蔣銀山

摘 要 三重積分有幾種計算方法，如先一后二法、先二后一法、利用柱面坐標計算三重積分、利用球面坐標計算三重積分、以及利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性等，文章對這幾種計算方法進行了討論，并分別舉例說明。

關(guān)鍵詞 先一后二 先二后一 柱面坐標 球面坐標

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.12.022

Calculation of Triple Integral

JIANG Yinshan

（Department of Public Courses Teaching， South China Business College，

Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou， Guangdong 510545）

Abstract There are several calculation methods of triple integral， such as the first one then two methods， the first two then one method， the use of cylindrical coordinates triple integral calculation using the spherical coordinates triple integral calculation， and the use of parity symmetry with the plot function integration region etc. several articles in this calculation method are discussed and illustrated respectively.

Key words first one then two； first two then one； cylindrical coordinates； spherical coordinates

方法一：先一后二法。

定理1 設(shè)區(qū)域 是上下底分別為曲面 = （）， = （）的曲頂曲底的柱體，它在面上的投影為，若函數(shù) （）在 上可積，且對任意的（）， （）在[（）， （）]上可積，則 （） = （）。

其中 = {（）∣（），（）≤≤（）}。

方法二：先二后一法。

定理2設(shè)空間區(qū)域 夾在二平面 = ， = 之間過區(qū)域[]上任意一點作垂直于軸的平面，截 得平面區(qū)域，若函數(shù) （）在 上可積，且對任意的[]， （）在上可積，則 （） = （）。

其中{（）∣≤≤，（）}。

方法三：利用柱面坐標計算三重積分。

當 是柱體或柱體的一部分，被積函數(shù)含 + 時用柱面坐標計算三重積分時，被積函數(shù)不能再出現(xiàn)與； + = ， + + = + ，柱面坐標：先對積分，再對積分，最后對積分。直角坐標與柱面坐標的相互轉(zhuǎn)化為

（） = （， ， ）。

方法四：利用球面坐標計算三重積分。

當 是球體或球體的一部分，被積函數(shù)含 + + ，用球面坐標計算三重積分時，被積函數(shù)不能再出現(xiàn)，與； + = ， + + = ，球面坐標：先對積分，再對積分，最后對積分。直角坐標與球面坐標的相互轉(zhuǎn)化為 （） = （， ， ）。

方法五：利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性。

其余 = 0與 = 0類似可得。

例1 計算 = （ + ），其中 為平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面 = 8所圍成的區(qū)域。

解：方法一“先一后二法”。

= {（）∣（）， ≤≤8}

= （ + ） = （ + ）

= （ + ）（8）

= （8） =

方法二：“先二后一”法。

= {（）∣0≤≤8， （）}其中 ： + = 2。

= （ + ） = （ + ）

= =

方法三：柱面坐標法。

= （ + ） = = 2（8） =

例2 計算三重積分（ + ）其中 是由曲面 = 與 = 所圍成的區(qū)域。

= + = = 1 = 1 =

+ + = 1 = 1 = 1， = 1

（ + ） = （ + ） =

例3 計算，其中 由 + + ≥與 + + ≤2所確定。

方法一：球面坐標法。

因為幾何體在平面的上半部分，所以0≤≤。

： + + = = = 0， =

： + + = 2 = 2 = 0， = 2

=

= 2

= =

方法二：設(shè) 1： + + ≤， 2： + + ≤2，則

=

下分別計算與先計算。

方法一：直角坐標下先二后一。

= {（）∣0≤≤2， （）}其中 ： + ≤。

= = （） = 。

方法二：由形心計算公式得。

= · = 1 €？ €？ = 。

方法三：利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性計算三重積分。

= （ + 1） = （） + 1 = 0 +

同理可用上面三種方法可得。

=

故 = =

例4 設(shè) ： + + ≤1，計算。

解：因為 關(guān)于 = 0對稱，被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)。

所以 = 0。

參考文獻

[1] 武忠祥.高等數(shù)學[M].西安交通大學出版社，2011（4）.

[2] 葉盛標，葉長春.考研數(shù)學思維定勢[M].高等教育出版社，2008（5）.endprint