第一作者霍兵勇男，博士，講師，1979年生

多頻率衰減振動(dòng)系統(tǒng)阻尼參數(shù)識(shí)別

霍兵勇，易偉建

(湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410082)

摘要：自由衰減信號(hào)在工程應(yīng)用中十分常見，從沖擊響應(yīng)信號(hào)中識(shí)別真實(shí)準(zhǔn)確的諧波參數(shù)就成為實(shí)驗(yàn)研究的關(guān)鍵，相關(guān)的參數(shù)識(shí)別研究不斷深入，介紹一種識(shí)別阻尼的方法，包括3方面內(nèi)容：①考慮自由衰減信號(hào)的諧噪比和阻尼因素，討論了兩個(gè)因素對(duì)參數(shù)識(shí)別的影響。②針對(duì)不同頻率諧波的參數(shù)識(shí)別，先進(jìn)行必要的信號(hào)前處理：截取有效信號(hào)長(zhǎng)度后再截取周期整數(shù)倍部分，對(duì)稱增加一倍信號(hào)。③用細(xì)化頻譜識(shí)別諧波頻率和初相位，反卷積方法識(shí)別諧波振幅的真實(shí)衰減過程。仿真模擬和實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析證明理論方法的可行性和優(yōu)越性，即無(wú)需假設(shè)阻尼模型，識(shí)別得到的諧波振幅隨時(shí)間變化的時(shí)域序列。為實(shí)驗(yàn)揭示系統(tǒng)阻尼特性提供一種實(shí)用有效的技術(shù)方法。

關(guān)鍵詞：沖擊響應(yīng)；細(xì)化頻譜；諧噪比； 阻尼比； 反卷積

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-07-30

中圖分類號(hào):TN911.72文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Damping parameter identification by using free-decay response with the help of discrete deconvolution technique

HUOBing-yong,YIWei-jian(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract:The free-decay response (FDR) of dynamical system has been widely used for the identification of structural parameters in many fields of engineerings, and comprehensive studies results have been available in related literatures. A new approach was proposed for identifying the damping ratio by using FDR. The approach includes three main contents: ①analyzing the accuracy of the identified parameters in consideration of the influences of damping ratio and harmonic-to-noise ratio (HNR); ②for different frequency harmonics, performing the necessary preprocessing of the digital signal, i.e. intercepting a whole number of multiples of harmonic period from an effective signal, and symmetrically doubling the signal; ③using discrete deconvolution technique in the identification of damping ratio. The results show that the proposed approach is capable of identifying the structural parameters with acceptable accuracy, and provides an efficient way for revealing the structural damping characteristics and estimating the structural parameters. The approach does not need to depend on a prior knowledge of damping model, and the time sequence reflecting the change of harmonic amplitude can be achieved.

Key words:free-decay response; zoom spectrum; harmonic to noise ratio; damping ratio; discrete deconvolution

沖擊響應(yīng)信號(hào)在工程應(yīng)用中非常普遍[1-4]，其參數(shù)識(shí)別方法也有廣泛討論[5-7]，沖擊響應(yīng)信號(hào)中往往含有多個(gè)頻率諧波，各頻率諧波信號(hào)不斷衰減最終都淹沒在噪聲中，實(shí)踐中采集信號(hào)的長(zhǎng)度一般依照信噪比(SNR)；多數(shù)研究中識(shí)別方法的數(shù)值模擬采用高斯白噪聲(Gaussian noise)[8]，有的還進(jìn)一步討論了瞬時(shí)SNR，但自由響應(yīng)信號(hào)中高頻諧波信號(hào)衰減的時(shí)間往往較短，信號(hào)中各頻率諧波的參數(shù)識(shí)別，都用同樣的信號(hào)長(zhǎng)度，而沒有對(duì)具體頻率諧波的衰減情況選擇合適的信號(hào)長(zhǎng)度，諧噪比(Harmonic to Noise Ratio,HNR)是某個(gè)頻率諧波信號(hào)對(duì)噪聲的比率，是關(guān)系到具體頻率諧波參數(shù)識(shí)別的直接因素，諧噪比在過去研究中已有關(guān)注[9-10]，但在沖擊響應(yīng)信號(hào)的參數(shù)識(shí)別研究中較少注意這一因素。

現(xiàn)有識(shí)別方法和設(shè)計(jì)中一般對(duì)阻尼采用非比例[11-13]或者比例假設(shè)[14]，依賴這些假設(shè)模型，在應(yīng)用中常常帶來(lái)不確定因素，實(shí)際結(jié)構(gòu)沖擊響應(yīng)中諧波振幅的真實(shí)變化仍然未知；工程應(yīng)用中不同方法識(shí)別得到的頻率一般都比較吻合，但阻尼比的值卻有差異。

本研究采用細(xì)化頻譜方法識(shí)別諧波頻率和初相位，討論了HNR和阻尼比對(duì)沖擊響應(yīng)信號(hào)頻率和初相位識(shí)別的影響，進(jìn)而應(yīng)用離散傅里葉變換(DFT)卷積和反卷積性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)沖擊響應(yīng)信號(hào)的參數(shù)識(shí)別；識(shí)別過程中對(duì)信號(hào)采取了一系列的必要前處理措施，這些措施與參數(shù)識(shí)別的原理緊密結(jié)合，并有一定通用性；對(duì)阻尼的識(shí)別得到諧波振幅的真實(shí)變化過程，為實(shí)際工程中動(dòng)力實(shí)驗(yàn)方法探索結(jié)構(gòu)阻尼特性提供一種實(shí)用的數(shù)字信號(hào)參數(shù)識(shí)別方法。

1HNR和阻尼比對(duì)頻率和初相位識(shí)別的影響

自由衰減信號(hào)中一般包含多個(gè)頻率諧波，表達(dá)式可以寫成：

(1)

式中：f為諧波頻率，A為振幅，θ為初相位，ζ為阻尼比；

由于噪聲的存在，實(shí)際工程中采集的自由響應(yīng)信號(hào)最終會(huì)消失在噪聲中，其中高頻諧波信號(hào)衰減的時(shí)間往往較短，低頻諧波未完全衰減的時(shí)候，高頻諧波早已被噪聲淹沒，若把自由衰減信號(hào)依次分段，對(duì)每段信號(hào)分別進(jìn)行DFT，不妨把頻譜峰值明顯的時(shí)域信號(hào)區(qū)段稱作對(duì)該譜峰對(duì)應(yīng)的頻率諧波的有效信號(hào)。這樣在識(shí)別自由衰減信號(hào)的各個(gè)諧波參數(shù)時(shí)，可以先確定各頻率諧波信號(hào)的有效信號(hào)長(zhǎng)度，以減少無(wú)效信號(hào)帶來(lái)的誤差。

經(jīng)典DFT分析是信號(hào)頻譜分析的一種基本方法，DFT的表達(dá)式[15]：

(2)

(3)

式中：ω=2π/T，T為信號(hào)時(shí)長(zhǎng)，t為采樣間隔，ω為頻域間隔

但是DFT分析中由于基函數(shù)在分析信號(hào)長(zhǎng)度上都是整周期，因此頻率的取值受到限制。而細(xì)化頻譜打破這種限制，其計(jì)算表達(dá)式如下：

(4)

細(xì)化頻譜表達(dá)式中的基函數(shù)在信號(hào)長(zhǎng)度T上不一定是整數(shù)倍周期，這樣就能使數(shù)字信號(hào)的諧波發(fā)生共振而使幅值頻譜達(dá)到最大限度的峰值，更精確定位諧波的頻率和初相位。

采用細(xì)化頻譜方法分析HNR和阻尼對(duì)頻率和初相位識(shí)別的影響，為了應(yīng)用上的方便，這里對(duì)有阻尼頻率和無(wú)阻尼頻率不加區(qū)分，這樣表達(dá)響應(yīng)結(jié)果對(duì)參數(shù)值的影響很小[16]。單頻率情況下，SNR和HNR意義完全相同，因此用HNR表示信號(hào)和噪聲的對(duì)比關(guān)系，HNR是關(guān)系諧波參數(shù)識(shí)辨精度的真實(shí)因素，在諧波頻率和初相位識(shí)別時(shí)，舍去所分析信號(hào)中HNR較低的區(qū)段，可以提高諧波參數(shù)識(shí)別的精度。無(wú)噪聲時(shí)，認(rèn)為HNR=∞；單頻率諧波情況下假設(shè)參數(shù)取值：A=4/3，f=100+1/3 Hz，θ=0，阻尼比采用相應(yīng)曲線中橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值，代入式(1)中，采樣長(zhǎng)度T=1 s，采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024，生成數(shù)字信號(hào)。圖1是不同HNR(加入高斯白噪聲，單位dB)情況下細(xì)化頻譜識(shí)別頻率誤差f*(識(shí)別值-理論值)和初相位誤差θ*(識(shí)別值-理論值)隨阻尼比的變化；HNR越大，則越接近無(wú)噪聲時(shí)的誤差，反之則識(shí)別誤差變化越大；無(wú)噪聲時(shí)，阻尼越高識(shí)別值誤差越大。

圖1　不同HNR情況下細(xì)化頻譜識(shí)別 Fig.1 Frequency error f * and initial phase error θ * (identified by zoom spectrum) against damping ratio with different HNR

圖 2　不同頻率諧波細(xì)化頻譜識(shí)別的頻率誤差和 初相位誤差隨阻尼比的變化情況 Fig.2 frequency error f * and initial phase error θ * against damping ratio with different frequency harmonic without noise

圖2是對(duì)不同頻率諧波無(wú)噪聲數(shù)字信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別得到的頻率誤差和初相位誤差隨阻尼比的變化情況，很明顯高頻諧波識(shí)別誤差均明顯增大。Shannon采樣定理描述了在有效分析頻域區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)某一頻率頻譜的最小采樣間隔，對(duì)有阻尼信號(hào)最高頻率成分每周期內(nèi)的至少采樣4點(diǎn)，阻尼比高于0.02建議采樣10點(diǎn)以上，以避免因采樣頻率低給參數(shù)識(shí)別帶來(lái)的較大誤差。在采用某頻率諧波有效長(zhǎng)度和保證一定采樣頻率的情況下，總體來(lái)說(shuō)阻尼越高頻率和初相位的識(shí)別誤差略微增大，初相位和采樣頻率等參數(shù)不同，識(shí)別誤差的差異較小；圖2的分析結(jié)果表明：阻尼比在0.03以內(nèi)，頻率誤差一般不超過0.05倍DFT的頻率間隔，初相位誤差一般不超過5°。在以上分析中，橫縱坐標(biāo)都已有歸一化意義，分析結(jié)果具有普遍性。

2識(shí)別阻尼的反卷積方法

卷積性質(zhì)是DFT的重要性質(zhì)之一，一般來(lái)說(shuō)識(shí)別系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)時(shí)可以利用反卷積性質(zhì)[17]，為說(shuō)明本文利用離散反卷積性質(zhì)識(shí)別阻尼的原理，把式(1)中按單頻率諧波的自由衰減信號(hào)采樣得到的數(shù)字信號(hào)序列寫成：

x3(kt)=x1(kt)x2(kt)

(5)

其中：

x1(kt)=cos(2πfkt-θ)，x2(kt)=Ae-ζ2πfkt

(6)

相應(yīng)的DFT：

X1(nω)=DFT[x1(kt)]

X2(nω)=DFT[x2(kt)]

X3(nω)=DFT[x3(kt)]

(7)

依據(jù)離散信號(hào)的卷積性質(zhì)[18]有如下關(guān)系成立：

x3(kt)=x1(kt)x2(kt)?X3(nω)=

(8)

實(shí)驗(yàn)中記錄沖擊響應(yīng)序列x3，頻譜分析可以得到x1的頻率和相位，DFT得到頻域序列X3和X1，通過反卷積求解X2，對(duì)X2進(jìn)行IDFT便可得到x2；由于單邊指數(shù)衰減信號(hào)周期延拓時(shí)，信號(hào)連接處存在較大跳躍，頻譜分析會(huì)出現(xiàn)邊界效應(yīng)，此種情況一般是把識(shí)別信號(hào)兩端受影響的數(shù)據(jù)舍去，再進(jìn)行參數(shù)識(shí)別[19]，給參數(shù)識(shí)別帶來(lái)一定不利影響；將x2通過對(duì)稱增加一倍信號(hào)變成雙邊指數(shù)衰減來(lái)避免跳躍，同時(shí)還要信號(hào)長(zhǎng)度是x1的周期整數(shù)倍，依據(jù)x1的相位確定是軸對(duì)稱還是點(diǎn)對(duì)稱，保證不因?qū)ΨQ增加信號(hào)長(zhǎng)度而使x1產(chǎn)生跳躍而發(fā)生頻率泄露(為充分保證初相位識(shí)別值的精度，一般在相位對(duì)稱處截取時(shí)，諧波一個(gè)周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)>100)；這樣就可能使用X3中較窄的頻域序列，通過反卷積和IDFT得到能反映諧波振幅真實(shí)變化的時(shí)域序列x2。

圖3　原始信號(hào)及對(duì)稱增加一倍信號(hào) 后組成的新信號(hào)的乘積圖解 Fig.3 The time domain product process of new sequence

參數(shù)識(shí)別計(jì)算過程用時(shí)域和頻域曲線示意，圖3為原始信號(hào)及對(duì)稱增加一倍信號(hào)后組成的新信號(hào)的時(shí)域乘積過程，圖4為對(duì)稱加長(zhǎng)后的新信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜。概括起來(lái)：截取和對(duì)稱是為了時(shí)域乘積的兩個(gè)信號(hào)周期延拓時(shí)避免邊界跳躍，同時(shí)參與乘積的兩個(gè)序列DFT后，在頻域內(nèi)避免頻譜泄漏，構(gòu)造符合卷積原理的信號(hào)。

圖4　對(duì)稱后的新信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜 Fig.4 The frequency domain product process of new sequence

3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)用

式(8)是數(shù)字信號(hào)DFT普遍的規(guī)律，由以上分析可知，不需要對(duì)阻尼模型進(jìn)行假設(shè)，便可以還原一個(gè)反映諧波振幅變化的時(shí)域序列，把識(shí)別阻尼的過程概括如下：

(1)實(shí)驗(yàn)得到自由衰減振動(dòng)信號(hào)。

(2)依據(jù)DFT頻譜譜峰粗略確定信號(hào)中可能諧波頻率，信號(hào)分段分別DFT確定各頻率諧波的有效長(zhǎng)度。

(3)有效長(zhǎng)度內(nèi)對(duì)粗略確定的頻率計(jì)算細(xì)化頻譜，確定更加精確的頻率和初相位。

(4)由頻率和初相位情況對(duì)信號(hào)進(jìn)行整周期截取后對(duì)稱增加一倍信號(hào)得到新的信號(hào)x3(見圖3(a))，計(jì)算X3(見圖4(a))。

(5)x3重新計(jì)算細(xì)化頻譜復(fù)核頻率和相位，并計(jì)算頻域序列X1，見圖4(c)

(6)由X3和X1可以求解X2(見圖4(b))。

(7)對(duì)X2進(jìn)行IDFT得到x2(見圖3(b))，取x2的一半即為頻率諧波振幅變化的時(shí)域序列。

對(duì)某鋼筋混凝土梁進(jìn)行脈沖錘擊實(shí)驗(yàn)，工程實(shí)際中噪聲是未知的，把安靜環(huán)境下采集的信號(hào)近似當(dāng)做噪聲，沖擊響應(yīng)信號(hào)當(dāng)做真實(shí)響應(yīng)，采樣長(zhǎng)度4 s，采樣點(diǎn)數(shù)65 536，其中一點(diǎn)的加速度響應(yīng)信號(hào)和噪聲見圖5，計(jì)算信號(hào)的SNR為48 dB。

圖5　沖擊響應(yīng)信號(hào)和噪聲 Fig.5 Impulse response signal and noise

把沖擊響應(yīng)信號(hào)依次分成4段，分別DFT得到的對(duì)應(yīng)頻譜依次為part1,part2,part3,part4，見圖6；信號(hào)所含諧波的頻率大約是：9 Hz, 25 Hz, 34 Hz, 53 Hz, 76 Hz；除基頻的有效長(zhǎng)度取4 s，其他各頻率，由于后三段信號(hào)的頻譜峰值較小，即HNR較小，有效長(zhǎng)度均取1 s。53 Hz附近是密集頻率諧波不做分析，對(duì)其他4個(gè)頻率的諧波采用反卷積方法識(shí)別得到振幅變化的時(shí)域序列，采用取對(duì)數(shù)后的線性擬合法[20]：

ln(x2(kt))=-ζ2πfkt+lnA

(9)

用自然指數(shù)衰減模型來(lái)衡量諧波振幅衰減的程度，識(shí)別得到阻尼比和振幅值見表1；識(shí)別序列和指數(shù)擬合見圖7，結(jié)果表明：實(shí)驗(yàn)信號(hào)中兩個(gè)低頻諧波的振幅先短時(shí)增加到峰值后再衰減，而兩個(gè)高頻諧波的振幅則瞬時(shí)達(dá)到峰值且整個(gè)衰減過程先快后慢。

圖6　沖擊信號(hào)分4段分別DFT的頻譜 Fig.6 The spectrum of four segments

參數(shù)識(shí)別值j=1j=2j=3j=4fj/Hz9.2325.1633.8476.28θj/(°)27322021151Aj0.170.370.181.90ζj0.0020.0110.00940.0084

圖7　實(shí)驗(yàn)沖擊響應(yīng)信號(hào)的識(shí)別序列和指數(shù)擬合 Fig.7 Identification decay sequence and pseudo linear fitting in an exponential function for four frequency components

理論上按實(shí)驗(yàn)信號(hào)峰值兩邊頻譜序列識(shí)別阻尼是相同的，而實(shí)際會(huì)存在差別。頻譜間隔較大，幅值較大的頻率諧波的識(shí)別精度較高，幅值較小的頻率易受到周圍泄露頻譜的影響；一般首選頻率間隔較遠(yuǎn)，遠(yuǎn)離幅值較大的頻率的一邊，且與理論頻域序列較符合的一邊。

4仿真驗(yàn)證

從工程實(shí)際采集的信號(hào)中識(shí)別得到的參數(shù)正確與否無(wú)從辨識(shí)，仿照從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中識(shí)別的諧波參數(shù)擬定理論諧波參數(shù)代入式(1)，采用相同的采樣參數(shù)，加入30 dB高斯白噪聲生成仿真數(shù)字信號(hào)，用相同的方法和計(jì)算過程識(shí)別仿真信號(hào)的諧波參數(shù)和阻尼比，識(shí)別得到的時(shí)域序列、理論假設(shè)衰減曲線和識(shí)別序列指數(shù)擬合的阻尼比和振幅見圖8。理論參數(shù)和參數(shù)識(shí)別值列于表2；理論模擬結(jié)果表明：識(shí)別的阻尼序列可以真實(shí)反映假設(shè)阻尼的趨勢(shì)，而且參數(shù)識(shí)別值與理論值一致。

各頻率頻譜混疊程度隨各頻率間隔和幅值大小而不同，混疊越大對(duì)識(shí)別結(jié)果影響越大，在相對(duì)獨(dú)立幅值較大的頻譜中識(shí)別的阻尼具有更高的可靠性。

表2　假設(shè)信號(hào)各頻率諧波參數(shù)和參數(shù)識(shí)別值

圖8　沖擊響應(yīng)中各頻率諧波假設(shè)衰減， 識(shí)別的衰減序列和序列的指數(shù)擬合 Fig.8 The comparison of the exponential assumption, pseudo linear fitting and identification sequence for each frequency component

5結(jié)論

本文采用細(xì)化頻譜方法識(shí)別諧波的頻率和初相位，分析了沖擊響應(yīng)信號(hào)中阻尼比和HNR因素對(duì)參數(shù)識(shí)別的影響，依據(jù)DFT卷積和反卷積性質(zhì)得到諧波振幅變化的時(shí)域序列，再用假設(shè)模型近似衰減的程度，得到振幅和阻尼比；為研究結(jié)構(gòu)阻尼性質(zhì)提供更多的有價(jià)值信息。仿真模擬驗(yàn)證了本方法的可行性和正確性，對(duì)實(shí)驗(yàn)信號(hào)的分析表明：在實(shí)踐中的實(shí)用性和優(yōu)越性。具體而言，識(shí)別方法對(duì)阻尼模型無(wú)任何要求，任何形式的振幅變化均可識(shí)別；識(shí)別得到的諧波振幅隨時(shí)間變化的時(shí)域序列。頻域內(nèi)的密集頻譜會(huì)影響本方法的識(shí)別精度。

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