劉書(shū)海

【摘要】不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，它運(yùn)用靈活，以技巧而不是運(yùn)算能力取勝，筆者從歷屆高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中精選了部分例題，用自己獨(dú)特的方法從不同的角度詮釋了它們。

【關(guān)鍵詞】不等式 ?最大值 ?最小值

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2015）11-0107-03

基本公式：一般不等式： （時(shí)取等號(hào)）.

推廣式：

（時(shí)取等號(hào)）.

再拓展，有：

（時(shí)取等號(hào)）

不等式的證明方法主要有比較法、綜合法、分析法 、縮放法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法，每一種方法在高中數(shù)學(xué)中都有其獨(dú)特的作用和地位，有時(shí)甚至作為壓軸題而直接決定成績(jī)的優(yōu)劣，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常常都可以見(jiàn)到它的身影.下面就綜合法和分析法聊舉幾例，并結(jié)合其中需要注意的問(wèn)題尤其是等號(hào)能否取到展開(kāi)介紹.

例1. 若 ，求的最小值（2010年希望杯

數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題（高一）第二試（第Ⅰ類）第18題）

分析：如果直接采用的話，一方面不符合的

形式，另外等號(hào)無(wú)法取到，考慮到，變形得，將4

變?yōu)椋?變?yōu)椋冃魏罄每傻玫浇Y(jié)果.

解：

=

當(dāng) ?，即，即，即時(shí)取等號(hào).

∴的最小值為.

注意：此題千萬(wàn)不可將 往式中代，否則將進(jìn)入一個(gè)復(fù)雜且無(wú)效的計(jì)算中.

例2. 若 ，并且，求的最大值（2009年希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題（高二）第二試第12題）

分析：觀察到 ，考慮用公式.

解：

∴的最大值為64，時(shí)取等號(hào).

拓展：將題目改為求 的最大值.

解：

∴時(shí)，取最大值

推廣：

解：

.

例3.已知 （2010年

希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題（高二）第二試第16題）

分析：觀察到2在代數(shù)式中的位置造成次數(shù)不齊，可將 代入式中與 都為2次，化簡(jiǎn)后再利用重要不等式可獲得結(jié)果.

解：

原式

例4.已知 （2008年第四屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)大賽試題（高二）初賽第8題）

分析：求 的取值范圍，只要求出的最大值和最小值即可.利用立方和公式和重要不等式得到關(guān)于（）的不等式，解之即可.

解：

例5.

求證： （2008年第

四屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)大賽試題（高二）決賽第15題）

分析：直接證明不等式有些困難，考慮利用不等式

通過(guò)中間量將兩邊聯(lián)系起來(lái).

解：

聯(lián)系以上，可得：

時(shí)取等號(hào).

例6.已知三角形的邊長(zhǎng)分別為

求證： （2009年第五屆“希望杯”

全國(guó)數(shù)學(xué)大賽試題（高二）決賽第13題）

分析：對(duì)于不等式的左半部分，考慮到

，可運(yùn)用重要不

等式的變形，，至于右半部

分可有等得到.

證明：對(duì)不等式的左半部分：

對(duì)不等式的右半部分：

例7.半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積是 ，三角形的三邊是

求證： （2010年第六屆“希望杯”全

國(guó)數(shù)學(xué)大賽試題（高二）初賽第13題）

分析：由已知條件可知，然后可令可去根號(hào)，最后巧妙變形并使用重要不等式即可獲得結(jié)果.

證明：

①+②+③得，

即 時(shí)取等號(hào)）.

例8.設(shè)正實(shí)數(shù)

求證： （2010年第六屆中國(guó)北方數(shù)

學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽第二天第五題）

分析：由重要不等式易知：

證明：

上式顯然成立.

不等式證明的方法多種多樣，不同的題目有不同的解法，就是同一道題目也有不同的解法，不能一概而論。切忌照貓畫(huà)虎，應(yīng)當(dāng)靈活運(yùn)用，具體情況具體分析，以上例子也屬個(gè)人見(jiàn)解，希望大家能有更好的方法，還請(qǐng)不吝賜教。

參考文獻(xiàn)：

[1]南秀全，高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽2010詳解版（全國(guó)聯(lián)賽卷），武漢：湖北教育出版社，2009.4.

[2]南秀全，高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽2012詳解版（全國(guó)聯(lián)賽卷），武漢：湖北教育出版社，2011.7.

[3]南秀全，高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽2014詳解版（全國(guó)聯(lián)賽卷），武漢：湖北教育出版社，2013.2.