廣義拓撲的比較

宋穎瀟， 丁猛， 朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 成都611731)

摘要：類比拓撲的比較引入廣義拓撲的粗細概念。通過廣義拓撲粗細比較，分別獲得了廣義拓撲粗細與廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包的包含關(guān)系之間的一系列結(jié)果。使得一般拓撲中拓撲比較的相關(guān)理論得到推廣與擴充。

關(guān)鍵詞：廣義拓撲；拓撲的比較；廣義鄰域系；廣義閉包

文章編號：1673-1549(2015)04-0086-03

DOI:10.11863/j.suse.2015.04.18

收稿日期:2015-06-20

作者簡介:宋穎瀟(1994-)，女，陜西渭南人，碩士生，主要從事拓撲方面的研究，(E-mail)SYX_0623@163．com;朱培勇(1956-)，男，四川自貢人，教授，博士，主要從事拓撲學(xué)及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)Zpy6940@ sina．com．cn

中圖分類號：O189.11

文獻標(biāo)志碼：A

引言

匈牙利數(shù)學(xué)家Csaszar A于2002年在文獻[1]中提出了廣義拓撲空間的概念，并對廣義拓撲空間進行了深入的研究，為廣義拓撲的研究奠定了初步的基礎(chǔ)。由此，產(chǎn)生一個問題：一般拓撲空間中的拓撲比較能否推廣到廣義拓撲空間？其判定條件是否可以推廣到廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包？ 本文通過類比的方法，對這些問題進行研究。

1預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)X是任一非空集合，G是X的一些子集構(gòu)成的集族，如果下列兩個條件被滿足：

(O1)φ∈G;

(O2)若Gλ∈G(λ∈Λ)，其中Λ為任意指標(biāo)集，則∪λ∈ΛGλ∈G。

則稱G為集合上的一個廣義拓撲，并且稱有序偶(X，G)為一個廣義拓撲空間，集族G中的每一個集合都稱為廣義拓撲空間(X，G)的開集。

定義2[1]設(shè)(X，G)為廣義拓撲空間，x∈X，如果?V∈G使得x∈V，則稱V為點x的一個廣義鄰域。x點的廣義鄰域的全體稱為點x的廣義鄰域系，記作UG(x)。

定義3[2]設(shè)(X，G)為廣義拓撲空間，F(xiàn)?X。 若Fc=X-F∈G，則稱F是X的廣義閉集。

類比一般拓撲學(xué)中相應(yīng)概念引入廣義拓撲中聚點概念與廣義拓撲的粗細概念。

定義7設(shè)G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，如果G1?G2，則稱G1是比G2更粗的廣義拓撲，或稱G2是比G1更細的廣義拓撲。

此外，本文中涉及到的其它概念、術(shù)語和記號，如果沒有特別申明，都來自于文獻[3]。

2廣義拓撲的比較及其相關(guān)結(jié)果

定理1設(shè)G1，G2是X上的兩個廣義拓撲， 則以下三個命題等價：

(1)G1是比G2更粗的廣義拓撲。

(2)?x∈X，?U∈UG1(x)，?V∈UG2(x)使得V?U。

(3)?x∈X，有UG1(x)?UG2(x)。

證明(1)?(2) 事實上，對于?x∈X，?U∈UG1(x),?V=U∈G1使得x∈V=U。 因為G1?G2，則V∈G2。 所以V∈UG2(x)，即?V∈UG2(x)使得V?U。

(2)?(3) 對于?x∈X，?U∈UG1(x)，因為?V∈UG2(x)使得V?U，由廣義鄰域系定義，?V∈G2使x∈V，則x∈V?U。 因此U∈UG2(x)。故UG1(x)?UG2(x)。

(3)?(1) ?U∈G1, 若U=φ，由定義1,顯然U∈G2；若U≠φ，則對于?x∈U，有U∈UG1(x)。 因為UG1(x)?UG2(x)，則U∈UG2(x)。 由廣義鄰域系的定義得：U∈G2。故G1?G2。

用完全相同的方法可得：

推論1設(shè)G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，則以下三個命題等價：

(1)G1是比G2更細的廣義拓撲。

(2)?x∈X，?U∈UG2(x)，?V∈UG1(x),使得V?U。

(3)UG2(x)?UG1(x)。

定理2設(shè)G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，F(xiàn)G1與FG2分別為關(guān)于G1與G2的全體廣義閉集構(gòu)成的集族。則G1是比G2更粗的廣義拓撲當(dāng)且僅當(dāng)FG1?FG2。

證明必要性 ?F∈FG1,有X-F∈G1，因為G1?G2，所以X-F∈G2，故X-(X-F)=F∈FG2，從而FG1?FG2。

充分性 ?G∈G1,有X-G∈FG1，因為FG1?FG2, 則X-G∈FG2。 故X-(X-G)=G∈G2從而,G1?G2。

推論2設(shè)G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，F(xiàn)G1與FG2分別為關(guān)于G1與G2的全體廣義閉集構(gòu)成的集族,則G1是比G2更細的廣義拓撲當(dāng)且僅當(dāng)FG2?FG1。

討論廣義拓撲粗細與導(dǎo)集以及閉包之間的關(guān)系。

引理2設(shè)(X，G)為廣義拓撲空間，A?X，則以下兩個條件等價：

3結(jié)束語

本文以拓撲學(xué)知識為基礎(chǔ)，借鑒近年來研究拓撲空間性質(zhì)的思想與方法[5-7]，比一般拓撲粗細的概念，引入了廣義拓撲粗細的概念，對于廣義拓撲粗細比較的判定條件，探究是否可以通過廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包的比較得到。經(jīng)過本文的討論和證明可以得出，通過對比廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包，均可得到廣義拓撲粗細比較的結(jié)論，但是廣義鄰域系、廣義閉集族和廣義內(nèi)部的比較是廣義拓撲粗細比較的充分必要條件，而廣義導(dǎo)集和廣義閉包的比較只是廣義拓撲粗細比較的必要條件。

參 考 文 獻：

[1]Csaszar A.Generalized topology,generalized continuity.Acta.Math.Hungar,2002,96(4):351-357.

[2]LI J.Generalized topologies generated by subbases.Acta.Math.Hungar,2007,114(1-2):1-12.

[3]朱培勇,雷銀彬.拓撲學(xué)導(dǎo)論.北京:科學(xué)出版社,2009.

[4]Ryszard E.General Warszawa Topology.Warszawa:Polish Scientific Pulisher,1977.

[5]盧天秀,朱培勇,辛邦穎.拓撲空間中函數(shù)上(下)極限的一些性質(zhì).四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,25(3):264-266.

[6]盧天秀,朱培勇.拓撲空間上半連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008(6):1133-1137.

[7]王鑫,朱培勇.關(guān)于廣義拓撲空間的分離性質(zhì)的一些探究.西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,40(5):750-755.

Generalized Topological Comparison

SONGYingxiao,DINGMeng,ZHUPeiyong

(School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

Abstract:In this paper, the concept of the comparison of generalized topologies is introduced by the comparision of topologies. A series of results is obtained between the thickness of generalized topologies and generalized neighbourhood system, the collection of generalized closed sets, generalized interior, generalized derived sets, generali-zed closure. And then the comparative theory of general topology is generalized and extended.

Key words: topological comparison; generalized topology; generalized neighbourhood system; generalized closure