王　磊,李英冰

(武漢大學測繪學院,湖北 武漢 430079)

GPS衛(wèi)星鐘差時間相關(guān)特性分析及預報

王磊,李英冰

(武漢大學測繪學院,湖北 武漢 430079)

摘要：GPS實時精密單點定位需要實時的、精確的、可靠的衛(wèi)星鐘差預報。文中對衛(wèi)星鐘差采用二次多項式擬合以及Daubechies小波降噪得到衛(wèi)星鐘差周期項,采用均方根誤差、時間相關(guān)系數(shù)和頻譜分析三種方法對不同類別星載鐘周期項進行時頻域分析,以此建立GPS衛(wèi)星鐘時間相關(guān)系數(shù)模型,并對衛(wèi)星鐘差進行了預報,結(jié)果表明：在短期預報中該模型的預報精度較高,優(yōu)于常規(guī)的二次多項式模型。

關(guān)鍵詞：衛(wèi)星鐘差;Daubechies小波;時域分析;頻域分析;鐘差預報

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.02.002

中圖分類號：P228.4

文獻標志碼：： A

文章編號：： 1008-9268(2015)02-0006-06

收稿日期：2014-12-30

作者簡介

Abstract:GPS real time precise positioning requires real time,accurate and reliable prediction of satellite clock error.This paper uses the quadratic polynomial fitting and Daubechies wavelet noise to process atellite clock error and abtains the cycle item of satellite clock error.Then the paper analyze the onboard clock with three methods:RMSE, temporal correlation coefficient and spectral analysis.. On this basis,we establish a correlation coefficient model, and predict the satellite clock error.The result shows that the forecasting errorof this model is well within 4 hours and the prediction precision is much better than the quadratic ploynomial model

0引言

在衛(wèi)星導航定位中,精確時間的測量是決定導航定位精度的首要條件。原子鐘作為衛(wèi)星導航系統(tǒng)有效載荷的核心部分,是導航系統(tǒng)測距的時間基準,其性能直接決定用戶的導航定位精度[1]。目前,一般采用國際GNSS服務(wù)(IGS)公布的精密星歷。IGS提供的精密星歷中包含采樣間隔為15 min的所有衛(wèi)星的坐標和鐘差,其中對衛(wèi)星鐘差的標稱精度為0.1～0.2 ns(3～6 cm).由于GPS的衛(wèi)星鐘是決定衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)精度的重要因素之一,因此,對于IGS鐘差標稱精度的可靠性,即精密星歷衛(wèi)星鐘差能否保證在任何情況下達到其標稱的厘米級精度,不同星載鐘的精度是否存在差異等,是值得分析研究的問題[2]。本文主要研究了導航衛(wèi)星原子鐘時頻相關(guān)特性,先借助均方根誤差分析、時間相關(guān)函數(shù)以及功率譜密度三種方法對不同種類的GPS衛(wèi)星鐘差的時間相關(guān)特性進行分析,最后根據(jù)分析結(jié)果建立衛(wèi)星鐘差周期項的時間相關(guān)系數(shù)模型,提出兩種基于時間相關(guān)系數(shù)模型的衛(wèi)星鐘差預報算法。

1時間相關(guān)特性分析方法

對衛(wèi)星鐘差進行研究,首先要確定精密衛(wèi)星鐘差模型。精密星歷的鐘差值與廣播星歷的鐘差值相互對應,在實時定位時,通常利用廣播星歷中已知的衛(wèi)星鐘參數(shù)通過二次多項式擬合求解衛(wèi)星鐘差。因此,本文依舊采用二次多項式的擬合模型作為基準模型研究衛(wèi)星鐘差。

設(shè)衛(wèi)星鐘差的擬合模型為

Δclocki=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+vi，

(1)

式中: a1、a2、a3為衛(wèi)星鐘差參數(shù); t0為參考歷元;Δclocki為衛(wèi)星鐘差觀測值。

采用二次多項式擬合IGS提供的鐘差產(chǎn)品,通過平差計算出了衛(wèi)星鐘差殘差時間序列{vi}包含衛(wèi)星鐘差殘差周期項[3]。本文主要采用三種方法分析降噪后衛(wèi)星鐘差周期項的時間相關(guān)特性:

1) 采用均方根誤差進行分析,即計算降噪后衛(wèi)星鐘差周期項在不同時間間隔的均方根誤差。

2) 計算衛(wèi)星鐘差殘差周期項時間序列在不同時間間隔的時間相關(guān)系數(shù)。對于平穩(wěn)的衛(wèi)星鐘差殘差時間序列,它有一個不變的均值與方差,它的概率密度函數(shù)僅僅與時間相關(guān)而與絕對時間無關(guān)[4]。對于平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)定義

Cyy(τ)=E[{Y(t)-U}{Y(t+τ)-U}]，

(2)

資助項目： 國家自然科學基金(批準號:41474006)

聯(lián)系人： 王 磊E-mail: 445080579@qq.com

式中: Cyy(τ)為時間滯后τ的相關(guān)系數(shù); Y(t)為樣本值; U為樣本均值； τ為滯后時間。對樣本自相關(guān)函數(shù)的估值為

(3)

3) 對GPS衛(wèi)星鐘差周期項在頻域內(nèi)進行分析。頻率穩(wěn)定性分析就是確定原子頻標不同平滑時間的主要噪聲類型及其噪聲系數(shù),進而分析原子鐘定時誤差隨時間波動情況。對時域穩(wěn)定性分析方法進行頻域解釋和分析,可以了解各種方差的實質(zhì),還有利于進一步分析各種方差的應用范圍。自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度很好的包含了能量譜噪聲的全部信息,因而對GPS衛(wèi)星鐘差進行頻域分析顯的尤為重要[5]。功率譜密度是樣本傅里葉變換的平方,本文對于不同種類衛(wèi)星的功率譜密度計算方法為①通過周期圖法計算不同種類衛(wèi)星所有頻率的功率譜密度。②通過矩形法則確定相鄰頻率之間的功率譜密度。③重復第二步驟確定最后的功率譜密度,對不同種類衛(wèi)星的功率譜密度取平均。

2衛(wèi)星鐘差時間相關(guān)特性分析

采用IGS發(fā)布的衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品進行分析,數(shù)據(jù)采樣間隔為30 s,鐘差觀測值的單位為s.由于衛(wèi)星鐘的穩(wěn)定性較高,長期變化比較穩(wěn)定,限于篇幅,僅以2012年1月1日至2012年1月4日4天數(shù)據(jù)為例。分別選取不同種類的星載鐘G15(BlockⅡ),G20(BlockⅡR),G25(BlockⅡA)簡述衛(wèi)星鐘差擬合獲取鐘差時間序列的過程[6]。

1) 對鐘差數(shù)據(jù)進行二次多項式擬合、平差,得到鐘差殘差數(shù)列{vi},殘差圖如圖1(左上圖)所示；

圖1　衛(wèi)星鐘差殘差、降噪后的衛(wèi)星鐘差殘差以及噪聲

2.1　均方根誤差分析

對于降噪處理后的衛(wèi)星鐘差殘差時間序列,分別計算不同種類所有的均方根誤差,時間間隔由1 s到25 min,所有衛(wèi)星的均方根誤差圖如圖2所示。由圖中可看出所有衛(wèi)星的均方根誤差隨著時間的增加,均方根誤差增大;當時間達到25 min時,BlockⅡR類星載鐘的均方根誤差在2 cm到3.5 cm之間波動,與其相比,BlockⅡ和BlockⅡA類星載鐘的均方根誤差波動較大,且連續(xù)性較弱;波動較大是由于GPS衛(wèi)星鐘采用銣鐘的性能穩(wěn)定性優(yōu)于銫鐘。不同種類的衛(wèi)星以及所有衛(wèi)星的均方根誤差平均值如圖3所示,圖中清楚地說明了BlockⅡR類星載鐘的穩(wěn)定性優(yōu)于BlockⅡ和BlockⅡA類星載鐘。

2.2　自相關(guān)函數(shù)分析

時間相關(guān)系數(shù)是指時間間隔為t的兩個衛(wèi)星鐘差之間的相關(guān)性。圖4與圖5分別示出了降噪處理后的不同種類衛(wèi)星鐘差殘差時間序列的時間相關(guān)系數(shù)平均值,其中:圖4為1 s至10 min的時間相關(guān)系數(shù)圖,圖5為1 s至1 h的時間相關(guān)系數(shù)圖;從圖中可看出,BlockⅡ和BlockⅡA類星載鐘在時間為10 min的時候相關(guān)系數(shù)為0.99和0.939,而BlockⅡR類星載鐘的相關(guān)系數(shù)僅為0.83.圖中可以明顯的看出BlockⅡR類星載鐘的降相關(guān)速度大于其他兩類星載鐘,其他兩類星載鐘的衛(wèi)星鐘差殘差隨著時間間隔的增加有更相近的趨勢,這也導致了BlockⅡ和BlockⅡA類星載鐘的時間相關(guān)系數(shù)大于BlockⅡR類星載鐘;降相關(guān)的速度越大,說明此類星載鐘的衛(wèi)星鐘差受該類誤差的影響越小。這說明:在實際導航應用中基線解算時,BlockⅡ和BlockⅡA類星載鐘采用的越多,導航定位的結(jié)果受衛(wèi)星鐘差影響越大。

圖2　所有衛(wèi)星鐘差誤差均方根值

圖3　均方根平均值

圖4　時間1 s ～10 min的相關(guān)系數(shù)

圖5　時間1 s ～1 h的相關(guān)系數(shù)

2.3　頻譜分析

功率譜密度譜是一種概率統(tǒng)計方法,是對隨機變量均方值的量度。圖6與圖7示出了頻率在0 ～0.5 Hz時不同種類星載鐘鐘差的標準功率譜密度平均值,其中:圖7為平均值經(jīng)過梯形法則處理后的功率譜密度圖;從圖中可看出,BlockⅡ和BlockⅡA兩類星載鐘有相似的功率譜密度形式,而且

圖6　功率譜密度

圖7　基于梯形法則處理的功率譜密度

PSDBlock ||>PSDBlock || A>PSDBlock || R,

(4)

對于BlockⅡR和BlockⅡA兩類星載鐘,功率譜密度越小,說明隨著時間間隔的增加,在實際應用中也就是計算中所采用的歷元越多,衛(wèi)星鐘差對應用結(jié)果的影響越大。

3衛(wèi)星鐘差預報

3.1　基于時間相關(guān)系數(shù)建模衛(wèi)星鐘差預報

如式(1)所示,GPS衛(wèi)星鐘差包含擬合項與殘差項,其中殘差項經(jīng)過Daubechies小波降噪又包含周期項v1,v2…vn與白噪聲。經(jīng)過上文對鐘差周期項的時間相關(guān)特性分析,通過采用指數(shù)函數(shù)對衛(wèi)星鐘差周期性進行建模,即:

(5)

式中: τ為時滯; τ1、τ2為周期。對于時間和自相關(guān)系數(shù),采用最小二乘求得指數(shù)函數(shù)模型系數(shù),建立起衛(wèi)星鐘差周期項自相關(guān)系數(shù)的模型。

通過建立的時間相關(guān)系數(shù)模型,可以通過模型求得任何時間的自相關(guān)系數(shù),進而可以采用衛(wèi)星鐘差的自相關(guān)系數(shù)模型進行衛(wèi)星鐘差周期項的預報。對于鐘差時間序v1,v2…vn,分別通過不同的時間相關(guān)系數(shù)反算n+1時刻的衛(wèi)星差周期項,最后對不同時間求得的n+1時刻的位星鐘差通過相關(guān)系數(shù)定權(quán),求得n+1時刻的衛(wèi)星鐘差周期項。

設(shè)時滯為k,則相關(guān)系數(shù)為Cyy(k);通過自相關(guān)函數(shù)得

(6)

設(shè):

(7)

則:

Cyy(k)= {M+[v(n+1)-u]×

[v(n+1-k)-u]}/

[N+(v(n+1)-u)2].

(8)

對于上式二次方程求解得

(9)

其中:

L=u·(1-Cyy(k))-v(n+1-k) ;

a=Cyy(k);

b=u·Cyy(k)-L;

c=N·Cyy(k)-uL-M.

對于任意時間求得的n+1時刻的衛(wèi)星鐘差,通過時間相關(guān)系數(shù)進行定權(quán),最終求得n+1時刻的衛(wèi)星鐘差周期項。

(10)

對于n+2時刻以及以后時刻的衛(wèi)星鐘差周期項,有了原始的衛(wèi)星鐘差周期項時間序列v1,v2…vn以及n+1時刻的衛(wèi)星鐘差估值。此時,用兩種方法對n+2時刻的衛(wèi)星進行估計:

1) 直接采用原始衛(wèi)星鐘差序列v1,v2…vn對n+2時刻的衛(wèi)星鐘差經(jīng)行估計,而不考慮估計得到的n+1時刻的衛(wèi)星鐘差,此模型定義為CP.

2) 把n+1時刻估計的衛(wèi)星鐘差加入原始鐘差時間,對于估計的衛(wèi)星鐘差經(jīng)過合適的定權(quán),去估計后期的衛(wèi)星鐘差,此模型定義為NP.對于估值與原始鐘差時間序列組成的新的時間序列,本文采用了如下的定權(quán)方式估計n+t時刻的衛(wèi)星鐘差

(11)

3.2　試算結(jié)果

為了驗證基于時間相關(guān)系數(shù)建立的指數(shù)函數(shù)模型的有效性,采用2012年1月1日至2012年1月4日4天的鐘差數(shù)據(jù)進行試算分析。分別選取BlockⅡ,BlockⅡA和BlockⅡR 3類星載鐘,隨機選取每類鐘的一顆衛(wèi)星進行試驗[7]。本文選取的PRN15、PRN20、PRN25這3顆衛(wèi)星,分別經(jīng)過擬合、Daubechies小波降噪得到鐘差的周期項,進而建立各顆衛(wèi)星鐘差周期項的時間相關(guān)系數(shù)模型,并根據(jù)式(10)與式(11)分別預估后期歷元的衛(wèi)星鐘差周期項。

如圖8、圖9和圖10所示,基于時間相關(guān)系數(shù)模型對于三種類型星載衛(wèi)星鐘的4 h的短期預報誤差在1.5 ns以內(nèi),三種類型星載鐘的預報誤差精度存在差異,PRN15與PRN20星載鐘的預報誤差高于PRN25.CP方法與NP方法相比,兩種方法的預報誤差都隨著預測時間的增加,預報誤差增大。對于三種星載鐘都與前期的預報誤差數(shù)量級相當,隨著預報時間的增長,NP方法的預報誤差逐漸大于方法CP,這是由于對于新產(chǎn)生的鐘差周期項時間序列,后期新增加的元素含有誤差,隨著誤差的累積,在后期預報中,NP方法的預報誤差相比于CP方法會逐漸加大。

從圖11和圖12可以看出兩種方法對與不同類別星載鐘的預報鐘差差異,這是由于各衛(wèi)星鐘的類型以及衛(wèi)星發(fā)射時間的不同,星載鐘的特性上有一定的差異性。 從整體實驗上可以看出,BlockⅡR星載鐘的精度和穩(wěn)定性要好于其他兩類星載鐘。對于文中的預報算法始終小于衛(wèi)星鐘差真值,是因為在二次多項式擬合衛(wèi)星鐘差以及對鐘差周期項進行時間相關(guān)系數(shù)建模存在一定的系統(tǒng)誤差,這也是后期急需解決的問題。總體上來講,本文的時頻域分析和預報算法與星載鐘的特性相一致。如圖13所示，以PRN15衛(wèi)星為例,可以看出基于時間相關(guān)系數(shù)建模的衛(wèi)星鐘差預報模型優(yōu)于常規(guī)的二次多項式模型[8]。

圖8　PRN15預報誤差

圖9　PRN20預報誤差

圖10　PRN25預報誤差

圖11　CP方法預報誤差

圖12　NP方法預報誤差

圖13　PRN20預報誤差對比

4結(jié)束語

本文研究了一種基于衛(wèi)星鐘差誤差周期項建模的衛(wèi)星鐘差預報算法,通過對不同類別星載鐘預報算例分析驗證,基于時間相關(guān)系數(shù)建模的衛(wèi)星鐘差預報算法在短期預報中優(yōu)于常規(guī)的二次多項式模型,且預報算法簡單,容易實現(xiàn)。通過衛(wèi)星鐘差時頻域分析和預報結(jié)果可以得到以下結(jié)論:1) 基于時間相關(guān)系數(shù)建模的衛(wèi)星鐘差預報算法隨著預報時間的增加,預報誤差逐漸累積,后期預報誤差增加,但對于短期的衛(wèi)星鐘差預報精度較高; 2) 不同類別星載鐘的特性上存在差異性,BlockⅡR類星載鐘的預報精度高于其他兩類星載鐘; 3) 對于文中兩種方法,方法一的預報誤差數(shù)量級在前期與方法二相當,隨著方法二新的時間序列元素加入,預報誤差逐漸變大; 4) 對于文中預報衛(wèi)星鐘差小于IGS發(fā)布的衛(wèi)星鐘差,存在系統(tǒng)性偏差,因此對于二次多項式擬合原始鐘差和對于衛(wèi)星鐘差周期項建模產(chǎn)生的系統(tǒng)性誤差處理值得進一步的研究。

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王磊(1988-),男,碩士生,主要從事衛(wèi)星導航定位研究。

李英冰(1972-),男,副教授,主要從事GNSS理論研究與軟件研發(fā)。

Research on Temporal Correlation and Prediction

of GPS Satellite Clock Error

WANG Lei,LI Yingbing

(SchoolofGeodesyandGeomatics,WuHanUniversity,Wuhan430079,China)

Key words: Satellite clock error; daubechies wavelets; time-domain analysis; spectral analysis; the prediction of satellite clock error