第一作者涂建新男，碩士，1977年1月生

通信作者王平男，博士，教授，1965年1月生

磁場中簡支矩形薄板的非線性穩(wěn)態(tài)隨機振動

涂建新1,王知人1,王平2,3

(1.燕山大學理學院，秦皇島066004； 2.燕山大學建筑工程與力學學院，秦皇島066004；3.中國科學院力學研究所國家非線性力學重點實驗室,北京100080)

摘要：根據(jù)電動力學理論、板殼磁彈性理論和結構隨機振動理論，導出電磁場中矩形薄板的磁彈性非線性隨機振動方程，然后利用伽遼金法對四邊簡支矩形薄板的非線性隨機振動方程進行整理，得到伊藤型狀態(tài)方程；在外界激勵是平穩(wěn)高斯白噪聲的條件下，利用穩(wěn)態(tài)的FPK方程法求解得到薄板的穩(wěn)態(tài)隨機振動位移和速度響應的多個數(shù)字特征；通過具體數(shù)值算例分析，討論了電磁參數(shù)對各數(shù)字特征的影響。

關鍵詞：磁彈性;非線性;隨機振動;矩形薄板

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11172024)；河北省自然科學基金資助項目(A2012203140)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-04-24

中圖分類號:O326文獻標志碼：A

Nonlinear stationary random vibration of a rectangular thin plate in a magnetic field

TUJian-xin1,WANGZhi-ren1,WANGPing2,3(1. College of Sciences, Yanshan University, Qinhuangdao 066004，China;2.College of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004，China;3. State Key Laboratory of Nonlinear Continuum Mechanics, Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080，China)

Abstract:According to the theory of electrodynamics, the magneto-elastic theory of plates and shells, and the theory of structure’s random vibration, the magneto-elastic nonlinear random vibration equation of a plate simply supported in an electromagnetic field was derived. And then, the nonlinear random vibration equation was changed into an ITO equation using Galerkin method. The statistical characteristics of the displacement and velocity responses of the plate’s stationary random vibration were obtained by using FPK equations method when the external excitation was stationary Gauss white noise. The influences of the parameters of the electromagnetic field on the statistical characteristics were discussed with numerical examples.

Key words:magneto-elasticity; nonlinearity; random vibration; rectangular thin plate

隨著科學技術的不斷發(fā)展，在工程實際中存在很多電磁場與機械場耦合的非線性振動問題，近年來，一些學者在磁彈性振動問題方面的研究做了許多有價值的工作，也取得了一些有意義的成果。例如，Mol’chenko等[1]給出了磁彈性殼體的非線性方程，并且建立了求解變厚度軸對稱彈性錐殼方程的方法。Mol’chenko[2]以電磁場中軸對稱載流環(huán)形彈性薄板為例，考慮到幾何非線性的影響，對載流板、殼的應力應變狀態(tài)進行了研究。周又和、鄭曉靜[3]在電磁固體力學理論模型、非線性耦合等方面取得了一些新的研究成果。胡宇達[4]給出了薄板薄殼的磁彈性非線性振動基本方程。王平等[5-6]得到了在磁場中通有隨機電流的導電梁、薄板的磁彈性隨機振動方程，并對梁、薄板的隨機振動響應進行了分析。Yang等[7]總結了磁彈性板殼結構的精細的研究理論。Hasanyan等[8]研究了處于橫向磁場中有限導電、幾何非線性、各向同性的彈性板帶振動行為。Moon等[9]給出了一種在隨機激勵下對復雜非線性系統(tǒng)隨機振動進行分析的方法。Chang等[10]應用等價線性法和有限元法對幾何非線性殼結構的隨機振動進行分析。

目前，關于磁彈性非線性隨機振動問題的研究還比較少。本文主要研究了磁場中矩形薄板的磁彈性非線性隨機振動問題。利用伽遼金原理和FPK方程法得到薄板隨機振動位移和速度響應的多個數(shù)字特征，并討論了電磁參數(shù)對各數(shù)字特征的影響。

1磁場中矩形薄板的非線性隨機振動

如圖1所示，建立直角坐標系oxyz。薄板處于橫向磁場B0(0,0,B0z)中。對薄板施以橫向隨機荷載Pz(x,y,t)。

圖1　磁場中矩形薄板 Fig.1 A rectangular plate in magnetic field

根據(jù)板殼磁彈性理論和結構隨機振動理論，可得到電磁場中矩形薄板的磁彈性非線性隨機振動方程[11]為

(1)

四邊簡支的邊界條件為：

(2)

方程(1)滿足邊界條件的一階主振型解可設為

(3)

將式(3)代入方程(1)，并利用伽遼金法對所得式積分化簡后為

(4)

式中，

(5)

2矩形薄板的穩(wěn)態(tài)隨機振動響應

以白噪聲激勵為例，設橫向激勵為Pz(x,y,t)=Q(x,y)p(t)(其中，Q(x,y)為某一確定函數(shù)，p(t)為譜密度S0的正態(tài)白噪聲)。

將Pz(x,y,t)=Q(x,y)p(t)代入式(4)、式 (5)中，得：

k1T3(t)=G·p(t)

(6)

(7)

非線性隨機振動方程(6)可化成伊藤型狀態(tài)微分方程[12]：

(8)

式(8)相應的穩(wěn)態(tài)FPK方程為：

(9)

式中，ps為狀態(tài)變量Y(t)的概率密度函數(shù)。求解Ps可通過求解如下方程組：

(10)

在外干擾是平穩(wěn)高斯白躁聲條件下[12]，可設Ps(y1,y2)=ps1(y1)Ps2(y2)，將此式代入式(10)經(jīng)計算可得

(11)

(12)

ps(y1,y2)=

(13)

由式(11)可得：如果忽略方程(6)中的非線性項，T(t)是平穩(wěn)正態(tài)過程，均值為零、方差為

考慮到方程(6)中的非線性項，則T(t)不是正態(tài)平穩(wěn)過程。將式(11)寫為如下形式：

(14)

(15)

由式(15)可得：T(t)的均值為零，方差為

(16)

再根據(jù)式(3)，得到：矩形薄板速度響應的均值為零，方差為

(17)

矩形薄板位移響應的均值為零，方差為

我們通過從中心點向外拖動的方式創(chuàng)建徑向濾鏡的調(diào)整范圍。創(chuàng)建調(diào)整圓的時候按住空格鍵也可以直接更改圓心的位置。按住Shift鍵拖動，可以得到一個標準的正圓形。如果我們選擇工具后直接在畫面上雙擊鼠標，就能得到一個與畫面邊框?qū)R的調(diào)整圓。單擊調(diào)整圓中心筆尖即可選擇該調(diào)整圓。

(18)

3數(shù)值算例

3.1　位移響應和速度響應的概率密度

圖2　位移響應在不同情況下的概率密度 Fig.2 The probability density of displacement response in different magnetic field

圖3　速度響應在不同情況下的概率密度 Fig.3 The probability density of velocity response in different magnetic field

由圖2可知，位移響應的概率密度具有對稱性；在同一板厚下，隨著磁場增大，位移響應的概率密度越集中、峰值越高，發(fā)生較大位移的概率越小，說明磁場對薄板隨機振動的位移響應起到阻礙作用；板厚對薄板的隨機振動位移影響較大，在磁場不變的情況下，隨著板厚的增加，發(fā)生較大位移的概率減小。磁場和板厚對薄板隨機振動的位移響應都起到阻礙作用。

由圖3可知，速度的概率密度服從正態(tài)分布，隨著磁場的增大，圖形的峰值越大，且概率分布越來越集中，這說明隨著磁場的增大，速度的較大響應發(fā)生的概率越來越?。划敶艌霾蛔儠r，隨著板厚的增加，速度的較大響應發(fā)生的概率也越來越小。磁場和板厚對薄板隨機振動的速度響應都起到阻礙作用。

3.2　位移響應和速度響應的方差

將以上參數(shù)代入式(3)、式(18)、式(17)，可得矩形薄板中心的位移響應、速度響應的方差，如圖4、圖5所示。

圖4　位移響應在不同情況下的位移方差 Fig.4 The variance diagram of displacement response in different magnetic field

由圖4可知：位移響應的方差隨激勵強度的增大而迅速增加；位移響應的方差在相同的激勵強度下隨磁場的增加而迅速減小，當磁場強度達到一定數(shù)值后，位移方差近似趨于零；位移響應方差隨板厚的增大而迅速減小。

圖5　速度響應在不同情況下的速度方差 Fig.5 The variance diagram of velocity response in different magnetic field

由圖5可知：速度響應的方差也是隨激勵強度的增大而迅速增大，速度響應的方差在相同的激勵強度下隨磁場的增大而迅速減小，且當磁場強度達到一定數(shù)值后，速度方差也是近似于零；速度方差隨板厚的增加而迅速減小。

4結論

針對四邊簡支矩形薄板，在外干擾是平穩(wěn)高斯白躁聲條件下，利用穩(wěn)態(tài)FPK方程法研究了薄板的磁彈性非線性穩(wěn)態(tài)隨機振動問題，解出了薄板隨機振動位移響應和速度響應的概率密度函數(shù)，分析了外加磁場和薄板厚度等參數(shù)的變化對各統(tǒng)計量的影響，主要結論如下：

(2)通過數(shù)值算例，得到了薄板的隨機振動位移響應和速度響應的概率密度、方差分布，并對比分析了它們隨不同參數(shù)的變化，得到了相應規(guī)律。

參考文獻

[1]Mol’chenko L V, Loos I I. Magneto-elastic nonlinear deformation of a conical shell of variable stiffness[J]. International Applied Mechanics, 1999, 35(11): 34-39.

[2]Mol’chenko L V. Nonlinear deformation of current-carrying plates in a non-steady magnetic field[J]. Soviet Applied Mechanics (English Translation of Prikladnaya Mekhanika), 1990, 26(6): 555-558.

[3]周又和,鄭曉靜，著. 電磁固體結構力學[M]. 北京:科學出版社, 1999.

[4]胡宇達. 傳導薄板的非線性磁彈性振動問題[J]. 工程力學, 2001, 18(4): 89-94.

HU Yu-da.Magneto-elastic nonlinear vibration of a thin conductive plate[J]. Engineering Mechanics, 2001, 18(4): 89-94.

[5]王平, 李曉靚, 白象忠, 等. 導電梁在磁場中的磁彈性隨機振動[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(3): 75-78.

WANG Ping，LI Xiao-jing，BAI Xiang-zhong, et al．Magneto-elastic random vibration of an electro-conductive beam in magnetic field[J]．Journal of Vibration and Shock，2007, 26(3): 75-78.

[6]王平, 李曉靚, 劉強. 導電薄板在磁場中的磁彈性隨機振動[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(1): 138-142.

WANG Ping，LI Xiao-jing，LIU Qiang. Magneto-elastic random vibration of an electro-conductive plate in magnetic field[J]．Journal of Vibration and Shock,2009,28(1): 138-142.

[7]Gao Y,Zhao B S. The refined theory for a magnetoelastic body-I plate problems[J].International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, 2009, 29: 1-14.

[8]Hasanyan D D, Librescu L, Qin Z M,et al. Nonlinear vibration of finitely electro-conductive plate-strips in a magnetic field[J]. Computers and Structures, 2005, 83(15-16): 1205-1216.

[9]Moon B, Lee C T, Kang B S, et al. Statistical random response analysis and reliability design of structure system with non-linearity[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2005,19:1135-1151.

[10]Chang T P, Chang H C, Liu M F. A finite element analysis on random vibration of nonlinear shell structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 291: 240-257.

[11]白象忠, 田振國. 板殼磁彈性力學基礎[M]. 北京: 科學出版社, 2006.

[12]陳予恕，唐云等.非線性動力學中的現(xiàn)代分析方法[M]. 北京:科學出版社, 2000:221-223.