具有初始幾何缺陷加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲

馬牛靜1,王榮輝1,2，韓強(qiáng)1

(1華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院;2亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州510640)

摘要：針對(duì)工程中常用的加勁板，研究了動(dòng)態(tài)屈曲的求解方法。將加勁板分為母板與加勁肋兩個(gè)部分考慮，其中母板按經(jīng)典薄板理論計(jì)算，加勁肋視為Euler梁。假定加勁板的位移，利用Hamilton原理結(jié)合系統(tǒng)能量和振型疊加法建立了加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲特征方程。最后，選擇四邊簡(jiǎn)支加勁板進(jìn)行數(shù)值分析，分析中考慮初始幾何缺陷的影響，并討論了初始幾何缺陷、加勁肋的數(shù)量及其剛度的變化對(duì)動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載的影響。結(jié)果表明：一階模態(tài)的初始幾何缺陷對(duì)加勁板的臨界荷載影響很大，而增加加勁肋的數(shù)量及其剛度可以提高加勁板的抗動(dòng)態(tài)屈曲能力。研究結(jié)果也為加勁板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法提供一定的參考。

關(guān)鍵詞：加勁板；初始幾何缺陷；動(dòng)態(tài)屈曲；臨界荷載；Hamilton原理

中圖分類(lèi)號(hào):O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51277186)

收稿日期：2013-07-24修改稿收到日期：2013-12-04

Dynamicalbucklingofstiffenedplateswithinitialgeometricalimperfection

MA Niu-jing1,WANGRong-hui1,2, HAN Qiang1(1.SchoolofCivilEngineeringandTransportation,SouthChinaUniversityofTechnology; 2.StateKeyLaboratoryofSubtropicalBuildingScience,Guangzhou510640,China)

Abstract:An approach was presented to study the dynamical buckling of stiffened plates. The stiffened plate was divided into one plate and some stiffeners, with the plate analyzed based on the classical thin plate theory, and the stiffeners taken as Euler beams. Assuming the displacements of the stiffened plate, the Hamilton principle and modal superposition method were used to derive the eigenvalue equations of the stiffened plate according to the energy of the system. Numerical examples of simply supported stiffened plates were presented to study the critical loads with the initial geometrical imperfection considered. A detailed discussion on how the initial geometrical imperfection, the number and the flexural rigidity of stiffeners influence the critical load was carried out. The results show the initial geometrical imperfection in the 1st mode shape has a great effect on the critical load, and the increase of the number and the flexural rigidity of stiffeners can strengthen the dynamical buckling capacity. These conclusions can also provide references to the engineering design of stiffened plates.

Keywords:stiffenedplates;initialgeometricalimperfection;dynamicalbuckling;criticalloads;Hamiltonprinciple

加勁板在船舶、土木、機(jī)械和宇航工程上有著廣泛的應(yīng)用，由于加勁板在許多情況下要承受動(dòng)荷載，因此在加勁板設(shè)計(jì)中需要考慮一定的面內(nèi)動(dòng)荷載。在均布與非均布面內(nèi)動(dòng)荷載作用下，加勁板的動(dòng)力行為對(duì)工程設(shè)計(jì)人員非常重要。加勁板在面內(nèi)周期動(dòng)荷載作用下可能發(fā)生參數(shù)共振，從而引起結(jié)構(gòu)動(dòng)力失穩(wěn)破壞，動(dòng)力失穩(wěn)破壞荷載可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于結(jié)構(gòu)的靜力屈曲荷載。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于加勁板的研究主要集中在靜力屈曲問(wèn)題上[1-4]，而對(duì)于加勁板在動(dòng)荷載作用下屈曲問(wèn)題的研究成果卻比較少。Leipholz[5]提出了廣義自共軛的概念，建立了廣義的Hamilton原理，用拓展的伽遼金法解出矩形板在隨從力作用下，不同邊界條件下的臨界力。Srivastava等[6]運(yùn)用有限元法研究了加勁板在非均布面內(nèi)諧波激勵(lì)下的加勁板的動(dòng)力穩(wěn)定。Patel等[7]運(yùn)用有限元法研究了加勁殼的靜力與動(dòng)力穩(wěn)定。Srivastava等研究中均未考慮結(jié)構(gòu)初始缺陷的影響，因此計(jì)算結(jié)果并不能準(zhǔn)確地反映實(shí)際情況。張濤等[8]分析了流固沖擊下加筋板的非線性彈性動(dòng)態(tài)屈曲，但并未得到加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載。此外：Huang等[9]研究了軸向時(shí)變荷載作用下功能梯度殼的非線性動(dòng)力屈曲；Yang等[10]運(yùn)用平均法研究了軸線加速運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的動(dòng)力穩(wěn)定性；Banichuk等[11]討論了軸向運(yùn)動(dòng)傳送帶的穩(wěn)定性問(wèn)題；Chen[12]研究了軸向周期荷載作用下扭轉(zhuǎn)Timoshenko梁的動(dòng)力穩(wěn)定性；程昌鈞等[13]求解出粘彈性環(huán)形板的臨界載荷并得出了動(dòng)力穩(wěn)定性的判據(jù)；莫宵依等[14]討論了矩形薄板在非保守力作用下的動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題；周銀鋒等[15]研究了隨從力作用下粘彈性板的動(dòng)力穩(wěn)定性。韓大偉等[16]基于雙特征參數(shù)法和應(yīng)力波理論，求解了三邊簡(jiǎn)支一邊固支矩形薄板在面內(nèi)軸向沖擊載荷作用下動(dòng)力屈曲位移的解析解。鄧?yán)诘萚17]將臨界應(yīng)力和屈曲慣性項(xiàng)指數(shù)參數(shù)作為雙特征參數(shù)求解，研究了面內(nèi)階躍載荷作用下矩形薄板的塑性動(dòng)力屈曲問(wèn)題。以上學(xué)者對(duì)梁、板、殼的動(dòng)力穩(wěn)定問(wèn)題作了大量的研究工作，但并未涉及加勁板動(dòng)力穩(wěn)定的研究。

鑒于目前加勁板動(dòng)態(tài)屈曲的研究成果并不多見(jiàn)，且各種方法均存在一定的缺點(diǎn)，本文針對(duì)四邊簡(jiǎn)支加勁板，提出了動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載的求解方法，運(yùn)用Hamilton原理建立加勁板動(dòng)態(tài)屈曲特征方程。分析中考慮初始幾何缺陷的影響，并討論了初始幾何缺陷、加勁肋的數(shù)量及其剛度的變化對(duì)動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載的影響。研究結(jié)果也為加勁板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法提供一定的參考。

1參數(shù)說(shuō)明與控制方程的建立

1.1參數(shù)說(shuō)明

1.2加勁板的位移函數(shù)及初始幾何缺陷的考慮

考慮四邊簡(jiǎn)支加勁板，則簡(jiǎn)諧振動(dòng)板的橫向位移函數(shù)可以表示為：

(1)

板件在加工及制作中，不可避免地存在誤差導(dǎo)致板件出現(xiàn)各種面外的變形，這些面外變形稱(chēng)為初始幾何缺陷。初始幾何缺陷在加勁板的制作和安裝過(guò)程中是無(wú)法避免和估計(jì)其大小的，初始幾何缺陷的形狀通常可以根據(jù)板的屈曲模態(tài)確定[18]：

(2)

圖1　加勁板計(jì)算示意圖 Fig.1 Geometry of a stiffened plate

1.3控制方程的建立

分析中作以下兩點(diǎn)假設(shè)：第一，將加勁肋視為Euler梁，同時(shí)考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)；第二，母板按經(jīng)典薄板理論計(jì)算。下面分別計(jì)算縱肋、橫肋及母板的動(dòng)能與應(yīng)變能，并運(yùn)用Hamilton原理建立加勁板動(dòng)態(tài)屈曲特征方程。加勁肋的應(yīng)變能包括拉壓應(yīng)變能、彎曲應(yīng)變能與扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能，母板的應(yīng)變能包括彎曲應(yīng)變能與膜應(yīng)變能。為了得到加勁肋應(yīng)變能中的拉壓應(yīng)變能以及母板應(yīng)變能中的膜應(yīng)變能，首先應(yīng)確定縱肋、橫肋中性軸及母板中性面x與y方向的應(yīng)變，根據(jù)圖1所示加勁板的幾何參數(shù)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算可以得到縱肋、橫肋中性軸及母板中性面的應(yīng)變分別為：

(3)

(4)

(5)

另外，母板中面應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：

(6)

(7)

(8)

根據(jù)以上各式可以確定縱肋、橫肋及母板的動(dòng)能與應(yīng)變能。

工程中通常不考慮面內(nèi)慣性效應(yīng)[18]，因此加勁板動(dòng)能的計(jì)算只考慮橫向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。第k條縱肋的動(dòng)能與應(yīng)變能分別為：

(9)

(10)

第k條橫肋的動(dòng)能與應(yīng)變能分別為：

(11)

(12)

母板的動(dòng)能與應(yīng)變能分別為：

(13)

(14)

根據(jù)式(9)~式(14)可以得到加勁板總的動(dòng)能與應(yīng)變能分別為：

T=Tsx+Tsy+Tp

(15)

V=Vsx+Vsy+Vp

(16)

考慮加勁板沿x與y方向分別作用有均勻面內(nèi)隨從壓力px與py，并且令：

py=λpx=λp

(17)

式中：λ為一常數(shù)，表示py與px的比例關(guān)系。

外力所做的功為：

(18)

根據(jù)式(15)、(16)和(18)，并運(yùn)用Hamilton原理可以得到關(guān)于加勁板動(dòng)態(tài)屈曲的一組線性齊次方程組，用矩陣形式可表示為：

(19)

給定不同的p值，式(19)成為關(guān)于ω2的廣義特征值問(wèn)題。隨著p增大，ω2可能出現(xiàn)兩種情況：其一是ω2由正變負(fù)，使ω2=0時(shí)的p值為發(fā)散失穩(wěn)臨界荷載，簡(jiǎn)稱(chēng)發(fā)散荷載；其二為ω2由一對(duì)相鄰的值彼此接近到相等，然后成為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，使一對(duì)相鄰的ω2相等時(shí)的p值為顫振失穩(wěn)臨界荷載，簡(jiǎn)稱(chēng)顫振荷載。運(yùn)用MATLAB編制相應(yīng)的計(jì)算程序可以方便地實(shí)現(xiàn)這一計(jì)算過(guò)程。

2算例分析

2.1加勁板參數(shù)

選擇如下參數(shù)對(duì)加勁板動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載進(jìn)行討論：ρ=7.85×103kg/m3、E=2.1×1011Pa、μ=0.3、G=8.1×1010Pa、a=1.5m、b=1.2m、hp=0.005m、hs1=hs2=0.09m、D=2.404×103N·m2/m、EAsx=EAsy=7.56×107N、λ=0.5。

2.2方法驗(yàn)證

由表1可以看出，對(duì)于前兩種加勁板，當(dāng)級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)取到7×7時(shí)，發(fā)散荷載已經(jīng)收斂；對(duì)于第三種加勁板，當(dāng)級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)取到8×8時(shí)，發(fā)散荷載收斂。這說(shuō)明只需選取8×8項(xiàng)級(jí)數(shù)即可滿足計(jì)算要求。另外，文獻(xiàn)[7]的有限元方法的計(jì)算結(jié)果與本文方法的計(jì)算結(jié)果比較接近，但均偏高，一方面驗(yàn)證了本文方法的正確性，另一方面是由于文獻(xiàn)[7]中的有限元方法計(jì)算中未考慮初始幾何缺陷的原因，而初始幾何缺陷的存在會(huì)使得加勁板的臨界荷載降低，因此本文的方法更具有實(shí)用性。

表1　四邊簡(jiǎn)支加勁板的發(fā)散荷載(單位：kN/m)

2.3動(dòng)態(tài)屈曲的影響因素分析

為了分析加勁板動(dòng)態(tài)屈曲的影響因素，針對(duì)以下四種情況分別討論初始幾何缺陷、加勁肋的數(shù)量及其剛度的變化對(duì)動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載的影響：

根據(jù)前面的分析結(jié)果，為了保證計(jì)算精度，以下計(jì)算中取M=N=8即可。根據(jù)以上三種情況計(jì)算得到的臨界荷載同樣是發(fā)散荷載，圖2~圖4分別是初始幾何缺陷、加勁肋的數(shù)量及其剛度的變化對(duì)荷載-頻率曲線的影響。

圖2　初始幾何缺陷的變化對(duì)荷載-頻率曲線的影響 Fig.2 The influence on load-frequency curves of the initial geometrical imperfections

圖3　加勁肋的數(shù)量的變化對(duì)荷載-頻率曲線的影響 Fig.3 The influence on load-frequency curves of the numbers of stiffeners

圖4　加勁肋的抗彎剛度的變化對(duì)荷載-頻率曲線的影響 Fig.4 The influence on load-frequency curves of the flexural rigidities of stiffeners

圖5　加勁肋的扭轉(zhuǎn)剛度的變化對(duì)荷載-頻率曲線的影響 Fig.5 The influence on load-frequency curves of the torsional rigidities of stiffeners

圖2給出了三種缺陷形式下，加勁板的荷載-頻率曲線?？梢钥闯?，當(dāng)初始缺陷形式含有一階模態(tài)時(shí)，加勁板一階模態(tài)在動(dòng)態(tài)屈曲模態(tài)中絕對(duì)占優(yōu)，且使得屈曲易于發(fā)生，也就是說(shuō)，不含一階模態(tài)的初始幾何缺陷有利于提高加勁板抵抗動(dòng)態(tài)屈曲的能力。

圖3給出了三種不同數(shù)量加勁肋情況下，加勁板的荷載-頻率曲線?？梢钥闯觯S著加勁肋數(shù)量的增加，加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載迅速增加，另外可以發(fā)現(xiàn)，在x與y方向同時(shí)設(shè)置3個(gè)加勁肋的臨界荷載大約是在兩個(gè)方向同時(shí)設(shè)置1個(gè)加勁肋的2倍，這也進(jìn)一步說(shuō)明加勁肋的設(shè)置可以有效提高加勁板的抗動(dòng)態(tài)屈曲能力。

圖4給出了加勁肋抗彎剛度不同的五種情況下，加勁板的荷載-頻率曲線?？梢钥闯?，當(dāng)抗彎剛度由2.85×103N·m2增加到3×103N·m2時(shí)，加勁板的臨界荷載的增幅大約500 kN/m，而當(dāng)抗彎剛度由3.3×103N·m2增加到3.45×103N·m2時(shí)，加勁板的臨界荷載的增幅大約只有200 kN/m，這說(shuō)明隨著加勁肋抗彎剛度的提高，加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

圖5給出了加勁肋扭轉(zhuǎn)剛度不同的五種情況下，加勁板的荷載-頻率曲線。可以看出，當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度由115 N·m2增加到130 N·m2時(shí)，加勁板的臨界荷載的增幅大約250 kN/m，而當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度由160 N·m2增加到175 N·m2時(shí)，加勁板的臨界荷載的增幅大約只有100 kN/m，這說(shuō)明隨著加勁肋扭轉(zhuǎn)剛度的提高，加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

3結(jié)論

本文運(yùn)用Hamilton原理建立了具有初始幾何缺陷加勁板動(dòng)態(tài)屈曲的特征方程。選取一個(gè)數(shù)值算例，對(duì)四邊簡(jiǎn)支加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載進(jìn)行分析，主要得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)本文方法的正確性通過(guò)文獻(xiàn)[7]有限元方法的計(jì)算結(jié)果得到驗(yàn)證，同時(shí)由于考慮了初始幾何缺陷，并且采用比較少的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)便可以收斂，因此本文的方法更具有實(shí)用性；

(2)對(duì)于本文的各種形式的四邊簡(jiǎn)支加勁板，動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載均為發(fā)散荷載；

(3)一階模態(tài)的初始幾何缺陷對(duì)加勁板的臨界荷載影響很大，而不含一階模態(tài)的初始幾何缺陷有利于提高加勁板抵抗動(dòng)態(tài)屈曲的能力；

(4)增加加勁肋的數(shù)量可以顯著提高加勁板的抗動(dòng)態(tài)屈曲能力；

(5)隨著加勁肋抗彎剛度的提高，加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

(6)隨著加勁肋扭轉(zhuǎn)剛度的提高，加勁板的動(dòng)態(tài)屈曲臨界荷載亦隨之增加，但是增幅逐漸變小。

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第一作者嚴(yán)波男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1965年5月生