段 　 峰

(安徽銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 銅陵 244061)

?

非齊次二階抽象Cauchy問題解的一個注記

段 峰

(安徽銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 銅陵 244061)

摘要：在Banach空間X上，非齊次二階抽象Cauchy問題的解是人們多年來一直討論的對象，在該問題溫和解存在的條件下，如果對函數(shù)f(t)添加一些限制條件，通過構(gòu)建一個強連續(xù)算子半群并對該半群無窮小生成元進行討論，可以得到結(jié)論：該問題的溫和解是古典解。

關(guān)鍵詞：非齊次二階抽象Cauchy問題；古典解；限制條件；適定；溫和解

多年來，人們一直致力于在Banach空間X上研討齊次二階抽象Cauchy問題

和非齊次二階抽象Cauchy問題

的解的情況。對(ACP2)，文獻[1]已經(jīng)給出了很深刻細致的討論，但對(iACP2)解的存在性問題并不能得到很好的解決，文獻[2]對解的情況作了研究，下面主要討論在(iACP2)中B≠0的情況。為此首先給出二階抽象Cauchy問題的古典解和溫和解的定義。

定義1[1]若X-值函數(shù)u(t)二階連續(xù)可微，u(t)∈D(A),u′(t)∈D(B),Au(t)和Bu′(t)連續(xù)，

(1)若u(t)滿足方程(ACP2)，則稱u(t)是(ACP2)的解。

(2)若u(t),t∈[0,T]滿足方程(iACP2)，則稱u(t),t∈[0,T]是(iACP2)的解。

按定義1給出的解也常稱為古典解。

定義2我們稱(ACP2)是適定的，如果方程(ACP2)滿足：

(1) 存在X的稠密子空間D0,D1，使得對任意u0∈D0,u1∈D1，(ACP2)的解u(t)存在。

(2) 對(ACP2)的任何一個解u(t)，存在非負函數(shù)N(t)，(t≥0)，使得

‖u(t)‖≤N(t)(‖u(0)‖+‖u′(0)‖)

定義3[3]假定(ACP2)是適定的，對t>0,u∈D0，v∈D1,定義C(t)u=u(t),S(t)v=v(t),其中，u(t)為(ACP2)在u0=u,u′(0)=v時的解，v(t)為(ACP2)在u0=u,u′(0)=0時的解。

注(1)由D0,D1的稠密性，可以擴充C(t),S(t)為X上的有界線性算子。

(2)當(dāng)u∈D0時，C(·)u∈C2([0,+∞),X),C(0)u=u,C′(0)u=0,C″(0)u=-Au；

當(dāng)u∈D1時，S(·)u∈C2([0,+∞),X),S(0)u=0,S′(0)u=u,S″(0)u=-Bu。

定義4若(ACP2)適定且滿足約定：

(a)t→S(t)u對所有u∈X,t≥0連續(xù)可微；

(b)S(t)X?D(B),且t→BS(t)u對所有u∈X,t≥0連續(xù)。

則稱(ACP2)強適定。

注在(ACP2)強適定的條件下，文獻[4]給出了C(t),S(t)的一些重要性質(zhì)，主要有

(1)當(dāng)u∈D(A)時，C′(t)u=-S(t)Au；

當(dāng)u∈D0∩DB時，S′(t)u=C(t)u-S(t)Bu。

(2)D0=D(A),D1?D(A)∩DB,D(A)∩D(B)在X中稠密。

引理1若(ACP2)強適定，f∈C(1)([0,+∞),X)，則有

(2)若v(·)是(iACP2)的一個解，則v(t)=C(t)v(0)+S(t)v′(0)+u(t),t≥0。

注該引理結(jié)論(1)中條件f∈C(1)([0,+∞),X)可以減弱為f∈ω1,1([0,+∞),X)。引理的證明完全類似文獻[2]中引理2.2。由該引理，引入(iACP2)溫和解的定義。

定義5設(shè)f∶[0,T]→X是一可積函數(shù)，(ACP2)強適定，C(t),S(t)如上定義，函數(shù)

t∈[0,T]，稱為(iACP2)的溫和解。

注由定義，u(t)連續(xù)可微，

引理2令E1={u∶C(·)u對t≥0連續(xù)可微，BC(·)u對t≥0有定義且連續(xù)可微},

引理2見文獻[4]中定理2.2.

定理設(shè)u0∈D0，u1∈D1，若f(·)∈C([0,T],X)∩L([0,T],E1)，則(iACP2)的溫和解u(t)為古典解。

證明由引理1及定義5，u′(t)存在，定義

則(iACP)溫和解為

首先，f(·)∈L1([0,T],E1)，故f(s)∈E1，且Bf(s)有定義，從而由引理2，

下面證明：-Bf(s)∈L1([0,T],X)，

因為f(s)∈E1=D1,所以-Bf(s)=S″(0)f(s)

因為f(·)∈C([0,T],X),而對

u∈X,S(·)u∈C2([0,∞),X)

所以-Bf(s)=S″(0)f(s)∈C([0,T],X)

定理得證。

參考文獻:

[1] K. J. Engel, R. Nagel, One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations[M]. New York: Springer-Verlag, 2000: 362-400.

[2] H. R. Henriquez and C.H.Vasquez, Differntiability of solutions of the Second order abstract Cauchy problem, Semigroup Forum[J]. 2002,64:472-488.

[3] H .O. Fattorini, Extension and behaveior at infinity of solutions of certain linear operational differential equations, Pacific Journal of Mathmatics[J]. 1970, 33:583-615.

[4] H.O.Fattorini,Some remarks on second order abstract Cauchy problems, Funkcialaj Ekvaciou[J] 1981(24)：331-344.

[5]A. Pazy, semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences [M] New York：Springer-Verlag, 1983:100-121.

AbstractA Note on Inhomogeneous Second Order Cauchy Problem Solution In Banach space X, the inhomogeneous second order abstract Cauchy problem is the object that has been studied for many years. Under the condition of the mild solution of this problem, by adding some restricted conditions on f(t), through constructing a strongly continuous semigroups and analyzing the infinitesimal generator of this semigroups, it can be concluded that the mild solution is a classical solution.

DUAN Feng

(Anhui Tongling Polytechnic,Tongling 244061,China)

Key words:the inhomogeneous second order Cauchy problem, the classical solution, restricted conditions, well-posed, mild solution

文章編號：1007-4260(2015)02-0010-02

中圖分類號：O029

文獻標(biāo)識碼：A

作者簡介：段峰，男，湖北英山人，碩士，安徽銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師，研究方向為算子半群。

收稿日期：2014-01-10