朱純強 張欣杰 張善廷

（山東科技大學，測繪科學與工程學院，山東 青島266590）

1 引言

GPS是一種空間定位技術，其應用完全不同于傳統(tǒng)的用于分別觀測地面水平位置和高程的方法，可以確定出一個物體的三維位置［1］。但GPS確定的高程的參考物質是一個固定的橢球，即所謂的水平高，而不是我們在實際工程中所表述的正高或正常高。這需要我們在平時工作中把測量得到的絕對標高轉換為相對標高，即將觀測的水平高通過計算得出正高或正常高［2］。

隨著GPS定位技術的應用越來越廣泛，導致GPS高程擬合受到了工程測量人員的廣泛關注。其擬合的原理就是通過已知點所具有的高程異常值ξ及其擁有的位置關系得出函數模型，通過內插法可以得出其他GPS定位點的高程異常值。具體的方法有平面擬合法、移動多項式法、多面函數法等［3］，但是在實際應用中每一種高程擬合方面都是基于數學模型建立起來的，并且都具有其各自獨有的適用范圍和特有的優(yōu)點和缺陷，所以根據觀測地區(qū)的范圍及地形，可以采用不同的GPS高程擬合方法以達到提高測量精度的目的。

2 GPS高程擬合方法

2.1 等值線內插法

高程異常值的確定最早采用的方法是等值線內插法是最早，這種方法是是最直接的計算方法。其思想是通過畫出高程異常值的等高線圖，其次采用內插法來確定未確定點的高程異常值。

具體方法是，在觀測范圍內選擇布置均勻的GPS點，使用GPS測量方法得到固定點的大地高，再利用我們通常使用的水準測量的方法來測定已選點的正常高，根據公式ξ=H-h求出位置點的高程異常值，使用合適的比例，將已測量點繪制在圖紙內，并且表示出高程異常值，再計算等高距，最終畫出高程異常值的等高線圖。從等高線圖上就可以通過內插法得出未知點的高程異常值，接著利用ξ=H-h求出位置測點的正常高。這種方法通常是在地勢平整的地方使用，高程精度可達到厘米級。然而對測區(qū)地形不平整，起起伏伏，較為復雜的地區(qū)，采用等值線內插法得出的高程異常值差距比較大。

這種方法有一定的局限性，其精度主要取決于兩個方面，分別是測量范圍內GPS點的分布均勻程度和密實程度以及對于獲取大地高、正常高的精確度［5］。如果測量范圍內GPS點的分布密度比較大，那么內插得出的正常高的精度就相對較高。如何提高已知點高程的異常值的精確性的前提是選擇更高等級的GPS測量和正常水準測量，進而才能采用內插法得出位置點高精度的高程異常值。

2.2 曲線擬合法

有時候，GPS點的布置屬于線性分布，可通過下述的曲線擬合的方法對GPS高程進行擬合，從而求出未知點的高程異常值。其基本思想是選擇合適的、呈線性分布的GPS點，通過曲線擬合的方法，得出類似大地水準面的曲線，再采用內插法得出未知點的高程異常值，從而得到未知點的正常高。

2.2.1 多項式曲線擬合

地面任意一點A（x，y）的高程異常值ξ與平面坐標的關系：

其中f（x）為高程異常值ξ的趨勢線，v為誤差。

設

當有n個已知點時，上式可寫成矩陣形式

其中

對于所有的已知點，均可以寫出以上的方程，據最小二乘的定理，在 ∑v2=min的條件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型轉換參數，再迭代回公式便可計算出未知點的高程異常值。

2.2.2 三次樣條曲線擬合

對于測量距離較大，已知點比較多的測量區(qū)域，適宜采用三次樣條曲線擬合方法［6］。三次樣條曲線的可以擬合成連續(xù)函數，把測線分成多個線段，并且將每段假設為三次多項式函數，然后將這些多項式函數組成三次樣條函數。為了保證計算的準確程度，在實際應用中要求得出的曲線函數在連接點處連續(xù)，且函數的一階導數和二階導數全部在連接點處連續(xù)。如此才能保證在分段之后得出的三次樣條函數在后期運算中能夠得出準確的高程異常值。

設過n個已知點，ξi和xi在區(qū)間［xi，xi+1］（i=1，2，...，n-1）上有如下三次樣條函數關系：

ζ（x）=ζ（xi）+ （x-xi）ζ（xi，xi+1）+ （xxi）（x-xi+1）ζ（x，xi，xi+1）式 中，x 為 未 知 點坐標：

ζ（xi，xi+1）為一階差商，ζ（xi，xi+1）= （ζi+1-ζi）（xi+1-xi）；

ζ（x，xi，xi+1）為二階差商，ζ（x，xi，xi+1）=1／6［ζ''（xi）+ζ''（x）+ζ''（xi+1）］；

ζ''（x）（i=1，2，...，n-1）滿足系數矩陣為對稱三角陣的線性方程組；

（xi-xi+1）ζ''（xi-1）+2（xi+1，xi-1）ζ''（xi）+（xi+1，xi）ζ''（xi+1）=6［ζ''（x，xi+1）-ζ（x，xi）］ζ（x0）=ζ''（xn）=0

用追趕法解上面方程組，可求出ζ''（xi）和ζ（xi，xi+1），而

這種方法有以下幾個優(yōu)點：計算簡單，具有多項式的好處，彌補了多項式的不足。多項式的不足是單個多項式會有不靈活不穩(wěn)定的現象。由于三次樣條曲線的各種優(yōu)點，使得在實際中遇到測線長已知點多的情況下采用此方法擬合高程。

2.3 曲面擬合

當GPS點的分布為面狀分布時，適合采用曲面擬合法，由此擬合出的區(qū)域和大地水準面更加類似，然后通過計算該區(qū)域內的高程異常值，進而求出正常高。曲面擬合的主體原理和曲線擬合類似，不同是一個主要針對線狀，一個主要針對面狀。其操作順序是利用測量范圍內已知點的GPS大地高以及通過水準測量得出的正常高，利用公式求得已知點的高程異常值，然后采用已知點的坐標（x，y）和高程異常值ζ建設數學模型，并且通過擬合，得出最為接近于該測量范圍內的類似大地水準面，最后內插出未知點的高程異常值ζ，最終求出未知點的正常高。

2.3.1 多項式曲面擬合

當GPS點布設成網狀時，可以用數學多項式通過曲面擬合方法求出未知點的正常高h。地面任意一點A（x，y）的高程異常值與平面坐標的關系：

式中f（x，y）為高程異常ξ的趨勢面，v為誤差。

設

式中如果取x，y的一次項成為平面擬合，取兩次項為二次曲面擬合，取三次項為三次曲面擬合，取四次項為四次曲面擬合，以此類推。

當有n個已知點時，上式也可寫成矩陣形式

式中

對于每個已知點，都可以列出上述方程，根據最小二乘原理，在∑v2=min的條件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型轉換參數，再帶回公式可計算出未知點的高程異常值。

2.3.2 多面函數擬合

多面函數出發(fā)點是幾何觀念，從而使得由諸多數據點得出的一個平差的數學曲面的問題得到解決。其理論原理為：任一圓滑的數學表面總可以用一系列有規(guī)則的數學表面總和，以任意的精度逼近。

設GPS點的高程異常值ξ與x，y存在以下函數關系：

式中，核函數一般采用正雙曲面函數：

Q（x，y，xj，yj）= ［（x-xj）2+ （y-yj）2+δ2］1／2

δ2為光滑因子，通常取一小正數或零，j=1，2，...，n為所選的節(jié)點號，共有n個節(jié)點。若有m個擬合點，則：

當m=n時，方程有唯一解，當m＞n時，可得誤差方程：

其中

Qij= ［（xi-xj）2+ （yi-yj）2］1／2

其中i=1，2，...，m；j=1，2，...n

根據最小二乘原理，在∑v2=min條件下，A=（MTM）-1MTξ，可以求出模型轉換參數，再帶回公式可計算出未知點的高程異常值。

3 提高GPS高程擬合精度的方法

為了改善GPS高程擬合的精度，可以選擇以下的方法。

（1）提高GPS在外作業(yè)的數據點采集質量的方法。選擇合適的采集參數；采用適當的測點；保證監(jiān)測采集質量。

（2）提高測點確定大地高的精度。提高局部GPS起算點坐標的精度，應盡可能的選擇國家A、B級GPS點為局部GPS網的計算起點。

（3）提高轉換參數的精度利用已有的VLBL、SLR站的地心坐標轉換參數，或利用國家A、B級GPS網點來推算轉換參數。

（4）提高擬合計算的精度。

①根據測量區(qū)域的情況，合理的分布已知點，并選取足夠數量的已知點。

②根據不同的測量區(qū)域，選用適當的擬合模型。對高差較大（比如大于100m）的測量區(qū)域，通常要考慮地形的影響，對測量值進行改正。

③對具有不同趨勢的大范圍測量區(qū)域，可考慮分區(qū)計算的方法。

④計算時，坐標可以精確到1m或10m，但高程異常值應精確到mm。計算出結果后，由計算機畫出測量范圍內的高程異常值的等值線圖，以更清楚的分析測量區(qū)域內高程異常值的變化情況，提高更高的擬合計算精度。