三角代數(shù)上的廣義Jordan左導(dǎo)子

劉莉君

(陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

[摘要]運用算子論的方法研究三角代數(shù)上的廣義Jordan左導(dǎo)子，證明了三角代數(shù)上的廣義Jordan左導(dǎo)子是廣義左導(dǎo)子，給出三角代數(shù)上廣義左導(dǎo)子的一種表示定理及關(guān)于廣義Jordan左導(dǎo)子的相關(guān)性質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]三角代數(shù)；廣義Jordan左導(dǎo)子；廣義左導(dǎo)子

[文章編號]1673-2944(2015)04-0068-03

[中圖分類號]O177.1

收稿日期：2015-01-06

基金項目：陜西省教育廳自然科學(xué)研究計劃項目(2013Jk0571)

作者簡介：劉莉君(1980—)，女，陜西省城固縣人，陜西理工學(xué)院講師，碩士，主要研究方向為算子代數(shù)和算子理論。

設(shè)Γ是可交換環(huán)R上的一個代數(shù)，Z(Γ)為其中心。如果σ(xy)=σ(x)y+xσ(y)(?x,y∈Γ)，稱線性映射σ:Γ→Γ是一個導(dǎo)子；如果σ滿足σ(x2)=σ(x)x+xσ(x)(?x,y∈Γ)，則稱它是一個Jordan導(dǎo)子；如果δ(xy)=xδ(y)+yδ(x)(?x,y∈A)，稱線性映射δ:?！Ｊ且粋€左導(dǎo)子；如果δ滿足δ(x2)=2xδ(x)(?x∈Γ)，則稱它是一個Jordan左導(dǎo)子；如果φ滿足φ(xy)=xφ(y)+δ(x)y，其中δ是從Γ到自身上的Jordan左導(dǎo)子，則稱φ是一個廣義左導(dǎo)子；如果滿足φ(x2)=xφ(x)+xδ(x)，則稱φ是一個廣義Jordan左導(dǎo)子；顯然，每個廣義左導(dǎo)子都是廣義Jordan左導(dǎo)子，但反之并一定成立。本文受文獻[1-7]的啟發(fā)，討論了三角代數(shù)上的廣義Jordan左導(dǎo)子，得出結(jié)論三角代數(shù)上的廣義Jordan左導(dǎo)子都是廣義左導(dǎo)子，從而推廣了三角代數(shù)上的Jordan左導(dǎo)子的主要結(jié)果。

本文設(shè)A,B是交換環(huán)R上的具有單位元的代數(shù)，M既是左A-模又是右B-模(此時，稱M是(A,B)-雙邊模)。如果

則稱M是(A,B)-忠實雙邊模。

記

容易看出，滿足矩陣加法、數(shù)乘與乘法運算，故Tri(A,M,B)為一個代數(shù)，稱為三角代數(shù)[8]。

定理1設(shè)U=Tri(A,M,B)為三角代數(shù)，映射φ是從U到自身上的廣義Jordan左導(dǎo)子，映射δ是從U到自身上的Jordan左導(dǎo)子，則對于任意的x,y,z∈U，有

(Ⅰ)φ(xy+yx)=xφ(y)+yφ(x)+xδ(y)+yδ(x)；

(Ⅱ)φ(xyx)=xyφ(x)+2xyδ(x)+x2δ(y)-yxδ(x)；

(Ⅲ)φ(xyz+zyx)=xyφ(z)+zyφ(x)+2xyδ(z)+2zyδ(x)+xzδ(y)+zxδ(y)-yxδ(z)-yzδ(x)。

證明(Ⅰ)因為映射φ是U上的一個廣義Jordan左導(dǎo)子，因此就有φ(x2)=xφ(x)+xδ(x)，則

(1)

另一方面，

(2)

由(1)和(2)式可得

(Ⅱ)在等式φ(xy+yx)=xφ(y)+yφ(x)+xδ(y)+yδ(x)中用xy+yx替代y可得

(3)

又因為映射δ是三角代數(shù)U到它自身上的Jordan左導(dǎo)子，故

(4)

綜合(3)和(4)式可得

(5)

另一方面

(6)

由(5)和(6)式可得

(Ⅲ)在(Ⅱ)的等式中用x+z替代x可得

(7)

另一方面

(8)

由(7)和(8)式可得

證畢。

引理1[9]設(shè)U=Tri(A,M,B)為三角代數(shù)，如果映射δ是從U到它自身上的Jordan導(dǎo)子，則U上的每一個Jordan導(dǎo)子都是導(dǎo)子，即對于任意的x,y∈U，有

引理2設(shè)U=Tri(A,M,B)為三角代數(shù)，φ是從U到它自身上的一個線性可加映射，對于任意的x,y∈U，則有

(Ⅰ)若φ(x2)=φ(x)x，則φ(xy)=φ(x)y；

(Ⅱ)若φ(x2)=xφ(x)，則φ(xy)=xφ(y)。

證明(Ⅰ)因為φ是從U到它自身上的一個線性可加映射且滿足φ(x2)=φ(x)x，故

(9)

在(9)式中用xy+yx替代y可得

(10)

又因為

(11)

由(10)和(11)式可得

(12)

再在(12)式中用x+z替代x可得

(13)

另一方面

(14)

由(13)和(14)式可得

(15)

由(12)式可得

φ(xyzyx+yxzxy)= φ[x(yzy)x+y(xzx)y]=

(16)

由(15)式可得

φ(xyzyx+yxzxy)= φ[(xy)z(yx)+(yx)z(xy)]=

(17)

綜合(16)和(17)式就有

(18)

不妨設(shè)B(x,y)=φ(xy)-φ(x)y，則(18)式可寫成B(x,y)zyx+B(y,x)zxy=0(?x,y∈U)。又結(jié)合(9)式易證得B(x,y)=-B(y,x)，即有B(x,y)z(yx-xy)=0，又因為任意的x,y,z∈U，故z(yx-xy)≠0，則B(x,y)=0，即φ(xy)=φ(x)y。證畢。

類似于結(jié)論(Ⅰ)，同理可證結(jié)論(Ⅱ)：若φ(x2)=xφ(x)，則φ(xy)=xφ(y)成立。

定理2設(shè)U=Tri(A,M,B)為三角代數(shù)，如果線性可加映射φ是U上的一個廣義Jordan左導(dǎo)子，則線性可加映射φ也是三角代數(shù)U上的一個廣義左導(dǎo)子，即滿足φ(xy)=xφ(y)+yδ(x)。

證明對于該定理分兩種情況證明。

(1)若δ=0時，因為線性可加映射φ是U上的一個廣義Jordan左導(dǎo)子，即有φ(x2)=xφ(x)，故由引理2中(Ⅱ)可得φ(xy)=xφ(y)。因此線性可加映射φ是三角代數(shù)U上的一個廣義左導(dǎo)子。

(2)若δ≠0時，因為φ,δ,φ都是U上的線性可加映射，故不妨設(shè)φ=φ-δ，因此就有

由引理2中(Ⅱ)可得φ(xy)=xφ(y)，即(φ-δ)(xy)=x[(φ-δ)(y)]，展開可得φ(xy)-δ(xy)=xφ(y)-xδ(y)，又由引理1可知δ(xy)=δ(x)y+xδ(y)，故

綜上可知，三角代數(shù)上的每一個廣義Jordan左導(dǎo)子都是三角代數(shù)上的廣義左導(dǎo)子。證畢。

注由定理可知，三角代數(shù)上的廣義Jordan左導(dǎo)子和廣義左導(dǎo)子互相等價。

[參考文獻]

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[責(zé)任編輯：魏 強]

Generalized Jordan left derivation of triangular algebra

LIU Li-jun

(School of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Teachnology,

Hanzhong 723000, China)

Abstract:By using operator theory methods to study generalized Jordan left derivation in triangular algebra, it is proved in the study that every generalized Jordan left derivation on a triangle algebra is a generalized left derivation on a triangle algebra. The study derives a representation theorem for the generalized left derivation and relevant property about generalized Jordan left derivation.

Key words:triangular algebra;generalized Jordan left derivation;generalized left derivation