第一作者賀容波男，博士生，講師，1979年生

通信作者鄭世杰男，教授，博士生導(dǎo)師，1968年生

光電層合簡(jiǎn)支板的多模態(tài)最優(yōu)模糊主動(dòng)振動(dòng)控制

賀容波1,2，鄭世杰1

(1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016；2. 安徽工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽馬鞍山243002)

摘要：以配置兩對(duì)光致伸縮驅(qū)動(dòng)器的簡(jiǎn)支板為控制對(duì)象，提出了最優(yōu)控制與模糊控制相結(jié)合的最優(yōu)模糊主動(dòng)控制算法?？紤]到光致伸縮驅(qū)動(dòng)器的非線性驅(qū)動(dòng)特性，首先由最優(yōu)控制獲得光電層合簡(jiǎn)支板多模態(tài)振動(dòng)的期望控制量, 再通過模糊控制器使光致伸縮驅(qū)動(dòng)器光致應(yīng)變逼近該控制量, 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)簡(jiǎn)支板的多模態(tài)振動(dòng)控制。在最優(yōu)模糊控制器設(shè)計(jì)過程中，模糊控制的設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是相互獨(dú)立的。仿真結(jié)果表明, 最優(yōu)模糊控制能夠有效實(shí)現(xiàn)光電層合簡(jiǎn)支板的多模態(tài)振動(dòng)抑制，控制效果明顯優(yōu)于直接最優(yōu)狀態(tài)反饋控制。

關(guān)鍵詞：光致伸縮驅(qū)動(dòng)器；簡(jiǎn)支板；多模態(tài)振動(dòng)；模糊控制；最優(yōu)控制

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(11172129)；中國(guó)航空科學(xué)

收稿日期：2014-01-20修改稿收到日期：2014-04-25

中圖分類號(hào):O328；V214.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Multi-modal optimal fuzzy active vibration control of aphoto-electric laminated simply supported plate

HERong-bo1,2,ZHENGShi-jie1(1.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics And Astronautics, Nanjing 210016, China; 2. School of Electrical and Information Engineering, Anhui University of Technology, Maanshan 243002, China)

Abstract:Here, a simply supported plate laminated with two pairs of photostrictive actuators was taken as a controlled object, an optimal fuzzy active vibration control algorithm was proposed on the basis of the combination of optimal control and fuzzy one. Considering the nonlinear driving characteristics of photostrictive actuators, the expectation control for suppressing multi-modal vibration of the photo-electric laminated simply supported plate was firstly obtained through the optimal control. Then, the fuzzy control was used to make the strains induced by photostrictive actuators approach the expectation control. Thus, the multi-modal vibration control of the simply supported plate was realized. In the design process of optimal fuzzy controllers, the design of fuzzy control was independent on the design of optimal control. The simulation results demonstrated that the proposed control method can effectively realize the multi-modal vibration control of the photo-electric laminated simply supported plate, and the control effect of the optimal fuzzy control is better than that of the optimal state feedback control.

Key words:photostrictive actuators; simply supported plates; multi-modal vibration; fuzzy control; optimal control

新型的鐵電陶瓷材料PLZT在光電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)的共同作用下會(huì)產(chǎn)生光致伸縮效應(yīng)，即在特定波長(zhǎng)的高能光束均勻照射鐵電體表面時(shí)會(huì)在極化方向上產(chǎn)生應(yīng)變，是一種理想的非接觸式遙控驅(qū)動(dòng)器，在柔性結(jié)構(gòu)的主動(dòng)振動(dòng)控制方面具有可觀的發(fā)展前景[1]。近年來，國(guó)內(nèi)外的一些學(xué)者為此進(jìn)行了一系列的基礎(chǔ)性研究：Tzou等[1]首次提出二維分布式多自由度光致伸縮驅(qū)動(dòng)器模型，并對(duì)其參數(shù)進(jìn)行了研究分析；Liu等[2]率先將0-1極化的二維平面PLZT驅(qū)動(dòng)器應(yīng)用到矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制；Shih等[3,4]將分布式PLZT驅(qū)動(dòng)器分別應(yīng)用于圓柱殼和矩形板的振動(dòng)控制中，利用模態(tài)控制因子研究了驅(qū)動(dòng)器在不同布局下對(duì)兩類結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的控制效果；Shih等[5-6]又分別對(duì)PLZT驅(qū)動(dòng)器在半球殼和拋物殼振動(dòng)控制中的空間布局優(yōu)化提出了建設(shè)性意見；Sun等[7-8]則將光致伸縮驅(qū)動(dòng)器用于懸臂梁振動(dòng)的無線控制研究；姜晶等[9]研究了將多自由度PLZT驅(qū)動(dòng)器層合于正方形板及矩形板的模態(tài)控制效果；王新杰[10]將PLZT驅(qū)動(dòng)器層合到開口球殼及拋物殼等柔性殼結(jié)構(gòu)表面，對(duì)PLZT驅(qū)動(dòng)器模態(tài)控制力中的彎曲效應(yīng)和薄膜效應(yīng)進(jìn)行了分析比較，并結(jié)合常光強(qiáng)控制和速度反饋控制進(jìn)行了主動(dòng)控制仿真；陳德金等[11-12]利用遺傳算法對(duì)用于簡(jiǎn)支板振動(dòng)控制的單對(duì)、雙對(duì)光致伸縮驅(qū)動(dòng)器布局進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)設(shè)計(jì)了基于遺傳算法優(yōu)化權(quán)值矩陣的LQR最優(yōu)無線主動(dòng)控制算法。賀容波等[13]設(shè)計(jì)了模糊變結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制器，對(duì)光照方向最優(yōu)切換面進(jìn)行討論，實(shí)現(xiàn)了對(duì)光電層合簡(jiǎn)直板的單模態(tài)主動(dòng)振動(dòng)控制，豐富了光電層合智能結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制的算法。

然而，現(xiàn)有的研究?jī)?nèi)容[1-13]主要偏重于驅(qū)動(dòng)器位置對(duì)模態(tài)控制因子的影響分析及單模態(tài)振動(dòng)主動(dòng)控制算法研究，對(duì)于多模態(tài)振動(dòng)控制器設(shè)計(jì)的相關(guān)研究至今未見報(bào)道。事實(shí)上，多模態(tài)振動(dòng)抑制比單一模態(tài)的振動(dòng)抑制更貼近實(shí)際工程情況，因此開展多模態(tài)振動(dòng)主動(dòng)控制算法研究是非常必要的。在采用光致伸縮驅(qū)動(dòng)器的多模態(tài)振動(dòng)主動(dòng)控制中，由于光致驅(qū)動(dòng)器復(fù)雜的非線性驅(qū)動(dòng)特性，如何使光致驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生抑制多模態(tài)振動(dòng)所需的控制力是需要解決的關(guān)鍵的問題。為此，本文以層合兩對(duì)光致伸縮驅(qū)動(dòng)器的簡(jiǎn)支板為控制對(duì)象，提出了一種將最優(yōu)控制與模糊控制方法相結(jié)合的最優(yōu)模糊控制策略[14-15]。該方法是一種基于模糊控制的兩步設(shè)計(jì)思路，即：先由LQR控制提供期望的控制量，再由模糊控制器確定光致伸縮驅(qū)動(dòng)器光照方向與光強(qiáng)，使其實(shí)際的控制力逼近期望的控制量。最后通過數(shù)值仿真對(duì)這一策略的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1光電層合板系統(tǒng)的狀態(tài)方程與光致驅(qū)動(dòng)特性

在這一節(jié)將建立層合兩對(duì)光致伸縮驅(qū)動(dòng)器的四邊簡(jiǎn)支板的多模態(tài)振動(dòng)狀態(tài)方程，并對(duì)光致驅(qū)動(dòng)特性進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。如圖1所示，在板的上下表面對(duì)稱層合了四片光致伸縮驅(qū)動(dòng)器貼片，片1和片2的極化方向分別沿x向和y向，以便于實(shí)現(xiàn)對(duì)板的多模態(tài)振動(dòng)抑制[4,11,13]。設(shè)簡(jiǎn)支板的平面坐標(biāo)系為(x,y)，驅(qū)動(dòng)器貼片1和2在板的位置分布由邊界坐標(biāo)x1、x2、y1、y2和x3、x4、y3、y4確定；由文獻(xiàn)[4,11,13]，光電層合板的mn階模態(tài)振動(dòng)控制方程可表述為：

圖1　光電層合板示意圖 Fig.1 Plate with surface-bonded actuators

m=1,2,…n=1,2,…

(1)

(2)

(3a)

(3b)

式中Ya為驅(qū)動(dòng)器的楊氏模量，ha為驅(qū)動(dòng)器的厚度，h為板的厚度，LxLy分別為板的x向和y向的長(zhǎng)度，Y為板的楊氏模量；ρ為板的密度。

板的固有頻率(單位為:rad/s)可由下式確定[4, 11,13]：

(4)

(5)

式中，El(t)為光生電場(chǎng)，θ(t)為光致溫度，可分別表示為:

El(tj)=El(tj-1)+[Es-El(tj-1)]×

(6)

θ(tj)=θ(tj-1)+

{[I(tj)P-γθ(tj-1)]Δt}/(H+γΔt)

(7)

在式(5)～式(7)中，Ya=6.3×1010N/m2為光致伸縮驅(qū)動(dòng)器楊氏模量，d33=1.79×10-10m/V為壓電應(yīng)變系數(shù),λ=6.808 6×104N/m2℃為應(yīng)力-溫度系數(shù),Pn=0.25×10-4C/ m2℃為熱釋電常數(shù)，ε=1.65×10-8F/m為介電常數(shù)，Es=2.43×105V/m為飽和光電場(chǎng)強(qiáng)度,α=2.772×10-3m2/(ws)為光致伸縮驅(qū)動(dòng)器系數(shù),β=0.01 V/s為電壓泄漏系數(shù),P=0.23×103cm2/s 為光生熱能,γ=0.915 w/℃s為熱交換系數(shù),H=16 w/℃為光致伸縮驅(qū)動(dòng)器熱容,αs=a/b為驅(qū)動(dòng)器長(zhǎng)寬比,Δt為時(shí)間間隔,I(tj)為tj時(shí)刻的光強(qiáng)。

(8)

式中，u為控制信號(hào)，sgn(·)為符號(hào)函數(shù)；當(dāng)u>0時(shí)，sgn(u)=+1；當(dāng)u<0時(shí)，sgn(u)=-1；當(dāng)u=0時(shí)，sgn(u)=0；在文中，為了分析的方便，假定光照方向變化的時(shí)候驅(qū)動(dòng)器的應(yīng)變和電場(chǎng)能夠立即消失[2, 4, 11,13]。

選取前3階模態(tài)為受控模態(tài)，為便于分析，將前3階模態(tài)控制方程(1)寫成狀態(tài)空間的形式：

(9)

狀態(tài)方程中的向量和矩陣如下：

C=I6×6

為了實(shí)現(xiàn)多模態(tài)振動(dòng)抑制，必須對(duì)光照方向和光照強(qiáng)度兩個(gè)方面精心設(shè)計(jì)。

圖2　光致應(yīng)變S的在不同光照強(qiáng)度下時(shí)間響應(yīng)曲線 Fig.2 Time history of photo-induced strain S> under the different light intensity

(10)

式(10)為簡(jiǎn)單的線性定常系統(tǒng)，依據(jù)現(xiàn)代控制理論可以很容易設(shè)計(jì)最優(yōu)控制律實(shí)現(xiàn)對(duì)該系統(tǒng)的多模態(tài)最優(yōu)主動(dòng)控制。進(jìn)一步，針對(duì)實(shí)際的光電層合簡(jiǎn)支板系統(tǒng)，若光致伸縮驅(qū)動(dòng)器能夠跟蹤這一最優(yōu)控制律，就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)簡(jiǎn)支板的多模態(tài)最優(yōu)振動(dòng)控制。由于模糊控制具有良好的魯棒性，能夠處理不確定性因素，不需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精確建模，因此本文通過該方法實(shí)現(xiàn)光致驅(qū)動(dòng)器對(duì)最優(yōu)控制律的跟蹤控制，來實(shí)現(xiàn)光電層合簡(jiǎn)支板的多模態(tài)振動(dòng)抑制。

2最優(yōu)模糊主動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

圖3　光電層合簡(jiǎn)支板最優(yōu)模糊主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng) Fig.3 Optimal fuzzy active vibration control system of photo-electric laminated simply supported plates

2.1　線性二次最優(yōu)控制器設(shè)計(jì) [14-15]

不失一般性，考慮二次型性能指標(biāo)為

(11)

式中：Q和R分別為對(duì)狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)值矩陣和權(quán)值系數(shù)，且Q為半正定矩陣,R>0。

二次型最優(yōu)控制問題就是對(duì)式(10)描述的線性定常系統(tǒng),確定最優(yōu)控制u*使得二次型性能指標(biāo)J最小。應(yīng)用極小值原理，可以得出最優(yōu)控制作用：

(12)

式中K為狀態(tài)反饋增益矩陣，P為代數(shù)Riccati方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(13)

將式(12)代入式(10),可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(14)

(15)

式中α<χi<β，α、β為正實(shí)數(shù)，可見Q滿足半正定條件，具體數(shù)值可以根據(jù)實(shí)際響應(yīng)曲線經(jīng)過反復(fù)調(diào)整后確定。

2.2　模糊控制器設(shè)計(jì)

(1)模糊控制器的結(jié)構(gòu)及隸屬度函數(shù)選擇

圖4　隸屬函數(shù)曲線 Fig.4 Membership functions of the inputs and output

采用通用的二維模糊控制器結(jié)構(gòu)，如圖3所示。模糊控制器輸入為U及其變化率UC，輸出為光照強(qiáng)度。光照方向根據(jù)最優(yōu)控制律的符號(hào)變化而變化。精確輸入量u和uc需要分別乘以量化因子Ku和Kuc轉(zhuǎn)換到各自的論域范圍。這里設(shè)定模糊控制器的輸入量標(biāo)準(zhǔn)論域皆為[-3, 3]。將輸入量論域劃分成“負(fù)大”,“負(fù)中”,“負(fù)小”,“零”,“正小”,“正中”,“正大”7 個(gè)模糊子集，即{NL，NM，NS，ZO，PS，PM，PL}。輸出量由于是光強(qiáng)，光強(qiáng)不能為負(fù)，因此設(shè)定輸出量標(biāo)準(zhǔn)論域?yàn)閇0,3]，將輸出量論域劃分成“零”,“正小”,“正中”,“正大”4個(gè)模糊子集，即{ZO，PS，PM，PB}。各模糊子集的隸屬函數(shù)采用三角隸屬度函數(shù)，函數(shù)曲線如圖4所示。

(2)模糊控制規(guī)則的建立

模糊控制器設(shè)計(jì)目的是使光電驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生的實(shí)際控制量逼近最優(yōu)狀態(tài)反饋，其控制輸出為光強(qiáng)。對(duì)光致驅(qū)動(dòng)器而言，外部光照強(qiáng)度越大，光致應(yīng)變?cè)鲩L(zhǎng)越快，反之，則越慢；另外，光致驅(qū)動(dòng)器與壓電驅(qū)動(dòng)器不同，其應(yīng)變只能單向增加，不能減小[16-17]?；谏鲜龉怆婒?qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)特性，因此模糊控制規(guī)則的建立要遵循以下兩條原則：①當(dāng)輸入U(xiǎn)為正的較大值且其變化率UC也為正值的時(shí)候，輸出光強(qiáng)應(yīng)為較大的正值，以盡快逼近最優(yōu)控制律u；②當(dāng)輸入U(xiǎn)為正的較大值但其變化率UC為負(fù)值的時(shí)候，輸出光強(qiáng)應(yīng)為較小的正值或?yàn)椤?”。由于系統(tǒng)具有對(duì)稱性，只考慮正向輸入時(shí)的控制規(guī)則，反向輸入時(shí)的控制規(guī)則依據(jù)對(duì)稱性即可求得。以此總結(jié)的得出的模糊控制規(guī)則如表1。由于U和UC分別定義為7個(gè)模糊子集，因此共有49條規(guī)則。

(3)模糊控制器查詢表

圖5　控制面 Fig.5 The control surface

模糊控制器的推理算法采用Mamdani方法，去模糊化則采用精度較高的重心法。同時(shí)，將輸入論域U和UC各離散化成包含47個(gè)點(diǎn)離散論域，根據(jù)以上控制規(guī)則、模糊推理和去模糊化方法，可通過程序離線計(jì)算得到所有情況下模糊控制器輸出，將所有情況下的輸入輸出組合起來就可以構(gòu)成所謂的模糊控制器查詢表。此查詢表可以事先存放于計(jì)算機(jī)中，每一個(gè)控制周期中，計(jì)算機(jī)將所采集到的最優(yōu)控制律u和其變化率uc轉(zhuǎn)換到各自的離散論域中，由此表查到相應(yīng)的控制輸出值O，再乘以量化因子KI便得到光強(qiáng)控制信號(hào)I。這里，由于查詢表數(shù)據(jù)太多，不便于給出，因此用圖5所示的包含有472個(gè)點(diǎn)的非線性控制面表示。

表1　模糊控制規(guī)則表

3數(shù)值仿真研究

以光電層合簡(jiǎn)支板為仿真對(duì)象，驗(yàn)證前述控制策略的有效性。取受控板的尺寸參數(shù)為[11]：長(zhǎng)Lx=0.8 m，寬Ly=0.6 m，高h(yuǎn)=0.001 m；材料屬性為：Y=2.1×1011N/m2，ρ=7.8×103kg/m3，μ=0.3；在板的上下表面對(duì)稱粘貼兩對(duì)光致伸縮驅(qū)動(dòng)器貼片，其尺寸均為0.24 m×0.06 m×0.000 4 m,光電驅(qū)動(dòng)器片在板的位置分布取為文獻(xiàn)[11]遺傳優(yōu)化位置：x1=0.05 m,x2=0.29 m,y1=0.24 m,y2=0.3 m和x3=0.34 m,x4=0.4m,y3=0.06 m,y4=0.3 m。根據(jù)式(4)和式(3a)、(3b)計(jì)算得到簡(jiǎn)支板的前三階受控模態(tài)頻率和模態(tài)控制因子分別為：

(16a)

(16b)

(16c)

為了便于分析，設(shè)各階模態(tài)初始位移均取為0.001 m，且不考慮結(jié)構(gòu)阻尼，即ζ11=ζ12=ζ21=0。LQR控制中，狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)值矩陣和權(quán)值系數(shù)Q和R分別取為：

R=103

(17)

此時(shí)得到的最優(yōu)反饋陣為

K=[0.0102-0.0014-0.0833-0.00130.0135-0.0014]

(18)

圖6　利用最優(yōu)模糊控制算法的仿真曲線 Fig.6 Time histories of optimal fuzzy control

模糊控制器的量化因子和比例因子分別取為：Ku=5×104、Kuc=200和KI=0.8×105。仿真采用經(jīng)典Newmark-β數(shù)值方法，仿真步長(zhǎng)取為0.000 1 s, 進(jìn)行15 000次迭代運(yùn)行，仿真結(jié)果如圖6(a)～(e)所示。圖6(a)～(e)分別為采用最優(yōu)模糊控制策略的板的位移變化、驅(qū)動(dòng)器控制力變化、光照強(qiáng)度變化、光生電場(chǎng)變化的曲線以及最優(yōu)控制律和其變化率曲線。由圖6(a)可見，三個(gè)模態(tài)的位移經(jīng)過1.2 s左右都基本上衰減殆盡，振動(dòng)得到了很好的抑制；在圖6(b)中，由于三個(gè)模態(tài)各自的模態(tài)控制因子不同，因此不同模態(tài)的控制大小不一樣，但變化規(guī)律相同；由圖6(e)可見，最優(yōu)控制律輸入的變化范圍為-4×10-4～4×10-4，其變化率的變化范圍為-0.08～0.08，這為模糊控制器量化因子Ku、Kuc的選擇提供了依據(jù)。在上述仿真中，將最優(yōu)狀態(tài)反饋及其變化率作為模糊控制器的輸入，通過模糊控制器去調(diào)節(jié)光強(qiáng)，使驅(qū)動(dòng)器的輸出應(yīng)變盡可能去逼近最優(yōu)控制律，從而有效的抑制板的多模態(tài)振動(dòng)。

圖7　利用最優(yōu)狀態(tài)反饋直接作用的仿真曲線 Fig.7 Time histories of optimal state feedback control

為了表明模糊控制在克服驅(qū)動(dòng)器非線性方面的作用，在圖3中將模糊控制環(huán)節(jié)去掉，利用設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制矩陣K直接作狀態(tài)反饋重新進(jìn)行仿真，即光強(qiáng)寫為：

(19)

光照方向依舊按照控制信號(hào)u的符號(hào)的變化而變換方向，其仿真結(jié)果如圖7(a)～(d)所示。圖7(a)～(d)分別為板的位移變化、光電驅(qū)動(dòng)器控制力變化、光強(qiáng)變化以及光生電場(chǎng)變化的曲線。由圖7(a)可見，由于光電驅(qū)動(dòng)器的非線性驅(qū)動(dòng)特性，直接用最優(yōu)狀態(tài)反饋的效果并不是非常理想。比較而言，本文提出的最優(yōu)模糊控制能夠有效的克服驅(qū)動(dòng)器的非線性驅(qū)動(dòng)特性，成功的實(shí)現(xiàn)多模態(tài)振動(dòng)抑制。

4結(jié)論

本文提出了基于光電層合簡(jiǎn)支板的最優(yōu)模糊多模態(tài)主動(dòng)振動(dòng)控制算法。首先，基于簡(jiǎn)化的系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)了LQR控制，然后通過模糊控制器調(diào)節(jié)光電驅(qū)動(dòng)器的輸入光強(qiáng)使其光致應(yīng)變逼近最優(yōu)控制量。研究表明, 和直接最優(yōu)狀態(tài)反饋控制策略相比，最優(yōu)模糊控制可以克服光致驅(qū)動(dòng)器的非線性驅(qū)動(dòng)特性，更為有效地實(shí)現(xiàn)光電層合板的多模態(tài)振動(dòng)控制。在最優(yōu)模糊控制策略的設(shè)計(jì)過程當(dāng)中，模糊控制器與最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)是分開設(shè)計(jì)的，相互獨(dú)立。這種處理方法可以方便地把模糊控制器與其它的控制算法相結(jié)合，開發(fā)出其他有效的多模態(tài)控制方法。

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