基于Orlicz函數(shù)及強缺項收斂的模糊數(shù)列空間

鞏增泰， 馮雪

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 甘肅 蘭州 730070)

摘要：作為缺項統(tǒng)計收斂模糊數(shù)列空間的推廣，基于Orlicz函數(shù)，在定義模糊數(shù)列強缺項收斂的基礎上，提出和討論了三類基于Orlicz函數(shù)的模糊數(shù)列空間F(M,θ,p),F0(M,θ,p)和F∞(M,θ,p)，并證明了空間的線性性質(zhì)；最后通過研究模糊數(shù)列強缺項收斂與缺項統(tǒng)計收斂之間、強缺項收斂與強收斂之間的相互關系，得到幾類基于Orlicz函數(shù)的模糊數(shù)列空間的包含關系。

關鍵詞:模糊數(shù)； Orlicz函數(shù)； 模糊數(shù)列空間

中圖分類號：O159文獻標志碼： A

文章編號：1672-4291(2015)01-0008-05

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.01.112

收稿日期：2014-02-26

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11371248); 安徽省高校自然科學

On sequence spaces of fuzzy numbers based on Orlicz functions

and strongly lacunary convergence

GONG Zengtai, FENG Xue

(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu, China)

Abstract:As an extension of the lacunary statistical convergent sequence space of fuzzy numbers,some sequence spaces of fuzzy numbers,F(M,θ,p),F0(M,θ,p) and F∞(M,θ,p) based on Orlicz functions and strongly lacunary convergence are defined and discussed.It is shown that the spaces are linear spaces.In addition,the relationships of them are investigated by means of the discussion of strongly lacunary convergence,lacunary statistical convergence and strong convergence for the sequence of fuzzy numbers.

Key words: fuzzy numbers; Orlicz functions; sequence spaces of fuzzy numbers

MR subject classification: 26A39, 26A42

自1951年Fast[1]引入統(tǒng)計收斂的概念以來，統(tǒng)計收斂問題得到許多學者[2-8]的深入研究。值得注意的是,自20世紀90年代以來,對統(tǒng)計收斂的研究異常活躍，其討論涉及矩陣求和、級數(shù)理論、傅里葉分析、三角級數(shù)以及Banach空間理論等諸多領域?？紤]具體數(shù)學建模過程中數(shù)據(jù)和信息的不確定性，而這種不確定性往往表現(xiàn)為一個模糊數(shù)[9-10]，所以對于模糊數(shù)列收斂問題的研究顯得非常必要。2001年，Savas[11]討論了模糊數(shù)列的統(tǒng)計收斂，并給出了刻畫定理，結果表明收劍的模糊數(shù)列可以表示為一個普通收斂的模糊數(shù)列與一個零自然密度模糊數(shù)列的和。2006年，Aytar等人[12]提出了統(tǒng)計有界模糊數(shù)列的統(tǒng)計上、下極限定義，并得到了統(tǒng)計有界的模糊數(shù)列統(tǒng)計收斂與其統(tǒng)計上、下極限之間的關系。2008年，Anastassiou[13]給出了基于非負正則可和矩陣的模糊數(shù)序列的統(tǒng)計收斂和連續(xù)模糊數(shù)值函數(shù)模糊模的定義，證明了模糊正線性算子的Korovkin定理，并利用連續(xù)模糊估計了基于非負正則可和矩陣算子的統(tǒng)計收斂速率。2008年，Kumar[14]將自然密度為0的自然數(shù)子列集合看作一個理想，作為模糊數(shù)列統(tǒng)計收斂的推廣，提出并討論了模糊數(shù)列的理想收斂。2011年，鞏增泰等[15]在引入模糊數(shù)值函數(shù)統(tǒng)計收斂、一致統(tǒng)計收斂、等度統(tǒng)計收斂等概念的基礎上，討論了它們之間的相互關系及其水平截函數(shù)之間的關系,并在測度有限的情況下，得到了模糊數(shù)值函數(shù)統(tǒng)計收斂的Egorov定理和勒貝格定理。此外，作為收斂的另一種推廣，1989年，Nuray[16]就模糊數(shù)列的缺項統(tǒng)計收斂做了深入研究，提出并證明了模糊數(shù)列統(tǒng)計收斂集與缺項統(tǒng)計收斂集之間的關系。2001年Kwon[17]就模糊數(shù)列統(tǒng)計收斂集與缺項統(tǒng)計收斂集之間的關系做了研究。2012年，文獻[18]將模糊數(shù)列的統(tǒng)計收斂和缺項統(tǒng)計收斂置于理想的框架下，研究了模糊數(shù)列的理想統(tǒng)計收斂、理想缺項統(tǒng)計收斂、缺項統(tǒng)計收斂之間的相互關系。關于Orlicz序列空間的研究始于1971年Lindenstrauss和Tzafriri[19]的工作，結果表明任何一個Orlicz序列空間lM包含一個同構于lp(1≤p<∞)的子空間。而后,文獻[20-22]分別利用Orlicz函數(shù)定義和推廣了Orlicz序列空間lM及強可和序列空間。文獻[23]是國內(nèi)對Orlicz空間理論較為系統(tǒng)的研究。作為缺項統(tǒng)計收斂的模糊數(shù)列空間之推廣，本文基于Orlicz函數(shù)，在定義模糊數(shù)列強缺項收斂的基礎上，提出和討論三個基于Orlicz函數(shù)的模糊數(shù)列空間F(M,θ,p),F0(M,θ,p)和F∞(M,θ,p)，并證明了空間的線性性質(zhì)。最后在討論模糊數(shù)列強缺項收斂、缺項統(tǒng)計收斂以及強收斂相互關系的基礎上，研究了所提出的模糊數(shù)列空間的包含關系，推廣了前人的工作。

1定義及說明

實數(shù)R上的模糊集u稱為模糊數(shù)，是指u是正規(guī)的,凸模糊集,隸屬度函數(shù)u(x)上半連續(xù),支撐集[u]0=cl{x∈R:u(x)>0}為緊集[9-10]。記所有模糊數(shù)組成的集合為E1。對任意的0≤r≤1,水平截集[u]r={x:u(x)≥r}是一個閉區(qū)間。對u、v∈E1,k∈R，加法和數(shù)乘[9]為

[u+v]r=[u]r+[v]r;[ku]r=k[u]r。

模糊數(shù)u、v∈E1之間距離為

定義1設M是Orlicz函數(shù)，X={Xk}是模糊數(shù)列,θ={kr}是缺項數(shù)列,p={pk}是正實數(shù)列。對于μ>0，定義下列基于Orlicz函數(shù)和強缺項收斂的模糊數(shù)列空間:

F(M,θ,p)=

F0(M,θ,p)=

F∞(M,θ,p)=

注2當M(x)=x,θ=2r時，F(xiàn)(M,θ,p)=F(p),F0(M,θ,p)=F0(p),F∞(M,θ,p)=F∞(p)，其中模糊數(shù)列空間F(p)、F0(p)、F∞(p)最早是由文獻[25]提出和討論的，即

F(p)=

F0(p)=

F∞(p)=

注3當θ=r,pk=1,{Xk}為實數(shù)列時，F(xiàn)∞(M,θ,p)=lM,其中Orlicz序列空間lM最早是由文獻[19]提出和討論的。

2空間F(M,θ,p)、F0(M,θ,p)、F∞(M,θ,p)的性質(zhì)和相互關系

定理1若數(shù)列p={pk}有界，則F0(M,θ,p)?F(M,θ,p)?F∞(M,θ,p)。

證明顯然，F(xiàn)0(M,θ,p)?F(M,θ,p)成立。設X={Xk}∈F(M,θ,p),則

定理2空間F(M,θ,p)、F0(M,θ,p)和F∞(M,θ,p)是實數(shù)域上的線性空間。

證明僅證明F0(M,θ,p),其他類似。設X={Xk},Y={Yk}∈F0(M,θ,p)，α、β∈R?？梢宰C明

事實上，由于X={Xk},Y={Yk}∈F0(M,θ,p),所以存在μ1>0,μ2>0,使得

取μ=max(2|α|μ1,2|β|μ2)，由M是連續(xù)非降的凸函數(shù)可得

證明設X={Xk}∈F(θ,p)，即

3空間F(M,θ,p)與缺項統(tǒng)計收斂模糊數(shù)列空間S(θ)的相互關系

1)F(M,θ,p)?S(θ);

2) 如果X={Xk}∈l∞∩S(θ),那么X={Xk}∈F(M,θ,p);

3)l∞∩S(θ)=l∞∩F(M,θ,p)。

證明1) 因為X={Xk}∈F(M,θ,p),所以

2) 因為X={Xk}∈l∞∩S(θ),所以存在常數(shù)T>0,使得D(Xk,X0)≤T。

3) 由1)、2)的證明可得。

注4如果模糊數(shù)列X={Xk}關于Orlicz函數(shù)M強缺項收斂，那么X={Xk}缺項統(tǒng)計收斂。

注5當模糊數(shù)列X={Xk}有界時，X={Xk}關于Orlicz函數(shù)M強缺項收斂與缺項統(tǒng)計收斂等價。

4基于Orlicz函數(shù)和強收斂的模糊數(shù)列空間F(M,p)、F0(M,p)、F∞(M,p)的性質(zhì)及其與空間F(M,θ,p)、F(M,p)的相互關系

定義2設M是Orlicz函數(shù)，X={Xk}是模糊數(shù)列，p={pk}是正實數(shù)列。對于μ>0，定義下列基于Orlicz函數(shù)和強收斂的模糊數(shù)列空間:

F(M,p)=

F0(M,p)=

F∞(M,p)=

注7當M(x)=x時，F(xiàn)(M,p)=F(p),F0(M,p)=F0(p),F∞(M,p)=F∞(p)。

注8當θ=2r時，F(xiàn)(M,θ,p)=F(M,p),

F0(M,θ,p)=F0(M,p),

F∞(M,θ,p)=F∞(M,p)。

完全類似于定理1—4的證明，關于模糊數(shù)列X={Xk}關于Orlicz函數(shù)M強收斂有如下結果。

定理6若數(shù)列p={pk}有界，則F0(M,p)?F(M,p)?F∞(M,p)。

定理7空間F(M,p)、F0(M,p)和F∞(M,p)是實數(shù)域上的線性空間。

定理10設θ是缺項數(shù)列。若lim infrqr>1,則F(M,p)?F(M,θ,p)。當lim infrqr=1時，結論不一定成立。

因為X={Xk}∈F(M,p)，即

22j-1((2j)2j-1-2)>

((2j)2j-1-2)>j。

定義模糊數(shù)列

記模糊數(shù)

注意到，u1≠u2,從而模糊數(shù)列X={Xk}非強缺項收斂。

設n是一個充分大的整數(shù),j是唯一確定的整數(shù)并且kr(j)-1

所以,對任意的ε>0，存在N，當n>N時，

綜上，模糊數(shù)列X={Xk}強收斂而非強缺項收斂。

定理11設θ是缺項數(shù)列。若lim suprqr<∞,則F(M,θ,p)?F(M,p)。當lim suprqr=∞時，結論不一定成立。

N2+…+Nr0+Nr0+1 +…+Nr}≤

F(M,θ,p)?F(M,p)。

注意到qr>r(r=1,2,3,…),定義模糊數(shù)列

Xk(t)=

另一方面，可以證明數(shù)列X={Xk}非強收斂。若X0(t)=u1(t),則

若X0(t)=u2(t),則

若X0(t)≠u1(t)、u2(t)，0<ε

因此，由以上三種情況可知模糊數(shù)列X={Xk}非強收斂。

5結論

作為缺項統(tǒng)計收斂模糊數(shù)列空間的推廣，本文基于Orlicz函數(shù)，在定義模糊數(shù)列強缺項收斂的基礎上，提出和討論三類基于Orlicz函數(shù)的模糊數(shù)列空間F(M,θ,p)、F0(M,θ,p)和F∞(M,θ,p)，并證明了空間的線性性質(zhì)。通過研究模糊數(shù)列強缺項收斂與缺項統(tǒng)計收斂之間、強缺項收斂與強收斂之間的相互關系，得到了基于Orlicz函數(shù)的模糊數(shù)列空間F(M,θ,p)與缺項統(tǒng)計收斂模糊數(shù)列空間S(θ)之間的相互關系。討論了空間F(M,p),F0(M,p),F∞(M,p)的性質(zhì)以及空間F(M,θ,p)與F(M,p)之間的相互關系。并且，通過算例進行了說明。

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〔責任編輯宋軼文〕

第一作者：許永紅，女，副教授，研究方向為數(shù)學物理。E-mail:slxxyh@163.com