宋旭霞

（呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008）

常微分方程是伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而成長(zhǎng)起來(lái)的一門(mén)歷史悠久的學(xué)科，是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓的運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。

常微分方程既是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)的后續(xù)課程，又是泛函分析、數(shù)學(xué)模型、生物數(shù)學(xué)、數(shù)理方程、微分方程數(shù)值解的先修課程。因此，在本科數(shù)學(xué)教學(xué)中， 它占有承上啟下的重要地位?！俺Ｎ⒎址匠獭崩碚擉w系嚴(yán)謹(jǐn)，抽象程度高，在講授時(shí)，只有結(jié)合其廣泛的應(yīng)用背景，才能順應(yīng)時(shí)代要求，以實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)具有應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的專業(yè)人才的目標(biāo)。

范例教學(xué)是在教學(xué)中選擇真正基礎(chǔ)的本質(zhì)的知識(shí)作為教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)“范例”內(nèi)容的講授，使學(xué)生達(dá)到舉一反三、掌握同一類知識(shí)的規(guī)律的方法。范例教學(xué)不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力， 而且還有助于提高教師的業(yè)務(wù)水平，是一種重要而有效的教學(xué)方式。常微分方程教學(xué)范例都是一些成熟的數(shù)學(xué)模型，這些模型是理論知識(shí)和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的經(jīng)典范例，是通過(guò)分析現(xiàn)實(shí)事件和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具建立起來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．通過(guò)常微分方程范例教學(xué)能解釋現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象，預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展，進(jìn)行優(yōu)化和控制，從而科學(xué)地指導(dǎo)社會(huì)生活和生產(chǎn)實(shí)踐。為了更好地加快教學(xué)改革的步伐，我們?cè)诔Ｎ⒎址匠探虒W(xué)過(guò)程中嘗試著引入一些具體的范例，涉及生物數(shù)學(xué)、 物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面，以下是其中的幾個(gè)具體范例及其分析。

一、排水問(wèn)題

一個(gè)半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為2Scm的小孔在時(shí)刻被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？

解: 以容器的底部o點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖1所示。令h(t)為t時(shí)刻容器中水的高度，可建立h(t)滿足的微分方程。

這是一個(gè)一階可分離變量的微分方程，解得

排水問(wèn)題是學(xué)生比較熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)此問(wèn)題的引入，可以有效地解答可分離變量的微分方程的實(shí)際應(yīng)用，有利于學(xué)生的理解與掌握。

二、熱傳導(dǎo)問(wèn)題

一根長(zhǎng)度為l的細(xì)金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為T(mén)1，另一端溫度恒為為常數(shù)，）。若金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長(zhǎng)度為B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為T(mén)3，（為常數(shù)），導(dǎo)熱系數(shù)為α，試求金屬桿上的溫度分布，（設(shè)金屬桿的導(dǎo)熱率為λ）。

解：一般情況下，在同一截面上的各點(diǎn)處溫度也可能不相同，但因金屬桿較細(xì)且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù)。根據(jù)熱傳導(dǎo)原理：

當(dāng)溫差在一定范圍內(nèi)時(shí)，單位時(shí)間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)λ與介質(zhì)有關(guān)。

根據(jù)假設(shè)可知：

dt時(shí)間內(nèi)T(x)通過(guò)距離o點(diǎn)x處截面的熱量為：

dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)距離o點(diǎn)xdx+ 處截面的熱量為：

利用泰勒公式可得

同時(shí)，金屬桿的微元向空氣散發(fā)出的熱量為：

因系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有：

所以金屬桿各處溫度T(x)滿足的微分方程:

這是一個(gè)二階常系數(shù)線性方程，方程可化為

先解二階齊次線性方程

從而得到二階齊次線性方程的通解為

再設(shè)T*(x)=c為方程（2）的一個(gè)特解，代到方程（2.2）中得T3=c

所以方程（2.1）的通解為

熱傳導(dǎo)問(wèn)題是物理上比較常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)此問(wèn)題的分析，可以讓學(xué)生切實(shí)感受到二階常系數(shù)線性方程的實(shí)際背景及解決辦法，有利于學(xué)生的理解與掌握。

三、新產(chǎn)品市場(chǎng)營(yíng)銷問(wèn)題

怎樣才能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述新產(chǎn)品的推銷速度問(wèn)題，并由此推出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)，這一直都是經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家非常關(guān)心的問(wèn)題，下面我們討論一個(gè)電視機(jī)新產(chǎn)品的銷售模型。

設(shè)市場(chǎng)需求量有一個(gè)上限，并記此上限為M，記t時(shí)刻已銷售出的電視機(jī)的數(shù)量為x(t) ，則市場(chǎng)中尚未購(gòu)買(mǎi)的人數(shù)大約為，那么根據(jù)統(tǒng)計(jì)籌算律有與成正比，記比例系數(shù)為k，則有

在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開(kāi)始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。

四、Horrod-Domer經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題

分別設(shè)Y、C、I、A為總收入、總消費(fèi)、引致投資和自發(fā)支出（自發(fā)消費(fèi)與自發(fā)投資之和），則有總供給等于總需求可知Y=C+I+A

由此可見(jiàn)：

（1）當(dāng)ρ＞r時(shí)，若，則Y(t)有常數(shù)增長(zhǎng)率ρ；

（2）當(dāng)ρ＜r，t→∞時(shí)，，即自發(fā)支出增長(zhǎng)過(guò)快，擠掉了生產(chǎn)性投資，使總產(chǎn)量銳減，所以自發(fā)支出不宜增長(zhǎng)過(guò)快；

（3）當(dāng)ρ=r時(shí)，

說(shuō)明當(dāng)t→ +∞時(shí)，，造成生產(chǎn)萎縮。

新產(chǎn)品市場(chǎng)營(yíng)銷問(wèn)題和Horrod-Domer經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型問(wèn)題都是經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常討論的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)此類問(wèn)題的分析，可以讓學(xué)生切實(shí)感受到一階線性方程的應(yīng)用領(lǐng)域并加強(qiáng)了對(duì)Logistic曲線、常數(shù)變易法及積分曲線的理解。

五、傳染病問(wèn)題

假設(shè)總?cè)丝诰哂谐?shù)輸入率Λ，我們把疾病流行的某市的總?cè)丝诜譃樗念?；易感類，帶HIV病毒類，已得AIDS類，說(shuō)服類．分別用表示t時(shí)刻易感類、被HIV病毒感染類、已發(fā)展成AIDS病人的人口數(shù)、說(shuō)服率。由性傳播的感染率記為β，自然死亡率記為μ，因病死亡率記為α，由帶HIV病毒的發(fā)展成AIDS的轉(zhuǎn)化率記為δ，說(shuō)服率記為p，由于說(shuō)服而不與那些高危人群接觸而使AIDS病不再傳播．由以上假設(shè)，利用倉(cāng)室模型的建立方式我們可以建立如下動(dòng)力學(xué)方程來(lái)描述這種疾病的傳播過(guò)程:

從而有

由此可得：

（1）若R0＜1，系統(tǒng)(5.1) 有無(wú)病平衡點(diǎn)，其中

（2）若R0＞1，系統(tǒng)(5.1)存在地方病平衡點(diǎn)

（3）若R0＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；若R0＞1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

（4）若R0＞1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

傳染病動(dòng)力學(xué)模型是微分方程應(yīng)用的重要領(lǐng)域，通過(guò)講解此模型的建立及其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性的判斷方法，強(qiáng)化了學(xué)生關(guān)于微分方程穩(wěn)定性理論的理解。

通過(guò)上述常微分方程教學(xué)中實(shí)際應(yīng)用范例的介紹，使學(xué)生了解微分方程源于生活實(shí)踐又應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際，學(xué)習(xí)它的目的是為更好地解決實(shí)際問(wèn)題．由于這些范例具有客觀性、典型性和實(shí)用性，所以微分方程范例教學(xué)能把生產(chǎn)生活實(shí)際與數(shù)學(xué)理論緊密結(jié)合起來(lái)，并有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提高．