徐　峰

(蘇州市職業(yè)大學(xué)商學(xué)院，江蘇蘇州　215104)

Vasicek利率下混合分數(shù)布朗運動的歐式期權(quán)定價

徐峰

(蘇州市職業(yè)大學(xué)商學(xué)院，江蘇蘇州215104)

摘要：假設(shè)無風(fēng)險利率遵循Vasicek模型，運用混合分數(shù)布朗運動的It公式，將歐式期權(quán)的定價轉(zhuǎn)化成一個偏微分方程的求解問題.最后,通過求解偏微分方程獲得了歐式期權(quán)的定價公式.

關(guān)鍵詞：Vasicek利率；混合分數(shù)布朗運動；分數(shù)型Black-Scholes偏微分方程；期權(quán)定價；Hurst參數(shù)

收稿日期：2015-06-06;修改稿收到日期:2015-09-06

E-mail:xfoooym@163.com

基金項目:蘇州市職業(yè)大學(xué)創(chuàng)新基金資助項目(2013SZDYY05)

作者簡介：徐峰(1980—)，男，江蘇泰興人，講師，碩士.主要研究方向為金融數(shù)學(xué).

中圖分類號：O 211.6;F 830.9

文獻標(biāo)志碼：標(biāo)志碼：A

文章編號：章編號：1001-988Ⅹ(2015)06-0035-04

Abstract:Assuming that the riskless interest rate is driven by Vasicek model,the European option pricing is changed into the question of solving partial differential equation by It formula of mixed fractional Brownian motion.Finally,a general pricing formula of European option is obtained by using the partial differential equation method.

European option pricing for the mixed fractional

Brownian motion with Vasicek interest rate

XU Feng

(Business School,Suzhou Vocational University,Suzhou 215104,Jiangsu,China)

Key words:Vasicek interest rate;mixed fractional Brownian motion;fractional Black-Scholes PDE;option pricing;Hurst parameter

期權(quán)定價是現(xiàn)代金融學(xué)基礎(chǔ)之一，同時在金融衍生品的研究中，期權(quán)定價的模型研究也是最重要的.文獻[1-4]提出使用混合分數(shù)布朗運動作為噪聲來驅(qū)動金融市場，并證明了當(dāng)Hurst指數(shù)在1/2與1之間時，由混合分數(shù)布朗運動驅(qū)動的市場是完備的且不存在套利機會.混合分數(shù)布朗運動的自相似性以及長程依賴征，使得混合分數(shù)布朗運動比標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動更適合描述金融資產(chǎn)的價格變化行為.在此基礎(chǔ)上，文獻[5-7]研究了在無風(fēng)險利率為常數(shù)時混合分數(shù)布朗運動驅(qū)動下的各類奇異期權(quán)定價的模型及公式求解問題.在短期內(nèi)利率可以是不變的常數(shù)，但在長期情況下，利率是變化的.如果想要較好地描述市場利率的變化過程，就不能再假設(shè)利率為常數(shù).本文采用文獻[8]提出的隨機利率模型，將之應(yīng)用到混合分數(shù)布朗運動驅(qū)動的金融市場模型中，并推導(dǎo)出歐式看漲和看跌期權(quán)的定價公式，該結(jié)論可以推廣已有的一些結(jié)果.

1預(yù)備知識及基本假設(shè)

且有

下面給出混合分數(shù)布朗運動的定義及其性質(zhì).

參考文獻關(guān)于該混合分數(shù)布朗運動}t≥0的一些性質(zhì)及其證明詳見[9].

(ii)對任意的t,s∈R+，有

為了更好地討論Vesicek利率下期權(quán)的定價問題，我們先給出一些基本的假設(shè)條件：

(a)市場上不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本和稅收.

(b)市場上的資產(chǎn)完全可分，可以連續(xù)交易并允許賣空.

(c)市場上不存在套利機會.

(d)股票在期權(quán)生存期[0,T]內(nèi)不支付紅利.

(e)股票價格{S(t),t∈[0,T]}遵循幾何混合分數(shù)布朗運動

其中r(t)表示無風(fēng)險利率，σ1(t),σ2(t)表示波動率；無風(fēng)險利率r(t)滿足Vasicek模型

根據(jù)以上基本假設(shè)，在Vesicek利率前提下，零息票債券的價值不僅依賴于時間的變化，還依賴于利率的隨機變化，下面采用風(fēng)險對沖技術(shù)來推導(dǎo)零息票債券P(r,t;T)的定價公式.

2零息票債券的定價公式

引理1在無風(fēng)險利率滿足Vesicek利率模型(2)的條件下，零息票債券的價格為

其中

證明考慮用兩種不同期限的債券的適當(dāng)組合來對沖風(fēng)險.假設(shè)有兩個到期日分別為T1,T2的債券，對應(yīng)的價格分別為P1,P2.在[t,t+dt]時間段內(nèi)構(gòu)造投資組合Π，由1份零息票債券多頭P1和Δ份零息票債券空頭P2組成，即

對該投資組合應(yīng)用It公式，則有

由無套利原理知E(dΠt)=r(t)Πdt，所以

上式等價于

引入風(fēng)險的市場價格θ，則有

所以零息票債券P(r,t;T)是滿足如下偏微分方程的Cauchy問題的解:

(5)

易知該偏微分方程的唯一解為(3)式.】

注1當(dāng)T-t趨于0時，A(t,T)趨于0，B(t,T)趨于T-t，此時P(r,t;T)=e-r(T-t)，即當(dāng)T和t充分接近時，就等價于在利率為常數(shù)的情形下零息票債券的價格.

3混合分數(shù)布朗運動驅(qū)動的歐式期權(quán)定價

則有

根據(jù)無套利原則可知

結(jié)合(6)式，我們得到歐式看漲股票期權(quán)Vt=V(St,rt,t)滿足如下偏微分方程:

在邊界t=T上，V(S,t,T)=(S-K)+.

定理1設(shè)股票價格S(t)和無風(fēng)險利率r(t)分別滿足(1)式和(2)式，則執(zhí)行價格為K、到期日為T的歐式看漲期權(quán)在t∈[0,T]時的價格為

其中

證明采用變量替換將(7)式轉(zhuǎn)化為一個Cauchy問題，令

通過簡單計算，我們有

將上面等式代入(7)式，可以轉(zhuǎn)化為

其中

令x=lny，則(8)式可以寫成

通過計算，我們有

利用(10)式，(9)式可以表示為

令

則易知

利用(12)式，我們可以將(11)式寫成

其中邊界條件為μ(η,T)=(eη-K)+.

根據(jù)熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解理論，(13)式有唯一強解

將邊界條件代入可得

對上式運用逆變換方法，則定理成立.】

采用類似方法可以推導(dǎo)出歐式看跌期權(quán)的定價公式，不加證明地給出下面定理.

定理2條件同定理1，則歐式看跌期權(quán)的定價公式為

其中d1,d2的表達式與定理1一致.

[1]BENDERC，SOTTINENT，VALKEILAE．Pricingbyhedgingandno-arbitragebeyondsemimartingales[J].Finance and Stochastics,2008，12(4)：441．

[2]CHERIDITOP．Regularizing Fractional Brownian Motion with a View Towards Stock Price Modeling[D].Zurich:SwissFederalInstituteofTechnology，2001．

[3]ANDROSHCHUKT，MISHURAY．MixedBrownian-fractionalBrownianmodel：absenceofarbitrageandrelatedtopics[J]. Stochastics： An International Journal of Probability and Stochastic Processes，2006，78(5)：281．

[4]BENDERC，ELLIOTTRJ．ArbitrageinadiscreteversionoftheWick-fractionalBlack-Scholesmarket[J].Mathematics of Operations Research，2004，29(4)：935．

[5]楊朝強．混合分數(shù)布朗運動下一類歐式回望期權(quán)定價[J].山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2012，47(9)：105．

[6]孫玉東，師義民．混合分數(shù)布朗運動下亞式期權(quán)定價[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2011，28(1)：49．

[7]徐峰，鄭石秋．混合分數(shù)布朗運動驅(qū)動的冪期權(quán)定價模型[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2010，27(2)：8．

[8]VASICEKO．Anequilibriumcharacterizationofthetermstructure[J].Journal of Financial Economics，1977，5(2)：177．

[9]ZILIM．OnthemixedfractionalBrownianmotion[J].Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis，2006，2006(1)：1．

(責(zé)任編輯馬宇鴻)