粘彈性介質(zhì)中輸流碳納米管的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析

梁峰， 包日東， 金瑩， 蘇勇

(沈陽化工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，沈陽110142)

摘要：應(yīng)用非局部粘彈性夾層梁模型分析粘彈性介質(zhì)中輸送脈動(dòng)流碳納米管的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。在經(jīng)典的歐拉梁模型中考慮了由管道內(nèi)、外壁上的薄表面層引起的表面彈性效應(yīng)和表面殘余應(yīng)力，同時(shí)考慮納米管道的非局部效應(yīng)，得到了改進(jìn)的歐拉梁模型。用平均法對(duì)其控制方程進(jìn)行求解，得到了管道穩(wěn)定性區(qū)域。數(shù)值算例揭示了納米管的壁厚、粘彈性特性、表面效應(yīng)及兩個(gè)介質(zhì)參數(shù)對(duì)管道動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的復(fù)雜影響，結(jié)論可為納米流體機(jī)械的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和振動(dòng)分析提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：輸流碳納米管；穩(wěn)定性；參數(shù)共振；表面效應(yīng)；粘彈性介質(zhì)

中圖分類號(hào):O326文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Dynamicstabilityofafluid-conveyingcarbonnanotubeembeddinginlinearviscoelasticmedium

LIANG Feng, BAO Ri-dong, JIN Ying, SU Yong(SchoolofEnergyandPowerEngineering,ShenyangUniversityofChemicalTechnology,Shenyang110142,China)

Abstract:A nonlocal viscoelastic sandwich-beam model was developed to investigate the dynamic stability of a pulsating-fluid-conveying carbon nanotube (CNT) embedding in linear viscoelastic medium. The classical Euler-Bernoulli beam model was modified by considering the effects of surface elasticity and surface residual stress induced by thin surface layers presented on the inner and outer tube walls. The nonlocal effect of CNT was also taken into account. The governing equation was solved via the averaging method and the stability regions were obtained. Numerical examples were presented to reveal the complicated influences of tube thickness, viscoelasticity, surface effects and two medium parameters on the dynamic stability of the CNT. The conclusions drawn in the present paper are thought to be helpful to the structural design and vibration analysis of nanofluidic devices.

Keywords:fluid-conveyingcarbonnanotube;stability;parametricresonance;surfaceeffect;linearviscoelasticmedium

碳納米管是1991年被發(fā)現(xiàn)的一種重要的納米材料。研究表明，碳納米管具有十分優(yōu)異的力學(xué)、電磁學(xué)和化學(xué)性能，其強(qiáng)度是鋼的100倍，是已知材料中最高的，但密度僅為鋼的1/6，無論是強(qiáng)度還是韌性都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于任何已知纖維材料。碳納米管作為復(fù)合材料的增強(qiáng)體，表現(xiàn)出了良好的強(qiáng)度、彈性、抗疲勞性，同時(shí)還具有耐強(qiáng)酸、強(qiáng)堿，在空氣中973K以下基本不被氧化等優(yōu)良性質(zhì)。目前，碳納米管已經(jīng)在物理、化學(xué)、生物、電子和材料等領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用。

由于碳納米管具有小尺度、低密度、高強(qiáng)度和高硬度等特性，加之完美的空心圓柱形幾何結(jié)構(gòu)，使其成為納米尺度下流體儲(chǔ)藏與輸運(yùn)的重要載體。碳納米管可以作為氣體存儲(chǔ)的納米容器，輸運(yùn)流體的納米管道，最小的毛細(xì)血管，納米級(jí)化學(xué)試管等，還可以將液態(tài)金屬填充在碳納米管內(nèi)部，使其成為納米級(jí)溫度計(jì)。由于碳納米管具有良好的力學(xué)、電學(xué)和化學(xué)特性，其內(nèi)壁又是極其光滑的，因此可以被用來快速和安全地輸送液氫等燃料，為能源的輸送提供新的解決辦法。另外，植物細(xì)胞輸水的過程、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的藥物流體在蛋白質(zhì)中輸送、生物體中選擇性輸運(yùn)粒子流的特性都和碳納米管輸運(yùn)流體的問題有著相似的動(dòng)力學(xué)機(jī)理，都可以用碳納米管輸送流體的動(dòng)力學(xué)模型來描述。

由于普通宏觀管道內(nèi)壁與流體間存在較大的摩擦，在管道安全運(yùn)行的前提下，流體流速一般不會(huì)很大，然而Majumder等[1]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，流體在納米管中的流速比理論預(yù)測(cè)結(jié)果要高4-5個(gè)數(shù)量級(jí)，流體的流動(dòng)速度可以達(dá)到非常大。作為一種典型的小尺度高流速流固耦合系統(tǒng)，輸流碳納米管常常會(huì)表現(xiàn)出極其豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。Yoon等[2-3]應(yīng)用單彈性梁模型研究了輸流碳納米管的自由振動(dòng)和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性，證明了納米管道內(nèi)部的高速流體對(duì)管道的振動(dòng)頻率和振幅衰減率有明顯影響；基于此項(xiàng)研究，Wang等[4]應(yīng)用多彈性梁模型研究了輸流雙壁碳納米管的固有頻率和屈曲失穩(wěn)特性，發(fā)現(xiàn)其共振頻率決定于流體流速，當(dāng)流速達(dá)到一定值時(shí)，碳納米管就會(huì)發(fā)生屈曲失穩(wěn)；Yan等[5-6]的研究結(jié)果也證明了內(nèi)部高速流體和層間的范德華力是引起輸流多壁碳納米管失穩(wěn)的重要原因。但總體來說，研究碳納米管固體力學(xué)行為[7]的文獻(xiàn)很多，而關(guān)于碳納米管內(nèi)流體流動(dòng)問題的研究則較少，有關(guān)流固耦合下，尤其是脈動(dòng)內(nèi)流作用下碳納米管的動(dòng)力學(xué)行為以及振動(dòng)穩(wěn)定性方面的研究報(bào)道就更少。隨著納米科技的發(fā)展，輸流納米結(jié)構(gòu)在工業(yè)工程、生物、醫(yī)療等領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛，而其力學(xué)問題也應(yīng)該得到廣泛關(guān)注。這也是本文研究的意義所在。

對(duì)于輸流碳納米管的力學(xué)特性研究，目前主要采用三種方法：分子動(dòng)力學(xué)法[8]、實(shí)驗(yàn)法[9]和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法[10]。由于分子動(dòng)力學(xué)模擬計(jì)算量非常大，對(duì)計(jì)算機(jī)處理能力的要求很高，而納米尺度的實(shí)驗(yàn)常受到取材、實(shí)驗(yàn)設(shè)備和觀測(cè)手段等條件的限制，所以，盡管連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法對(duì)于研究分子范疇的物理現(xiàn)象有一定的局限，但仍然成為研究輸流碳納米管力學(xué)行為的有效且不可或缺的方法，這也必將是今后一段時(shí)期對(duì)于輸流碳納米管動(dòng)力學(xué)特性研究的主流方法。自從碳納米管被發(fā)現(xiàn)以來，已經(jīng)有很多學(xué)者利用局部和非局部彈性理論，以連續(xù)彈性Euler梁、Timoshenko梁及殼為模型對(duì)單壁和多壁輸流碳納米管(包括直管和曲管)的力學(xué)特性進(jìn)行了研究，但目前，利用這些方法對(duì)其非線性振動(dòng)及脈動(dòng)流作用下的穩(wěn)定性問題的研究還不多見。因此，很有必要對(duì)這方面問題開展深入研究。本文應(yīng)用非局部粘彈性夾層梁模型研究粘彈性介質(zhì)[11](模擬周圍生物組織液、化學(xué)溶劑等環(huán)境介質(zhì))中輸送脈動(dòng)流碳納米管的振動(dòng)穩(wěn)定性問題，重點(diǎn)分析納米管的壁厚、粘彈性特性、表面效應(yīng)及兩個(gè)介質(zhì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。所得結(jié)論可為工程納米流體機(jī)械的設(shè)計(jì)分析提供一定的理論基礎(chǔ)。

1運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1(a)所示為粘彈性介質(zhì)中兩端固定輸流碳納米管的力學(xué)模型。假定管道只發(fā)生橫向面內(nèi)振動(dòng)y(x, t)，x軸為管道軸線，t為時(shí)間變量，U為管內(nèi)流速。K和C分別為粘彈性介質(zhì)的線性模量和阻尼因子，可通過線粘彈性材料的實(shí)驗(yàn)測(cè)得?？紤]文獻(xiàn)[12]中的控制方程及本文中的粘彈性介質(zhì)，可以得到無表面效應(yīng)時(shí)輸流碳納米管系統(tǒng)的橫向振動(dòng)微分方程為：

(1)

式中：ν、EI、L、m分別為管道的KelvinVoigt型粘彈性系數(shù)、彎曲剛度、長(zhǎng)度、單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，e0a為表征納米尺度效應(yīng)的非局部參數(shù)；M為管內(nèi)流體單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。圖1(b)和(c)分別顯示了出現(xiàn)內(nèi)、外表面層時(shí)管道的縱向和橫向剖面圖。通常，納米材料的表面層會(huì)引起兩種附加效應(yīng)[13-15]：一種是表面彈性效應(yīng)，其通常表現(xiàn)為彎曲剛度的增加。假定內(nèi)、外表面層的楊氏模量和厚度均為Es和t0，則增加的彎曲剛度[13,15]可表示為：

(2)

式中，d和D為納米管的內(nèi)、外徑，如圖1(c)所示。

圖1　系統(tǒng)的力學(xué)模型 Fig.1 Mechanical model of the system considered

另一種是表面殘余應(yīng)力，通常表現(xiàn)為橫向分布載荷q(x)的增加[13-14]：

q(x)=Γ(?2y/?x2)

(3)

式中常數(shù)Γ=2τ0(d+D)，τ0為表面殘余應(yīng)力，可通過廣義Young-Laplace方程來計(jì)算[15-16]?？紤]表面層引起的這兩種附加效應(yīng)，方程(1)可改寫為

(4)

引入無量綱變量和參數(shù)：

(5)

則式(4)可轉(zhuǎn)化為如下無量綱形式：

(6)

式中( )′和(·)分別表示?( )/?ξ和?( )/?τ。輸流碳納米管內(nèi)微流體的驅(qū)動(dòng)方式種類很多，如壓力驅(qū)動(dòng)、電滲驅(qū)動(dòng)、電水力驅(qū)動(dòng)和熱驅(qū)動(dòng)等等。本文考慮的輸流碳納米管，其內(nèi)流可通過電滲驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)脈動(dòng)，此時(shí)方程(6)中的流速可表示為：

u=u0[1+μcos(ωτ)]

(7)

式中u0為平均流速，ω和μ分別為無量綱脈動(dòng)頻率和幅值(μ?1)。由于脈動(dòng)幅值μ很小，因此介質(zhì)的線性模量K和阻尼因子C沿管道長(zhǎng)度方向可看成是均勻分布的。將式(7)代入方程(6)后用兩振型Galerkin展開式：

(8)

進(jìn)行離散化處理，式中qi(τ)為廣義坐標(biāo)，ψi(ξ)為兩端固定梁的振型函數(shù)。則由振型的正交性并經(jīng)適當(dāng)變換后可得一階微分方程組：

μB2qcos(ωτ)-αB3q

(9)

2平均化系統(tǒng)

(10)

z2i-1=aicosβi,z2i=aisinβi,i=1,2

(11)

當(dāng)n1=1/2時(shí)，系統(tǒng)平均化方程為：

(12)

(13)

若系統(tǒng)不滿足上式條件，則將發(fā)生第一階主參數(shù)共振。

3穩(wěn)定性分析

本節(jié)中將通過數(shù)值算例來分析碳納米管在脈動(dòng)內(nèi)流作用時(shí)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。為便于計(jì)算，算例中采用[111]晶體方向的碳納米管，因此其幾何和物理參數(shù)取為：ρt=2700kg/m3(納米管密度)，d=20nm，t=3nm(壁厚, t=(D-d)/2)，L/D=20 (長(zhǎng)徑比)，E=70GPa，Est0=5.1882N/m，τ0=0.9108 N/m[15]，ρw=1000kg/m3(內(nèi)流密度)。其他系統(tǒng)參數(shù)值選為：v=5E-11s，e0a=50nm，U=500m/s，K=0.6MPa，C=1.2E-04Pas增大間距(下面各圖中未具體給定的參數(shù)值均取該組數(shù)值)。

圖2給出了不同壁厚t和表面參數(shù)下由式(13)確定的ω μ平面上第一階主參數(shù)共振邊界曲線。其中曲線內(nèi)部為發(fā)生參數(shù)共振區(qū)域，外部為穩(wěn)定區(qū)域。由圖2可見(左側(cè)3條曲線)，隨著壁厚的增大，共振區(qū)域逐漸從低頻向高頻方向移動(dòng)，說明系統(tǒng)共振頻率升高，共振從而更難發(fā)生，也即提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而且，共振區(qū)域越來越小，這說明對(duì)一個(gè)給定的μ值，引起參數(shù)共振的ω范圍變小，即系統(tǒng)更加穩(wěn)定。所以，適當(dāng)增加納米管壁厚會(huì)提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。這是因?yàn)樵黾颖诤駮?huì)增大管道剛度，從而系統(tǒng)固有頻率和穩(wěn)定性都將隨之提高。

此外，圖2中同時(shí)分析了表面效應(yīng)對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域的影響(右側(cè)3條曲線)。可以看出，當(dāng)出現(xiàn)表面層以后，不僅共振區(qū)域向高頻方向移動(dòng)，而且共振區(qū)域也變小，即系統(tǒng)穩(wěn)定性得到了提高。這種作用尤其在壁厚較小時(shí)更為明顯。但是，表面層的出現(xiàn)也降低了壁厚變化對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域的影響，說明表面效應(yīng)會(huì)削弱壁厚對(duì)穩(wěn)定性的作用。表面效應(yīng)對(duì)納米管系統(tǒng)的復(fù)雜影響還可從圖3中得到體現(xiàn)，該圖取管材粘彈性系數(shù)v作為分析參數(shù)。從圖中可以看出，盡管增大v值不會(huì)改變系統(tǒng)共振頻率，但隨著v值增大，共振區(qū)域逐漸變小，說明增大管材粘彈性會(huì)提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。而在出現(xiàn)表面層以后，共振區(qū)域會(huì)整體大幅向高頻移動(dòng)，而且共振區(qū)域會(huì)顯著縮小，說明系統(tǒng)穩(wěn)定性再次得到提高。這種作用尤其在高v值時(shí)更為明顯。此外，v值變化對(duì)共振區(qū)域的影響也會(huì)因表面層的出現(xiàn)而增大，說明表面效應(yīng)能夠增強(qiáng)管材粘彈性對(duì)穩(wěn)定性的作用。以上這些都表明了表面效應(yīng)對(duì)納米管系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要作用，在設(shè)計(jì)分析納米流體機(jī)械時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮。

圖2 不同壁厚t和表面參數(shù)下管道的穩(wěn)定性區(qū)域Fig.2StabilityregionsoftheCNTfordifferenttubethicknesstandsurfaceparameters圖3 不同粘彈性系數(shù)v和表面參數(shù)下管道的穩(wěn)定性區(qū)域Fig.3StabilityregionsoftheCNTfordifferentviscoelasticcoefficientvandsurfaceparameters圖4 不同線性模量K和阻尼因子C時(shí)管道的穩(wěn)定性區(qū)域Fig.4StabilityregionsoftheCNTfordifferentlinearmodulusKanddampingfactorCofthelinearviscoelasticmediums

圖4分析了納米管外部粘彈性介質(zhì)的線性模量K和阻尼因子C對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域的影響。由圖可以看出，增大K值可以使共振區(qū)域向高頻移動(dòng)，且共振區(qū)域變小，說明系統(tǒng)穩(wěn)定性提高。這是因?yàn)榻橘|(zhì)模型中的線性彈簧對(duì)管道提供了分散支承，提高K值即提高了支撐力，相當(dāng)于增大了管道自身的剛度，從而使共振頻率增大，共振失穩(wěn)也更難發(fā)生。而增大C值雖然不會(huì)改變共振頻率，但卻會(huì)使共振區(qū)域大幅縮小，穩(wěn)定性將會(huì)大幅增強(qiáng)。這是因?yàn)樵龃驝值會(huì)使介質(zhì)阻尼增大，從而使更多的振動(dòng)能量被周圍介質(zhì)吸收，系統(tǒng)將更加穩(wěn)定。粘彈性介質(zhì)的這個(gè)阻尼效應(yīng)與管材本身的粘彈性特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響是相似的?？傊龃笳硰椥越橘|(zhì)的兩個(gè)參數(shù)均可以提高輸流碳納米管系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。

4結(jié)論

本文應(yīng)用非局部粘彈性夾層梁模型研究了處于粘彈性介質(zhì)中的輸流碳納米管的參數(shù)共振穩(wěn)定性問題。通過文中分析，可得到以下結(jié)論：

(1) 適當(dāng)增加納米管壁厚和提高管材粘彈性特性可以增強(qiáng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。

(2) 表面效應(yīng)本身可以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，而且還會(huì)增強(qiáng)管材粘彈性對(duì)穩(wěn)定性的作用，但卻會(huì)降低納米管壁厚對(duì)穩(wěn)定性的影響。

(3) 增大納米管外部粘彈性介質(zhì)的兩個(gè)參數(shù)值均可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

綜上所述，輸流碳納米管系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性會(huì)受到包括材料、流體及環(huán)境等在內(nèi)的多個(gè)因素的影響，而這些條件之間的相互影響又是相當(dāng)復(fù)雜的。因此，在設(shè)計(jì)和分析納米流體機(jī)械時(shí)，應(yīng)綜合考慮各個(gè)影響因素，以保證其安全、穩(wěn)定的工作。

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