許 宏，王立新

(1.光電信息控制和安全技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北三河065201;2.北京理工大學(xué)光電學(xué)院，北京100081)

1 概述

激光器在得到較高功率輸出時(shí)，光束質(zhì)量往往明顯下降，主要表現(xiàn)在光斑面積增大和中心功率密度下降，甚至出現(xiàn)中心功率密度低于周圍的“凹陷”情況，這對(duì)于后繼的非線性晶體泵浦和擴(kuò)束耦合都產(chǎn)生了不利的影響。

激光光束質(zhì)量在高功率輸出時(shí)下降的主要原因是在較高的泵浦功率下激光器中出現(xiàn)了高階橫模振蕩現(xiàn)象。在一般情況下，階數(shù)越高的橫模損耗系數(shù)越大，但同時(shí)模體積也越大，因此在起振后會(huì)比低階的橫模吸收更多的泵浦功率。同時(shí)，高階與低階橫模在工作物質(zhì)中有空間重疊的部分，幾個(gè)模式在這部分空間存在著“爭(zhēng)奪”泵浦功率的競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象。分析表明，高階橫模具有競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，即吸收的泵浦功率會(huì)由低階橫模向高階橫模轉(zhuǎn)移，而且隨著出現(xiàn)更多的高階模，轉(zhuǎn)移的功率也更多。這可以很好地解釋在實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象。

2 公式推導(dǎo)

2.1 匹配矩陣

實(shí)際激光腔中可能存在多個(gè)振蕩的橫模。每個(gè)模式會(huì)有不同的衰減，主要是往返衍射損耗系數(shù)Ldiff［1］的不同。以兩個(gè)重疊的橫模為例，如圖 1所示。

圖1 兩個(gè)橫模的空間重疊關(guān)系

圖1表示在腔中的兩個(gè)重疊的橫模，即TEM00模和TEM10模，為后面討論方便，可編號(hào)為模式1和

表1 模式與區(qū)域的匹配關(guān)系表

表1中的數(shù)據(jù)可用一個(gè)匹配矩陣表示:

矩陣下標(biāo)分別表示行數(shù)和列數(shù)，也就是模式數(shù)和區(qū)域數(shù)。

可以將情況擴(kuò)展到有m種橫模，以及它們之間重疊形成的k個(gè)區(qū)域的情況。參照表1和式(1)寫出它們之間的匹配矩陣Mmk。顯然，橫模數(shù)越多重疊情況越復(fù)雜，劃分出的區(qū)域越多而細(xì)碎。如包含TEM00、TEM10和TEM01模的情況劃出的區(qū)域可達(dá)7個(gè)，匹配矩陣可寫為:

注意區(qū)域是按照體積從小到大的順序排列的，考察式(1)和式(2)，一個(gè)共同趨勢(shì)是越是高階的橫模，與之匹配的區(qū)域總體積越大。這是因?yàn)楦唠A橫模本身的模體積較大，而且主要部分在光束的邊緣，被分割的區(qū)域較大;而基模和其他低階模主要處于光束的中心處，在那里疊加的模式很多，每一塊區(qū)域的體積都較小。設(shè)泵浦功率密度恒定，較大體積的區(qū)域吸收的泵浦功率也較多。同時(shí)，每出現(xiàn)一個(gè)高階模，就會(huì)在光束中心增加一些重疊區(qū)域，吸收一部分原本屬于低階模的功率，但低階模不會(huì)吸收光束邊緣高階模區(qū)域的功率。結(jié)果是隨著模數(shù)的增加，泵浦功率從低階模轉(zhuǎn)移至高階模。

2.2 泵浦功率的具體分布

參照文獻(xiàn)［2］，在第i個(gè)橫模吸收的第j區(qū)域功率形成的光強(qiáng)為:

式中，gj為第j個(gè)區(qū)域中的小信號(hào)增益系數(shù);gti為第i個(gè)橫模的泵浦閾值增益;Is為飽和光強(qiáng)，由激光受激粒子的特性和腔參數(shù)決定。I為一個(gè)m×k的矩陣。

小信號(hào)增益系數(shù)與光強(qiáng)無關(guān)，因此gj對(duì)該區(qū)域中的任何橫模都是相同的。

激光器的增益與泵浦功率成正比，式(3)可以寫成:

式中，Pabsj為第j區(qū)域內(nèi)工作物質(zhì)吸收的泵浦功率;Ppti為第i個(gè)橫模的泵浦閾值功率。

式中，ρ為泵浦功率密度;VRj為第j區(qū)域的體積。

k個(gè)區(qū)域分配到m個(gè)橫模上的功率可用一個(gè)矩陣P表示。由于功率與光強(qiáng)成正比關(guān)系，即:

因此第個(gè)j區(qū)域?qū)Φ趇個(gè)橫模的輸出功率貢獻(xiàn)的泵浦功率為:

式中，Kj為功率與光強(qiáng)的比例系數(shù)，由激光器的參數(shù)決定。在＞1時(shí)乘以匹配矩陣中相應(yīng)的系數(shù)Mmk(i，j)，表示第j個(gè)區(qū)域與第i個(gè)模式不匹配時(shí)它分配到第i模式的泵浦功率是0≤1時(shí)，第 j個(gè)區(qū)域吸收的泵浦功率小于第i個(gè)模式所需的振蕩閾值，此時(shí)它分配到第i模式的功率也是0。因此P中各元素的值受泵浦功率、模式閾值功率和橫模匹配情況的共同影響。

第j區(qū)域分配給所有橫模的泵浦功率的加和就是Pabsj:

上式就是工作物質(zhì)中各區(qū)域吸收的功率在不同橫模上的分布。與式(7)相比，消去了Kj。

第i個(gè)橫模分配到的功率可用Pmodi表示，則有:

而第i個(gè)橫模的輸出功率可用Pouti表示，則有:

式中，Ai為第i個(gè)橫模在工作物質(zhì)中的截面積;T為輸出腔鏡的透過率。

2.3 橫模數(shù)m的確定

對(duì)于固體激光器，腔內(nèi)的情況較為復(fù)雜，一般在進(jìn)行計(jì)算前，能夠起振的橫模數(shù)m是不知道的。一個(gè)簡(jiǎn)易的辦法是先設(shè)一個(gè)較大的m值，按照式(11)算出各階橫模分配到的泵浦功率Pouti，將小于相應(yīng)的泵浦閾值Ppti的高階模去除，得到新的起振橫模數(shù)m'，再設(shè)m=m'作新的計(jì)算，直到m'=m。一般一二次迭代可得到最終結(jié)果。

3 算例與討論

以式(10)、式(12)為基礎(chǔ)，對(duì)一臺(tái)激光器［3］進(jìn)行了理論計(jì)算。這是一臺(tái)室溫固體脈沖激光器，工作物質(zhì)為φ5×10的YAP晶體，首先計(jì)算出其內(nèi)部各橫模占據(jù)的體積，并考慮熱透鏡效應(yīng)［4］和泵浦功率實(shí)際分布的不均勻性(設(shè)為高斯分布)，計(jì)算結(jié)果如下。

輸入10 W功率下，共產(chǎn)生6個(gè)橫模，分布在各模上的泵浦功率和輸出功率如表2所示。

表2 10W總泵浦，各橫模功率分布

輸入35 W功率下，共產(chǎn)生8個(gè)橫模，分布在其上的泵浦功率和輸出功率如表3所示。

表3 35W總泵浦，各橫模功率分布

輸出的總功率分別為10 W泵浦下1.53 W和35 W 泵浦下11.32 W，與實(shí)測(cè)值基本吻合［3］。

對(duì)照表2和表3，隨著泵浦功率增加，基模與高階模的輸出功率都會(huì)增加，但高階模增加的更快。另外各階模的發(fā)散角均隨功率增加而增加，這些綜合結(jié)果導(dǎo)致激光輸出光斑功率密度在低功率時(shí)尖銳的近高斯分布，在高功率時(shí)變形為相對(duì)平坦但范圍較大的分布，甚至在中央出現(xiàn)凹陷，這已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中觀察到。

另外，2.1節(jié)中的定性分析設(shè)泵浦功率密度為恒定，實(shí)際計(jì)算表明泵浦不均勻時(shí)結(jié)論也是成立的。

4 結(jié)論

通過前面的分析和計(jì)算，對(duì)激光器中高階橫模對(duì)光束功率密度的影響有了定量認(rèn)識(shí)。提高泵浦功率有助于提高輸出總功率，但可能導(dǎo)致光束功率密度下降，對(duì)后續(xù)非線性泵浦不利。對(duì)于存在熱透鏡效應(yīng)的固體激光器，基模模體積隨著功率增加而減小，使情況更加嚴(yán)重。因此必須采取措施抑制高階橫模的產(chǎn)生，同時(shí)增大基模的模體積。辦法有設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)那恍?，采用橫模選擇技術(shù)以及適當(dāng)?shù)卣{(diào)整腔鏡角度等。公式(10)和(12)可為采取這些措施提供指導(dǎo)依據(jù)。

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