-3衛(wèi)星遙感影像幾何定位精度在很大程度上對衛(wèi)星姿態(tài)質(zhì)量具有依賴性。為實(shí)現(xiàn)ZY-3衛(wèi)星精密定姿任務(wù)從而進(jìn)一步保證高分辨率遙感影像的幾何定位精度，星上配置了高精度星敏感器與慣性陀螺傳感器，通過兩者的組合定姿，可以充分保證ZY-3衛(wèi)星高精度定姿任務(wù)[1]?？紤]到ZY-3衛(wèi)星遙感線陣影像成像時刻與衛(wèi)星姿態(tài)解算時刻不一致，以及不同定姿手段、采樣間隔、定姿載荷觀測歷元不同步等因素，需要對衛(wèi)星姿態(tài)進(jìn)行插值或擬合。同時，在高分衛(wèi)星地面數(shù)據(jù)處理過程中，需要獲取每一個掃描行的軌道和姿態(tài)數(shù)據(jù)，按照一定間隔獲取的采樣數(shù)據(jù)并不能在地面處理系統(tǒng)中直接應(yīng)用，必須經(jīng)過插值擬合構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型，從而保證高分光學(xué)衛(wèi)星影像數(shù)據(jù)處理的順利進(jìn)行[2-3]。

衛(wèi)星姿態(tài)常用的插值或擬合方法有Lagrange插值、連分式插值、一元全區(qū)間插值、埃特金插值、光滑插值、球面線性插值、最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合及最佳一致逼近多項(xiàng)式擬合等[4]。對衛(wèi)星姿態(tài)旋轉(zhuǎn)量的插值，一般會考慮采用基于X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角進(jìn)行插值擬合，實(shí)踐證明，由于歐拉角參數(shù)表達(dá)衛(wèi)星姿態(tài)存在奇點(diǎn)，基于歐拉角的直接插值會導(dǎo)致姿態(tài)不連續(xù)性，且繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)順序的不同也會得到不同的旋轉(zhuǎn)矩陣[5-6]。因此，相比于歐拉角旋轉(zhuǎn)插值，姿態(tài)四元數(shù)作為衛(wèi)星姿態(tài)常用描述參數(shù)，其旋轉(zhuǎn)插值擬合可以得到更加連續(xù)平滑的衛(wèi)星姿態(tài)，故嘗試研究利用常規(guī)的插值擬合數(shù)學(xué)方法對ZY-3衛(wèi)星四元數(shù)姿態(tài)參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模具有一定意義。本文在驗(yàn)證ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)精度的基礎(chǔ)上，分別采用最佳平方逼近多項(xiàng)式插值、最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合、最佳一致逼近多項(xiàng)式擬合及球面線性插值對衛(wèi)星姿態(tài)參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模與精度評價分析，并進(jìn)一步得出一些有意義的結(jié)論，為ZY-3高分遙感衛(wèi)星線陣影像高精度姿態(tài)確定奠定基礎(chǔ)。

二、相關(guān)原理

1. ZY-3衛(wèi)星高精度組合定姿原理

ZY-3衛(wèi)星作為我國第一顆高分辨率測繪衛(wèi)星，衛(wèi)星上配置的姿態(tài)敏感器包括：2臺德國ASTRON10星敏感器、1臺國產(chǎn)APS星敏感器、4組陀螺敏感器(其中1組為光纖陀螺儀)等。

ZY-3衛(wèi)星星上高精度姿態(tài)解算主要是基于星載定姿傳感器遙測信息，構(gòu)建合理的函數(shù)模型與隨機(jī)模型，采用一定的最優(yōu)估計(jì)算法，精密確定衛(wèi)星姿態(tài)參數(shù)，其涉及的主要處理模塊包括遙測數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊、星敏感器測量模型構(gòu)建模塊、慣性陀螺測量模型構(gòu)建模塊、姿態(tài)敏感器內(nèi)部特性參數(shù)標(biāo)定模塊、姿態(tài)敏感器相對標(biāo)定與絕對標(biāo)定模塊、信息融合模塊等。圖1為ZY-3衛(wèi)星星上直傳高精度姿態(tài)解算流程。

圖1　ZY-3衛(wèi)星星上直傳高精度姿態(tài)解算流程

2. ZY-3衛(wèi)星對地相機(jī)精密姿態(tài)反演原理

對地相機(jī)精密姿態(tài)反演技術(shù)作為ZY-3衛(wèi)星星載姿態(tài)敏感器組合定姿精度外部評價的重要手段，其主要基于對地相機(jī)高分辨率遙感影像、高精度衛(wèi)星軌道及遙感影像幾何定標(biāo)場，構(gòu)建高分辨率影像嚴(yán)密幾何成像模型，最終反演出對地相機(jī)精密姿態(tài)參數(shù)。圖2為對地觀測相機(jī)精密姿態(tài)反演流程。

圖2　ZY-3衛(wèi)星對地觀測相機(jī)精密姿態(tài)反演流程

3. 多項(xiàng)式插值原理

拉格朗日多項(xiàng)式插值作為一種常用多項(xiàng)式插值方法，因內(nèi)插形式簡單、計(jì)算速度快而被廣泛應(yīng)用。時刻t的ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)歐拉角參數(shù)(φ,ω,κ)可以利用其左右相鄰的n個時刻外方位元素(φj,ωj,κj)，j∈[1,n]，按照如下公式內(nèi)插計(jì)算

(1)

其中

除以上介紹的拉格朗日插值方法，本文涉及的多項(xiàng)式插值方法還包括一元全區(qū)間插值(Lgr)、一元三點(diǎn)插值(Lg3)、連分式插值(Pqs)、埃特金逐步插值(Atk)及光滑插值(Spl)等，主要原理與拉格朗日插值存在很多共性，故在此不再贅述。本文姿態(tài)四元數(shù)插值主要原理同上，具體按照如下公式內(nèi)插計(jì)算

(2)

其中

式中，q0、q1、q2、q3表示待定時刻t姿態(tài)四元數(shù)，q0的正負(fù)號與其通過插值得到的值正負(fù)號相同。

4. 球面線性插值原理

球面線性插值(Slerp) 主要原理是構(gòu)建一個函數(shù)q(t)，采用t時刻左右兩端四元數(shù)q1、q2對t時刻的姿態(tài)進(jìn)行確定，這樣不僅會保持其單位長度不變,并且若將q1和q2看為四維空間單位球上的兩個點(diǎn)，則Slerp將以恒定的速率掃過q1和q2之間的夾角θ。Slerp的基本原理如圖3所示。

圖3　四元數(shù)球面線性插值原理

單位四元數(shù)q(t)位于連接q1和q2的弧上, 與q1構(gòu)成的夾角為tθ(t∈[0,1])，與q2構(gòu)成的夾角為(1-t)θ(t∈[0,1]),于是q(t)可表示為q(t)=C1(t)q1+C2(t)q2。其中,C1(t)和C2(t)分別表示q(t)在q1和q2方向上分量的長度。根據(jù)圖3中所示的相似三角形關(guān)系, 可以推導(dǎo)出C1(t)和C2(t)的表達(dá)式

(3)

則Slerp的插值函數(shù)可表示為

(4)

其中

θ=arccos-1〈q1·q2〉=

arccos-1(q10·q20+q11·q21+q12·q22+q13·q23)

如果將q1,q2看作四維空間中單位球上的兩個點(diǎn),Slerp將沿著連接它們的最短弧進(jìn)行插值,并且能保持恒定的內(nèi)插速度，可以用于高分遙感衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)插值。

5. 多項(xiàng)式擬合原理

(1) 最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合

(5)

(6)

(7)

設(shè)

則

(8)

(9)

(2) 最佳一致逼近多項(xiàng)式擬合

(10)

滿足在n個給定點(diǎn)上的偏差最大值為最小，即

1) 從給定的n個點(diǎn)中選取m+1個不同點(diǎn)t0、t1、…、tm組成初始參考點(diǎn)集。

(11)

三、ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)插值與擬合精度分析

1. 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖4　ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)四元數(shù)與對地相機(jī)精密姿態(tài)四元數(shù)時間序列

本文的試驗(yàn)數(shù)據(jù)包括由中國資源衛(wèi)星應(yīng)用中心提供的年積日DOY34/2012，軌道號為381的ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)數(shù)據(jù)，以及基于武漢大學(xué)測繪遙感信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室高分辨率光學(xué)衛(wèi)星地面預(yù)處理系統(tǒng)軟件RSOne與河南嵩山幾何定標(biāo)場反演的ZY-3衛(wèi)星對地相機(jī)精密姿態(tài)數(shù)據(jù)。ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)數(shù)據(jù)弧段長度約550 s，ZY-3衛(wèi)星對地相機(jī)精密姿態(tài)數(shù)據(jù)受到幾何定標(biāo)場范圍限制，弧段長度約為1.5 s，三線陣相機(jī)高分影像定標(biāo)場掃描行約5000行，姿態(tài)精度為亞角秒級。圖4與圖5分別表示ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)及對地相機(jī)精密姿態(tài)的四元數(shù)參數(shù)與歐拉角參數(shù)時間序列，從圖中可以看出年積日DOY34/2012，軌道號為381的ZY-3衛(wèi)星運(yùn)行平穩(wěn)，姿態(tài)變化緩慢，為進(jìn)一步研究奠定了良好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

圖5　ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)歐拉角與對地相機(jī)精密姿態(tài)歐拉角時間序列

2. 試驗(yàn)分析

(1) ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)插值精度分析

本文首先基于四元數(shù)球面線性插值方法對ZY-3衛(wèi)星上直傳精密姿態(tài)精度進(jìn)行驗(yàn)證，將DOY34/2012，軌道號為381的ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)數(shù)據(jù)與對地相機(jī)精密姿態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)姿態(tài)精度分布情況。圖6表示兩者姿態(tài)對比精度統(tǒng)計(jì)圖，可以看出，ZY-3衛(wèi)星上直傳精密姿態(tài)精度可以達(dá)到1～2角秒級，且RMS_yaw=1.784，RMS_roll=2.474，RMS_pitch=1.020(單位均為arcsecond)，為高分遙感影像高精度對地定位提供了可靠的外方位角元素。

圖6　ZY-3星上直傳精密姿態(tài)與對地相機(jī)精密姿態(tài)對比精度統(tǒng)計(jì)

進(jìn)一步討論其他多項(xiàng)式插值方法的選取，分別基于一元全區(qū)間插值(Lgr)、一元三點(diǎn)插值(Lg3)、連分式插值(Pqs)、埃特金逐步插值(Atk)及光滑插值(Spl)對軌道號381的ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行最佳平方逼近多項(xiàng)式數(shù)學(xué)建模，并將插值結(jié)果與對地相機(jī)精密姿態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，具體從姿態(tài)歐拉角航偏角(yaw)、滾動角(roll)及俯仰角(pitch)3個姿態(tài)方向進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖7—圖11所示。

圖7　基于一元全區(qū)間插值精度統(tǒng)計(jì)

圖8　基于一元三點(diǎn)插值精度統(tǒng)計(jì)

圖9　基于連分式插值精度統(tǒng)計(jì)

圖10　基于埃特金逐步插值精度統(tǒng)計(jì)

圖11　基于光滑插值精度統(tǒng)計(jì)

圖7表示基于一元全區(qū)間插值，分別對四元數(shù)參數(shù)與歐拉角參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過與對地相機(jī)精密姿態(tài)比較可以看出，基于一元全區(qū)間插值方法進(jìn)行姿態(tài)建模，四元數(shù)參數(shù)插值精度與歐拉角參數(shù)插值精度相當(dāng)，可以達(dá)到角秒級。同樣，圖8表示基于一元三點(diǎn)插值，分別對四元數(shù)參數(shù)與歐拉角參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，同樣可以得到很好的結(jié)果。

圖9表示基于連分式插值，分別對四元數(shù)參數(shù)與歐拉角參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過與對地相機(jī)精密姿態(tài)比較可以看出，基于連分式插值方法進(jìn)行姿態(tài)建模，四元數(shù)參數(shù)插值精度與歐拉角參數(shù)插值精度都不太理想，無法滿足ZY-3高分線陣影像高精度姿態(tài)建模要求，故連分式插值不適合ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)參數(shù)建模。

圖10與圖11分別表示基于埃特金逐步插值與光滑插值，分別對四元數(shù)參數(shù)與歐拉角參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過與對地相機(jī)精密姿態(tài)比較可以看出，埃特金逐步插值與光滑插值方法可以用于ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)建模，四元數(shù)參數(shù)插值精度與歐拉角參數(shù)插值精度相當(dāng)，可以達(dá)到角秒級。

表1進(jìn)一步詳細(xì)統(tǒng)計(jì)基于不同多項(xiàng)式插值方法，通過與對地相機(jī)精密姿態(tài)進(jìn)行比較，四元數(shù)參數(shù)插值精度與歐拉角參數(shù)插值的精度分布情況。由分析可知，除連分式插值方法，一元全區(qū)間插值、一元三點(diǎn)插值、埃特金逐步插值、球面線性插值及光滑插值方法都可以用于ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)建模，四元數(shù)參數(shù)插值精度與歐拉角參數(shù)插值精度相當(dāng)，且利用球面線性插值方法進(jìn)行衛(wèi)星姿態(tài)建模最可靠。

(2) ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)擬合精度分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文結(jié)論可靠性，分別基于最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合模型與最佳一致逼近多項(xiàng)式擬合模型，對四元數(shù)姿態(tài)參數(shù)進(jìn)行擬合分析。表2詳細(xì)統(tǒng)計(jì)不同擬合數(shù)據(jù)個數(shù)與擬合階次情況下最佳平方逼近多項(xiàng)式四元數(shù)參數(shù)擬合精度分布情況，通過分析比較可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擬合數(shù)據(jù)個數(shù)n為10～60，擬合階次m為5～20時，最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合模型可以用于ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)建模，擬合精度為1～2角秒，滿足ZY-3衛(wèi)星高分線陣影像高精度定姿要求。

表1　基于不同多項(xiàng)式插值方法的姿態(tài)精度統(tǒng)計(jì)　arcsecond

表2　基于最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合的姿態(tài)精度統(tǒng)計(jì)　arcsecond

圖12表示基于擬合數(shù)據(jù)個數(shù)n=30,m=10最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合的姿態(tài)四元數(shù)精度分布情況，由分析可以發(fā)現(xiàn)，航偏角(Yaw)、滾動角(Roll)及俯仰角(Pitch)3個姿態(tài)參數(shù)方向誤差精度變化穩(wěn)定，可以達(dá)到角秒級，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的論點(diǎn)。

圖12　基于擬合數(shù)據(jù)個數(shù)n=30,m=10最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合的姿態(tài)精度統(tǒng)計(jì)

表3詳細(xì)統(tǒng)計(jì)了不同擬合數(shù)據(jù)個數(shù)與擬合階次情況下最佳一致逼近多項(xiàng)式四元數(shù)參數(shù)擬合精度的

分布情況，通過分析比較可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擬合數(shù)據(jù)個數(shù)n為10～60，擬合階次m為1～2時，最佳一致逼近多項(xiàng)式擬合模型可以用于ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)建模，擬合精度為1～2角秒，滿足ZY-3衛(wèi)星高分線陣影像高精度定姿要求，相比于最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合模型，最佳一致逼近多項(xiàng)式模型用于ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)參數(shù)建模時，階次的可選空間不大，故不太建議將最佳一致逼近多項(xiàng)式擬合模型用于ZY-3衛(wèi)星四元數(shù)參數(shù)擬合。圖13進(jìn)一步驗(yàn)證了以上結(jié)論。

arcsecond

四、結(jié)論

本文驗(yàn)證了ZY-3衛(wèi)星星上直傳精密姿態(tài)精度，并采用多項(xiàng)式插值模型、多項(xiàng)式擬合模型及球面線性插值模型對ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，研究結(jié)果表明：

1) 針對ZY-3衛(wèi)星星上直傳的精密姿態(tài)，除連分式插值方法外，一元全區(qū)間插值、一元三點(diǎn)插值、埃特金逐步插值、球面線性插值及光滑插值方法都可以用于ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)建模，四元數(shù)參數(shù)插值精度與歐拉角參數(shù)插值精度相當(dāng)， 插值精度為1～2

角秒級，且利用球面線性插值方法進(jìn)行衛(wèi)星姿態(tài)建模最可靠。

2) 在以上結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對ZY-3衛(wèi)星上直傳精密姿態(tài)四元數(shù)參數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，試驗(yàn)證明相比于最佳一致逼近多項(xiàng)式擬合模型，最佳平方逼近多項(xiàng)式擬合更加適用于ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)參數(shù)的建模要求，擬合精度為1～2角秒，有效保證了用于高分遙感影像高精度幾何處理的外方位角元素精度要求。

致謝：感謝中國資源衛(wèi)星應(yīng)用中心提供的數(shù)據(jù)。

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引文格式： 范城城，王密，朱映,等. ZY-3衛(wèi)星姿態(tài)插值與擬合方法研究[J].測繪通報(bào)，2015(1)：15-21.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0003

通信作者：王密。E-mail：wangmi@lmars.whu.edu.cn

作者簡介：范城城(1986—)，男，博士生，主要從事光學(xué)衛(wèi)星影像高精度幾何處理與深空導(dǎo)航方面的研究工作。E-mail：ccfan@whu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國家973計(jì)劃(2014CB744201)；國家863計(jì)劃(2011AA120203)；國家自然科學(xué)基金(41371430)；長江學(xué)者與創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃(IRT1278)

收稿日期：2014-07-30

中圖分類號：P237

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：0494-0911(2015)01-0015-07