黃世華1，楊兆蘭1，曹建軍2，秦燕燕3

(1.蘭州文理學院師范學院, 甘肅蘭州　730030；

2.西北師范大學地理與環(huán)境科學學院,甘肅蘭州　730070；

3.甘肅省白龍江林業(yè)管理局林業(yè)科學研究所,甘肅蘭州　730070)

基于不確定理論的EOQ模型及庫存風險分析

黃世華1，楊兆蘭1，曹建軍2，秦燕燕3

(1.蘭州文理學院師范學院, 甘肅蘭州730030；

2.西北師范大學地理與環(huán)境科學學院,甘肅蘭州730070；

3.甘肅省白龍江林業(yè)管理局林業(yè)科學研究所,甘肅蘭州730070)

摘要：基于不確定理論，研究了需求為不確定變量(不是隨機變量和模糊變量)的庫存風險控制最優(yōu)策略，以風險最小化為目標建立了庫存風險模型.確定了“之字形分布”下的最佳需求估計值，得出了需求為不確定變量時的經(jīng)濟訂貨批量和訂貨周期的修正公式.應用數(shù)學軟件Matlab，對該模型進行仿真計算，結合靈敏度分析方法，分析了模型參數(shù)變化對庫存風險控制的影響.

關鍵詞：不確定變量；之字形分布；經(jīng)濟訂貨批量；庫存風險模型

收稿日期：2015-03-27;修改稿收到日期:2015-08-26

E-mail:shihuah@sina.com

基金項目:國家自然科學基金資助項目(41461109)

作者簡介：黃世華(1969—)，女，甘肅永靖人，教授.主要研究方向為數(shù)理應用及模型.

中圖分類號：O 227

文獻標志碼：標志碼：A

文章編號：章編號：1001-988Ⅹ(2015)06-0028-07

Abstract:In order to achieve the goal of minimizing risk on inventory,based on the uncertainty theory,the optimal strategy of inventory control under uncertain demand is explored,and the risk model of inventory is established.Furthermore,the best demand estimated value is confirmed under the“zigzag distribution”,and the formulae of economic order quantity and the ordering cycle with uncertain variables are further corrected.Following this,using the mathematical software Matlab,the model’s simulation values are calculated,and the effect of parameter variation on inventory risk control is analysed by combining with sensitivity analysis method.

EOQmodelbasedonuncertaintytheoryand

inventoryriskanalysis

HUANGShi-hua1，YANG Zhao-lan1，CAO Jian-jun2，QIN Yan-yan3

(1.NormalCollege,LanzhouUniversityofArtsandSciences,Lanzhou730030,Gansu,China；

2.CollegeofGeographyandEnvironmentSciences,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China；

3.ResearchInstituteofForestryScience,BailongjiangForestryManagementBureau,Lanzhou730070,Gansu,China)

Keywords:uncertainvariables；zigzagdistribution；economicorderquantity；inventoryriskmodel

0引言

不確定理論由Liu[1]于2007年建立，并于2010年得到了進一步完善[2]．該理論是具有規(guī)范性、對偶性、次可列可加性和乘積測度的數(shù)學系統(tǒng)，是公理化數(shù)學的一個分支，是用于研究主觀不確定現(xiàn)象的數(shù)學工具．不確定集是不確定理論的主要內(nèi)容之一，2010年Liu[3]首次提出不確定集，并于2012年給出了不確定集的新定義[4].不確定集是定義在不確定空間上的極值函數(shù)，不同于Zadeh[5]定義的模糊集和Matheron[6]定義的隨機集．不確定集、模糊集和隨機集雖都是極值函數(shù)，但它們之間存在本質的不同.主要區(qū)別在于依據(jù)的測度不同，即不確定集依據(jù)的是Liu[1]定義的不確定測度，模糊集依據(jù)的是Zadeh[5]提出的可能測度，隨機集依據(jù)的是Kolmogorov[7]定義的概率測度．目前，不確定理論已成功應用于信息科學、自動化、經(jīng)濟學、工業(yè)工程和管理科學等領域中．

庫存問題一直是生產(chǎn)管理領域的探索前沿，許多新概念都是在對其進行系統(tǒng)研究和深刻反思的基礎之上提出的．自Wilson于1905年首次提出經(jīng)濟批量公式(EOQ)以后,存貯理論發(fā)展異常迅猛，許多學者對庫存模型中經(jīng)濟批量研究做了很多工作．李溫紅[8]提出倉庫容量有限條件下訂貨銷售存貯的EOQ模型；宋國芳等[9]對有批量折扣不允許缺貨的EOQ問題進行了研究；楊益民等[10]討論了關于生產(chǎn)銷售存貯的EOQ問題；羅兵[11]等探討了存貨影響銷售和顧客等待的特價商品EOQ模型；萬延花等[12]以利潤最大化為目標，利用利潤的兩階段函數(shù)給出了再制造零部件和再裝配產(chǎn)品的最優(yōu)批量．Ilkyeong等[13]研究了產(chǎn)品壽命周期在隨機變量條件下，資金的時間價值和通貨膨脹因素對EOQ模型的影響；Gupta-Vrat[14]在假定存貨影響銷售率是初始庫存水平的函數(shù)的情況下，研究了成本最小的庫存模型；Padmanabhan-Vrat[15]在假定存貨影響銷售率是任意時刻庫存水平函數(shù)和變質率是常數(shù)的情況下，提出了變質物品存貨影響銷售率的庫存模型；王道平等[16]探討了需求和采購價格均為時變的易變質物品EOQ模型；馮穎等[17]研究了在給定時間范圍內(nèi)多種易變質產(chǎn)品的一次性聯(lián)合訂購決策，使庫存系統(tǒng)總成本最小問題；李明芳等[18]研究了延期支付期限與訂貨量相關情形下的EOQ模型．Kacpp-Staniewski[19]和Park[20]最先將模糊分析方法引入庫存管理,之后許多學者利用模糊分析方法研究了庫存問題，如Li等[21]提出了兩種模型：一種是關于需求隨機和成本模糊的，另一種是關于成本確定和需求模糊的，通過模糊數(shù)的模糊排序，他們提出了獲得最佳訂購量的途徑；Chang等[22]和Wu[23]分別研究了訂購量是三角形和梯形模糊數(shù)的EOQ模型;Eynan等[24]提出了在庫存費用可變、需求隨機的等周期庫存系統(tǒng)下的最優(yōu)訂貨周期和安全庫存；Geunes等[25]分析了參數(shù)可變、需求隨機的庫存系統(tǒng)中再訂貨點和訂貨量決策問題；Shao等[26]建立隨機需求下多產(chǎn)品的報童模型;張福利等[27]從零售商的需求將會受到庫存約束的角度探討了不確定需求條件下制造商的退貨政策;邱若臻等[28]在需求分布不確定條件下，建立基于最大最小方法的多周期庫存魯棒優(yōu)化模型；程碩等[29]對市場需求不確定情況下的多周期生產(chǎn)批量決策優(yōu)化問題進行了研究；趙明等[30]將經(jīng)典報童問題擴展為基于隨機模糊需求的自由分布報童模型；趙建華等[31]基于不確定理論的運算法則，在不確定環(huán)境下對投資收益與風險問題的模型進行了研究.

通過對以往文獻的分析發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)庫存研究的重點都集中在關于定常需求的庫存控制問題研究、關于時變需求的庫存控制問題研究、關于依賴于庫存水平需求的庫存控制問題研究、關于隨機需求的庫存控制問題研究、關于隨機模糊需求和模糊隨機需求的庫存控制問題研究、多種物品的庫存控制問題研究上．目前,研究需求為不確定變量(不是隨機變量和模糊變量，也不是隨機模糊變量和模糊隨機變量)的庫存控制問題較少,故本文在不確定理論基礎上,研究需求為不確定變量的庫存風險控制最優(yōu)策略，以風險最小化為目標建立庫存風險模型，并確定“之字形分布”下的最佳需求估計值，得出了需求為不確定變量時的經(jīng)濟訂貨批量和訂貨周期的修正公式．最后，應用數(shù)學軟件Matlab，對該模型進行仿真計算，并對各個參數(shù)進行靈敏度分析，說明修正后的經(jīng)濟訂貨批量和訂貨周期優(yōu)于經(jīng)典經(jīng)濟訂貨批量和訂貨周期，是經(jīng)典庫存問題的一種推廣．

1預備知識(不確定性理論)

設Γ是一個非空集合，L是Γ上的一個σ-代數(shù)，在σ-代數(shù)L中的每一個元素Λ叫做一個事件；M是一個集函數(shù)，如果L滿足規(guī)范性、自對偶性、可列次可加性，那么稱M為一個不確定測度.不確定測度是一個從L映射到[0，1]的函數(shù)，三元組(Γ，L，M)被稱為是一個不確定空間.

隨機變量可以用它的密度函數(shù)來刻畫，模糊變量可以用它的隸屬函數(shù)來刻畫，而對一個不確定變量，最簡單有效的方式是用它的分布函數(shù)來刻畫.

定義2[3]一個不確定變量ξ的不確定分布Φ定義為:對?x∈R,Φ(x)=M{ξ≤x}.

定義3[2]一個不確定變量ξ稱為之字形的，如果它具有之字形不確定分布，記為

其中a,b,c是實數(shù)且a

定理1[3]假設一個不確定變量ξ具有連續(xù)的不確定分布Φ(x)，那么對于任意的實數(shù)x,有

2模型假設與符號說明

參照EOQ模型的基本假設，本文做如下假設，其中(v)，(vi)是對經(jīng)典假設的推廣.

(i)允許缺貨，當庫存量下降到某定值時提前訂貨.

(ii)不考慮通貨膨脹或者通貨緊縮.

(iii)只考慮單個產(chǎn)品訂購.

(iv)不存在數(shù)量折扣，不存在物品變質，不存在存貨影響銷售率等情況.

(v)每次訂貨量可以不同，但必須是整數(shù).

(vi)單位時間的需求量為不確定變量ξ，ξ服從Z(R1,R,R2)的之字形分布.

符號說明：

3建模與求解

眾所周知，在經(jīng)典的庫存模型中進貨周期T和經(jīng)濟訂貨批量Q分別為：

通常在短時期內(nèi)，單位存貯費C1和訂貨費C3都不變，但由于市場、生產(chǎn)或自然環(huán)境的變化都有可能引起對庫存物資需求的變化，需求速度很難保證是一個不變的常數(shù).利用經(jīng)典庫存公式確定的庫存量很可能未來面臨兩種風險：一是需求突然下降，周期內(nèi)庫存物資積壓而帶來的相關損失，二是需求突然增加，周期內(nèi)庫存物資缺貨而造成的損失，我們將這兩種損失統(tǒng)稱為庫存風險.引起庫存風險的因素有很多，假定庫存風險僅由需求量的變化而引起，那么庫存風險將圍繞需求速度而變動.假定我們沒有關于需求速度不確定變化的統(tǒng)計資料，只有對需求速度變化范圍以及在該范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性進行估計，即單位時間的需求量為一個不確定變量ξ，其不確定分布為：

R是最有可能的需求速度(即客觀環(huán)境不發(fā)生意外變化條件下的正常需求速度)，R1和R2分別是一旦發(fā)生變化后的最小可能需求速度和最大可能需求速度，Φ(ξ)是需求速度在變化范圍[R1，R2]內(nèi)的可能性主觀估計(圖1).當實際需求速度ξ大于正常需求速度R時將會造成缺貨，這時應當在正常需求速度R的預計庫存為零之前再次訂貨;當實際需求速度ξ小于正常需求速度R時將會造成積壓，這時應當在正常需求速度R的預計庫存為零之后再次訂貨.下面以一個訂貨周期內(nèi)庫存系統(tǒng)的風險損失最小為目標建立模型.

圖1　“之字形”不確定分布

3.1ξ

假定正常需求速度為R時的最優(yōu)庫存量為Q0，當ξ

R為需求速度時周期T內(nèi)平均存貯量

則周期T內(nèi)平均積壓量為Q0-Q1， 積壓增加的存貯費為

3.2ξ>R時的庫存損失

周期T內(nèi)平均庫存節(jié)省費用

因此，當ξ>R時，周期T內(nèi)綜合損失費用為

圖2　ξ>R時缺貨庫存

綜上分析，需求速度為ξ時的風險損失函數(shù)為

3.3風險損失函數(shù)下訂貨周期和訂貨量的決策

圖3　庫存風險函數(shù)與需求量的可能性分布

在不確定分布Φ(ξ)下，風險函數(shù)R(ξ)與ξ軸圍成面積的重心橫坐標為

由假設(vi)知ξ服從Z(R1,R,R2)的之字形分布.根據(jù)不確定測度的性質及測度反演定理可知：

記α1=M{R1≤ξ≤R}，α2=M{R≤ξ≤R2},則

其中，

4仿真與靈敏度分析

有些時候庫存問題中難以找到統(tǒng)計數(shù)據(jù)，現(xiàn)在根據(jù)Liu[2]建立的不確定理論的運算規(guī)律，依靠管理者的經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行仿真和靈敏度分析.仿真計算結果見表1，參數(shù)C1,C2,C3對最優(yōu)解的影響分別見表2、表3和表4.

表1　仿真計算結果

注：計算過程中取C1=1,C2=100,C3=2000,α1=0.3,α2=0.4.

表2　C1對最優(yōu)解的影響

注：計算過程中取C2=100,C3=2000,R=100,R1=20,R2=150,α1=0.3,α2=0.4.

表3　C2對最優(yōu)解的影響

注：計算過程中取C1=1,C3=2000,R=100,R1=20,R2=150,α1=0.3,α2=0.4.

表4　C3對最優(yōu)解的影響

注：計算過程中取C1=1,C2=100,R=100,R1=20,R2=150,α1=0.3,α2=0.4.

從表1可以看到,修正后的訂貨周期小于等于經(jīng)典訂貨周期，修正后的經(jīng)濟訂貨批量大于經(jīng)典經(jīng)濟訂貨批量，隨著需求量的增加訂貨周期縮短，訂貨量增加.由表2可以看到,隨著單位時間內(nèi)單位物品存貯費的增加，修正后的經(jīng)濟訂貨批量與經(jīng)典經(jīng)濟訂貨批量的基差越來越小，而修正后的訂貨周期與經(jīng)典訂貨周期的基差無明顯的一致性.由表3可以看到,隨著單位時間內(nèi)單位物品的缺貨損失費的增加，修正后的經(jīng)濟訂貨批量和訂貨周期與經(jīng)典經(jīng)濟訂貨批量和訂貨周期一致，無明顯改變.由表4可以看到,隨著訂貨商處理每筆訂單的訂貨費的增加,修正后的經(jīng)濟訂貨批量大于經(jīng)典經(jīng)濟訂貨批量，而且修正后的經(jīng)濟訂貨批量與經(jīng)典經(jīng)濟訂貨批量的基差越來越大，修正后的訂貨周期與經(jīng)典訂貨周期基本一致性．

5結論

本文對經(jīng)典庫存在需求發(fā)生變化時產(chǎn)生的損失進行討論，針對需求變化帶來的經(jīng)濟損失定義了風險函數(shù).在給出需求變化的之字形不確定分布條件下，對傳統(tǒng)的經(jīng)濟批量模型進行修正，得到了不確定意義下的庫存風險規(guī)避方案，即通過求風險函數(shù)在之字形分布下的重心，用重心決策方法得出不確定需求下的最優(yōu)存貯量，為庫存控制最優(yōu)策略問題的研究提供了一種方法.應用數(shù)學軟件Matlab，通過數(shù)值仿真計算實際需求速度介于一旦發(fā)生變化后的最小可能需求速度和最大可能需求速度之間的最佳訂貨周期和最佳訂貨量，與經(jīng)典庫存模型的訂貨周期和訂貨量做了清晰的比較.通過對模型主要參數(shù)(C1,C2,C3)的靈敏度分析，顯示出各主要參數(shù)的變化對最優(yōu)解的影響程度.本文所建立的模型還可以做更深層次的研究，如考慮資金的時間價值、產(chǎn)品壽命周期、倉庫容量有限等情況，顯然這些假設條件會增加數(shù)學分析的難度，但卻更符合實際情況.

參考文獻:

[1]LIU B D.UncertaintyTheory[M].2nd ed.Berlin:Springer,2007.

[2]LIU B D.UncertaintyTheory:ABranchofMathematicsforModelingHumanUncertainty[M].Berlin:Springer,2010.

[3]LIU B D.Uncertain set theory and uncertaininference rule with application to uncertain control[J].JournalofUncertainSystems,2010,4(2):83.

[4]LIU B D.Membership functions and operational law of uncertion sets[J].FuzzyOptimizationandDecisionMaking,2012,11(4):387.

[5]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].InformationandControl,1965,8:338.

[6]MATHERON G.RandomSetsandIntegralGeometry[M].New York:Wiley,1975.

[7]KOLMOGOROV A N.GrundbegriffederWahrscheinlichkeitsrechnungJulius[M].Berlin:Springer,1933.

[8]李溫紅.倉庫容量有限條件下的不允許缺貨存貯模型[J].系統(tǒng)工程理論方法應用,1997,6(3):68.

[9]宋國防,聶德懷,汪建輝.庫容有限且有批量折扣的不允許缺貨存貯模型[J].天津大學學報,1999,32(5):604.

[10]楊益民,付必勝.倉庫容量有限條件下的生產(chǎn)銷售存貯模型[J].系統(tǒng)工程,2001,19(1):18.

[11]羅兵,王晶晶,常旭華.存貨影響銷售和顧客等待的特價商品模型[J].系統(tǒng)工程學報,2013,28(3):362.

[12]萬延花,陳偉達.需求不確定的再制造批量決策[J].系統(tǒng)管理學報,2012,21(2):270.

[13]ILKYEONG M,LEE S.The effects of inflation and time-value of money on an economic order quantity model with a random product life cycle[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,2000,125:588.

[14]GUPTA R,VRAT P.Inventory model for stock-dependent consumption rate[J].OperationResearch,1986,23:19.

[15]PADMANABHAN G,VRAT P.EOQ models for perishable items under stock dependent selling rate[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,1995,86:281.

[16]王道平,于俊娣,李向陽.需求和采購價格均為時變的易變質物品EOQ模型[J].數(shù)學的實踐與認識,2011,41(8):59.

[17]馮穎,蔡小強,涂菶生.資金和庫存空間約束下多種易變質產(chǎn)品的聯(lián)合訂購策略[J].蘭州大學學報(自然科學版),2009,45(6):142.

[18]李明芳,王道平.延期支付期限與訂貨量相關情形下的EOQ模型[J].系統(tǒng)管理學報,2011,20(4):389.

[19]KACPR Y J,STANIEW K P.Long-term inventory policy-making through fuzzy decision-making models[J].FuzzySetsandSystems,1982,8:117.

[20]PARK K S.Fuzzy set theoretic interpretation of economic order quantity[J].IEEETransactionsonSystemsandCybernetics,1987(SMC-17):1082.

[21]LI S,KABADI S H,NAIR K P K.Fuzzy models for single-period inventory problem[J].FuzzySetsandSystems,2002,132：273.

[22]CHANG S C,YAO J S,LEE H M.Economic reorder point for fuzzy backorder quantity[J].EuropeanJournalofEuropeanJournalofOperationalResearch,1998,109(1):183.

[23]WU K M,YAO J S.Fuzzy inventory with backorder for fuzzy order quantity and fuzzy short age quantity[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,2003,150(2):320.

[24]EYNAN A I,DEAN H K.Effective and simple EOQ- like solutions for stochastic demand periodic review systems[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,2007,180(3):1135.

[25]GEUNES J P,RANGA V R,JACK C H.Adapting the newsvendor model for infinite-horizon inventory systems[J].InternationalJournalofProductionEconomics,2001,72(3):237.

[26]SHAO Zhen,JI Xiao-yu.Fuzzy multi-product constraint newsboy problem[J].AppliedMathematicsandComputation,2006,180(1):7.

[27]張福利,達慶利.不確定需求條件下制造商的退貨政策[J].系統(tǒng)管理學報,2013,22(2):185.

[28]邱若臻,黃小原,苑紅濤.需求分布不確定條件下的多周期庫存魯棒優(yōu)化模型[J].控制與決策,2014,29(9):1645.

[29]程碩,張畢西,曹銘,等.需求不確定情況下的多周期生產(chǎn)批量決策[J].數(shù)學的實踐與認識,2015,45(11):39.

[30]趙明,周永務.隨機模糊需求下的自由分布報童問題研究[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版),2011,34(6):932.

[31]趙建華,李薇,劉雅娜,等.不確定環(huán)境下投資收益與風險問題的模型研究[J].石家莊學院學報,2015,17(3):22.

(責任編輯馬宇鴻)