Riemann Zeta函數ζ(s)的一種推導方法和證明

黑寶驪，陳艷麗,及萬會

(銀川能源學院基礎部,寧夏 銀川 750105)

摘要：首先應用三角函數、雙曲函數以及二者乘積的級數展開式，證明Riemann Zeta函數ζ(s)(s為偶數)時的一系列表達式，并得到一個表達形式較為簡單的遞推公式；同時應用此方法得到(p為正整數)時的一個遞推公式，并應用留數基本定理逐一證明。

關鍵詞：Riemann Zeta函數；雙曲函數的級數；留數定理

中圖分類號：O 156.1

作者簡介：黑寶驪(1980-)，男，寧夏銀川人，能源學院基礎部教師。

DOI：10.3969/j.issn.1673-1492.2015.03.001

作者簡介：王康佳(1986-)，男，河南焦作人，碩士研究生，主要研究方向為微波器件與電路。

A Derivation Method and Proof of Riemann Zeta Function

HEI Bao-li,CHEN Yan-li,JI Wan-hui

(Department of Basic Courses,Yinchuan Energy Institute,Yinchuan,Ningxia 750105,China)

Abstract:First,by using trigonometric function,hyperbolic function,and the two product series expansions, a series of expressions of the Riemann Zeta function ζ(s)(s is even)are proved.And a recursive formula with a relatively simpleexpression is obtained.(p is a positive integer)is obtained,and residue theorem is used to prove them one by one.

Key words:Riemann Zeta function；the series of hyperbolic function；residue theorem

在研究數論的一些問題時通常需要用到Riemann Zeta函數ζ(s)[1]，它的表達式為

引理1[4]三角函數展開成級數如下(用數學軟件Maple13展開求得)引理2[5](留數基本定理)如果函數f(z)在擴充復平面內只有有限個奇點，那么f(z)在所有各奇點(包括∞點)的留數總和必等于零。

(1)

(2)

(3)

圖1　函數f(z)在復平面內向四周擴充情況

由引理1的級數(1)式，令x=πz，那么級數

由引理1的級數(1)式，令x=πz，那么級數

在z=n,n=±1,±2,…是單極點。由引理1的級數(1)式，令x=πz，那么級數

同法利用引理1的級數(1)式可得到

在單極點z=n,n=±1,±2,…

在單極點z=ni，n=±1,±2,…

在單極點z=n,n=±1,±2,…

在單極點z=ni，n=±1,±2,…

同法利用引理1的級數(3)式可得如下

參考文獻：

[1]Apostoil T M.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York Inc:Spring-Verluy,1976:55.

[2]繆雪峰.Riemann Zeta函數ζ(2t)(t為正整數)的一個遞推公式[J].福建教育學院學報，2005,5(07):122-123.

[3]及萬會,吳永.雙曲函數方冪和[J].紡織高?；A科學學報，2011，24(02)：246-249.

[4]Gradshteyn I S,Zyzhik I M.Table of Integral,Series and Products[M].Tenth ed.Academic Press,2007:42-48.

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