杜燕飛， 曹　慧

(陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安　710021)

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具有周期傳染率的SVEIR傳染病模型的定性分析

杜燕飛， 曹慧

(陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安710021)

摘要：研究了一類具有周期傳染率的SVEIR傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài).定義了模型的基本再生數(shù)，得到了無病周期解全局穩(wěn)定性的條件，討論了系統(tǒng)的一致持續(xù)生存，并通過數(shù)值模擬展示了所得到的理論結(jié)果和模型復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài).

關(guān)鍵詞：周期傳染病模型； 基本再生數(shù)； 穩(wěn)定性

0引言

眾所周知，氣候、環(huán)境和社會(huì)活動(dòng)的周期性變化會(huì)導(dǎo)致一些傳染病的爆發(fā)呈現(xiàn)周期性.例如麻疹、水痘、腮腺炎和風(fēng)疹等，這幾類傳染病的發(fā)病數(shù)據(jù)都展示出明顯的季節(jié)性波動(dòng)現(xiàn)象[1,2]. 因此，當(dāng)我們研究一些具有季節(jié)性的疾病時(shí)，應(yīng)考慮人為活動(dòng)和環(huán)境氣候因素所引起的傳染率的周期性變化，以描述季節(jié)性波動(dòng)對(duì)模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響，使模型更具有一般性且符合實(shí)際.

目前，許多學(xué)者對(duì)具有周期性波動(dòng)傳染病的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了大量的研究[3-13]. 研究的成果主要集中在疾病的一致持續(xù)和消除、定義、計(jì)算基本再生數(shù)和相應(yīng)的閥值理論、周期解的存在性和穩(wěn)定性等.本文將建立一類具有周期傳染率的SVEIR 模型，并研究其動(dòng)力學(xué)性態(tài).

1周期傳染率的SVEIR模型

考慮感染者恢復(fù)后具有終身免疫力的傳染病問題.我們把總?cè)丝诜譃橐赘姓摺⒔臃N者、潛伏者、染病者和恢復(fù)者5類，并且分別用S(t),V(t),E(t),I(t)和R(t)表示t時(shí)刻這5類個(gè)體的數(shù)量.Λ是人口增長率，p是新生兒的接種率，μ表示個(gè)體的自然死亡率. 假設(shè)部分接種者會(huì)產(chǎn)生并始終保持免疫力；而部分接種者會(huì)喪失免疫力，成為易感者.ε和α分別表示潛伏者的發(fā)病率和染病者的治愈率；γ表示接種人群喪失免疫力的比率. 假設(shè)疾病的傳染率呈周期性，用β(t)表示染病者與易感者接觸后成功感染的概率.本文考慮如下具有雙線性傳染率的非自治SVEIR傳染病模型：

(1)

引理1系統(tǒng)(1)具有初始條件S(0)>0，V(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0的解在[0,∞)上存在且為正.

由于系統(tǒng)(1)中的前四個(gè)方程中不含R(t)，且第五個(gè)方程是線性的，因此，我們僅需考慮由前四個(gè)方程所組成的模型，即系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)．

(2)

為了得到系統(tǒng)(2)的無病周期解，考察方程

(3)

2基本再生數(shù)

下面利用積分算子譜半徑的方法來定義系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù). 系統(tǒng)(2)在無病周期解(S*(t),V*(t),0,0)的線性化系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的感染者的方程為

(4)

3疾病的一致持續(xù)和消除

下面研究系統(tǒng)(2)的全局動(dòng)力學(xué)性態(tài).

定理1如果R0<1，則無病周期解(S*(t),V*(t),0,0)是全局漸近穩(wěn)定的；反之，若R0>1，則它是不穩(wěn)定的.

(5)

此系統(tǒng)等價(jià)于

(6)

X0∶={(S,V,E,I)∈X∶E>0,I>0},

?X0∶=X/X0.顯然X0是正不變的，且?X0是X的相對(duì)閉集. 記

M?={(S0,V0,E0,I0)∈?X0∶

pm(S0,V0,E0,I0)∈?X0,?m≥0}.

容易證明

M?={(S,V,0,0)∶S≥0,V≥0}.

(7)

顯然P在M?上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)M0(S*,V*,0,0).

下證P關(guān)于(X0,?X0)是一致持續(xù)的.由于R0>1當(dāng)且僅當(dāng)ρ(ΦF-V(ω))>1，可以選擇取充分小的ξ>0，使ρ(ΦF-V+ξ M(ω))>1.注意到(3)的擾動(dòng)系統(tǒng)

β(t)Sσ(t)σ-μSσ(t),

(8)

由解對(duì)初值的連續(xù)依賴性，存在δ0>0，使得當(dāng)‖(S0,V0,E0,I0)-M0‖≤δ0時(shí)，有‖φ(t,(S0,V0,E0,I0))-φ(t,M0)‖<σ,t∈[0,ω].

現(xiàn)在可以斷言

‖φ(t,Pm(S0,V0,E0,I0))-φ(t,M0)‖<σ.

進(jìn)一步計(jì)算可得

‖φ(t,(S0,V0,E0,I0))-φ(t,M0)‖

=‖φ(t′,Pm(S0,V0,E0,I0))-φ(t′,M0)‖<σ

(9)

φ(t,(S0,V0,E0,I0))=(S(t),V(t),E(t),I(t)),由不等式(9)可推出0≤E(t)≤σ,0≤I(t)≤σ,t≥0.于是

因?yàn)樵贛?的每一條軌道收斂到M0，且M0在M?中是非循環(huán)的. 由一致持續(xù)的非循環(huán)定理，P關(guān)于(X0,?X0)是一致持續(xù)的.又由于M0在X中是孤立的，因此，由文獻(xiàn)[14]中的定理3.1.1可知，系統(tǒng)(2)關(guān)于(X0,?X0)是一致持續(xù)的.

進(jìn)一步，由文獻(xiàn)[14]中的定理1.3.6可得，(S*(t),V*(t),E*(t),I*(t)) 是系統(tǒng)(2)的一個(gè)嚴(yán)格正的ω周期解.

4數(shù)值模擬

下面利用數(shù)值模擬來驗(yàn)證所得的結(jié)論．對(duì)于模型(2),令參數(shù)Λ=0.02，p=0.85，γ=0.34,ε=0.5,α=0.2,μ=0.02，β0=0.14，β(t)=β0[1+0.6cos(2πt)],則基本再生數(shù)R0=0.97<1. 在圖1中,模擬了具有初始條件s0=0.2,v0=0.2,e0=0.2,i0=0.2的解的漸近性態(tài), 表明無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的，傳染病最終消除.

圖1　疾病的消除

令Λ=0.14,p=0.5,β0=0.21,其它參數(shù)同圖1,則基本再生數(shù)R0=6.24>1.圖2的模擬結(jié)果說明了系統(tǒng)的一致持續(xù)生存.

圖2　疾病的一致持續(xù)

5結(jié)論

研究了一類具有周期雙線性傳染率的SVEIR模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài). 利用積分算子的譜半徑定義了模型的基本再生數(shù)，證明了無病周期解的全局穩(wěn)定性，利用Poincaré映射半流討論了系統(tǒng)的一致持續(xù)生存，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性．我們的模型、方法和結(jié)論對(duì)周期傳染病模型的應(yīng)用及研究是一次成功的探索．

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【責(zé)任編輯：蔣亞儒】

Analysis of a SVEIR epidemic model with periodic infection rate

DU Yan-fei, CAO Hui

(College of Science, Shaanxi University of Science & Technology， Xi′an 710021, China)

Abstract:A SVEIR epidemic model with periodic infection rate is formulated and studied.The basic reproduction number is defined,the global dynamics for disease-free periodic solution is estabished.The uniform persistence of system is also discussed.Numerical simulations are conducted to demonstrate our theoretical results and complex dynamics of the model.

Key words:periodic epidemic model; the basic reproduction number; stability

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-5811(2016)01-0171-04

作者簡介:杜燕飛(1984-)，女，浙江東陽人，講師，碩士,研究方向：生物數(shù)學(xué)

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué) (11301314)； 陜西省科技廳自然科學(xué) (2014JQ1025)

收稿日期:*2015-11-16