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        廣義拓?fù)涞谋容^

        2016-01-07 03:46:28宋穎瀟,丁猛,朱培勇

        廣義拓?fù)涞谋容^

        宋穎瀟, 丁猛, 朱培勇

        (電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 成都611731)

        摘要:類(lèi)比拓?fù)涞谋容^引入廣義拓?fù)涞拇旨?xì)概念。通過(guò)廣義拓?fù)浯旨?xì)比較,分別獲得了廣義拓?fù)浯旨?xì)與廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包的包含關(guān)系之間的一系列結(jié)果。使得一般拓?fù)渲型負(fù)浔容^的相關(guān)理論得到推廣與擴(kuò)充。

        關(guān)鍵詞:廣義拓?fù)?;拓?fù)涞谋容^;廣義鄰域系;廣義閉包

        文章編號(hào):1673-1549(2015)04-0086-03

        DOI:10.11863/j.suse.2015.04.18

        收稿日期:2015-06-20

        作者簡(jiǎn)介:宋穎瀟(1994-),女,陜西渭南人,碩士生,主要從事拓?fù)浞矫娴难芯浚?E-mail)SYX_0623@163.com;朱培勇(1956-),男,四川自貢人,教授,博士,主要從事拓?fù)鋵W(xué)及其應(yīng)用方面的研究,(E-mail)Zpy6940@ sina.com.cn

        中圖分類(lèi)號(hào):O189.11

        文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

        引言

        匈牙利數(shù)學(xué)家Csaszar A于2002年在文獻(xiàn)[1]中提出了廣義拓?fù)淇臻g的概念,并對(duì)廣義拓?fù)淇臻g進(jìn)行了深入的研究,為廣義拓?fù)涞难芯康於顺醪降幕A(chǔ)。由此,產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題:一般拓?fù)淇臻g中的拓?fù)浔容^能否推廣到廣義拓?fù)淇臻g?其判定條件是否可以推廣到廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包? 本文通過(guò)類(lèi)比的方法,對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行研究。

        1預(yù)備知識(shí)

        定義1[1]設(shè)X是任一非空集合,G是X的一些子集構(gòu)成的集族,如果下列兩個(gè)條件被滿(mǎn)足:

        (O1)φ∈G;

        (O2)若Gλ∈G(λ∈Λ),其中Λ為任意指標(biāo)集,則∪λ∈ΛGλ∈G。

        則稱(chēng)G為集合上的一個(gè)廣義拓?fù)?,并且稱(chēng)有序偶(X,G)為一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g,集族G中的每一個(gè)集合都稱(chēng)為廣義拓?fù)淇臻g(X,G)的開(kāi)集。

        定義2[1]設(shè)(X,G)為廣義拓?fù)淇臻g,x∈X,如果?V∈G使得x∈V,則稱(chēng)V為點(diǎn)x的一個(gè)廣義鄰域。x點(diǎn)的廣義鄰域的全體稱(chēng)為點(diǎn)x的廣義鄰域系,記作UG(x)。

        定義3[2]設(shè)(X,G)為廣義拓?fù)淇臻g,F(xiàn)?X。 若Fc=X-F∈G,則稱(chēng)F是X的廣義閉集。

        類(lèi)比一般拓?fù)鋵W(xué)中相應(yīng)概念引入廣義拓?fù)渲芯埸c(diǎn)概念與廣義拓?fù)涞拇旨?xì)概念。

        定義7設(shè)G1,G2是X上的兩個(gè)廣義拓?fù)?,如果G1?G2,則稱(chēng)G1是比G2更粗的廣義拓?fù)?,或稱(chēng)G2是比G1更細(xì)的廣義拓?fù)洹?/p>

        此外,本文中涉及到的其它概念、術(shù)語(yǔ)和記號(hào),如果沒(méi)有特別申明,都來(lái)自于文獻(xiàn)[3]。

        2廣義拓?fù)涞谋容^及其相關(guān)結(jié)果

        定理1設(shè)G1,G2是X上的兩個(gè)廣義拓?fù)洌?則以下三個(gè)命題等價(jià):

        (1)G1是比G2更粗的廣義拓?fù)洹?/p>

        (2)?x∈X,?U∈UG1(x),?V∈UG2(x)使得V?U。

        (3)?x∈X,有UG1(x)?UG2(x)。

        證明(1)?(2) 事實(shí)上,對(duì)于?x∈X,?U∈UG1(x),?V=U∈G1使得x∈V=U。 因?yàn)镚1?G2,則V∈G2。 所以V∈UG2(x),即?V∈UG2(x)使得V?U。

        (2)?(3) 對(duì)于?x∈X,?U∈UG1(x),因?yàn)?V∈UG2(x)使得V?U,由廣義鄰域系定義,?V∈G2使x∈V,則x∈V?U。 因此U∈UG2(x)。故UG1(x)?UG2(x)。

        (3)?(1) ?U∈G1, 若U=φ,由定義1,顯然U∈G2;若U≠φ,則對(duì)于?x∈U,有U∈UG1(x)。 因?yàn)閁G1(x)?UG2(x),則U∈UG2(x)。 由廣義鄰域系的定義得:U∈G2。故G1?G2。

        用完全相同的方法可得:

        推論1設(shè)G1,G2是X上的兩個(gè)廣義拓?fù)洌瑒t以下三個(gè)命題等價(jià):

        (1)G1是比G2更細(xì)的廣義拓?fù)洹?/p>

        (2)?x∈X,?U∈UG2(x),?V∈UG1(x),使得V?U。

        (3)UG2(x)?UG1(x)。

        定理2設(shè)G1,G2是X上的兩個(gè)廣義拓?fù)?,F(xiàn)G1與FG2分別為關(guān)于G1與G2的全體廣義閉集構(gòu)成的集族。則G1是比G2更粗的廣義拓?fù)洚?dāng)且僅當(dāng)FG1?FG2。

        證明必要性 ?F∈FG1,有X-F∈G1,因?yàn)镚1?G2,所以X-F∈G2,故X-(X-F)=F∈FG2,從而FG1?FG2。

        充分性 ?G∈G1,有X-G∈FG1,因?yàn)镕G1?FG2, 則X-G∈FG2。 故X-(X-G)=G∈G2從而,G1?G2。

        推論2設(shè)G1,G2是X上的兩個(gè)廣義拓?fù)?,F(xiàn)G1與FG2分別為關(guān)于G1與G2的全體廣義閉集構(gòu)成的集族,則G1是比G2更細(xì)的廣義拓?fù)洚?dāng)且僅當(dāng)FG2?FG1。

        討論廣義拓?fù)浯旨?xì)與導(dǎo)集以及閉包之間的關(guān)系。

        引理2設(shè)(X,G)為廣義拓?fù)淇臻g,A?X,則以下兩個(gè)條件等價(jià):

        3結(jié)束語(yǔ)

        本文以拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)為基礎(chǔ),借鑒近年來(lái)研究拓?fù)淇臻g性質(zhì)的思想與方法[5-7],比一般拓?fù)浯旨?xì)的概念,引入了廣義拓?fù)浯旨?xì)的概念,對(duì)于廣義拓?fù)浯旨?xì)比較的判定條件,探究是否可以通過(guò)廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包的比較得到。經(jīng)過(guò)本文的討論和證明可以得出,通過(guò)對(duì)比廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內(nèi)部、廣義導(dǎo)集和廣義閉包,均可得到廣義拓?fù)浯旨?xì)比較的結(jié)論,但是廣義鄰域系、廣義閉集族和廣義內(nèi)部的比較是廣義拓?fù)浯旨?xì)比較的充分必要條件,而廣義導(dǎo)集和廣義閉包的比較只是廣義拓?fù)浯旨?xì)比較的必要條件。

        參 考 文 獻(xiàn):

        [1]Csaszar A.Generalized topology,generalized continuity.Acta.Math.Hungar,2002,96(4):351-357.

        [2]LI J.Generalized topologies generated by subbases.Acta.Math.Hungar,2007,114(1-2):1-12.

        [3]朱培勇,雷銀彬.拓?fù)鋵W(xué)導(dǎo)論.北京:科學(xué)出版社,2009.

        [4]Ryszard E.General Warszawa Topology.Warszawa:Polish Scientific Pulisher,1977.

        [5]盧天秀,朱培勇,辛邦穎.拓?fù)淇臻g中函數(shù)上(下)極限的一些性質(zhì).四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,25(3):264-266.

        [6]盧天秀,朱培勇.拓?fù)淇臻g上半連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008(6):1133-1137.

        [7]王鑫,朱培勇.關(guān)于廣義拓?fù)淇臻g的分離性質(zhì)的一些探究.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,40(5):750-755.

        Generalized Topological Comparison

        SONGYingxiao,DINGMeng,ZHUPeiyong

        (School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

        Abstract:In this paper, the concept of the comparison of generalized topologies is introduced by the comparision of topologies. A series of results is obtained between the thickness of generalized topologies and generalized neighbourhood system, the collection of generalized closed sets, generalized interior, generalized derived sets, generali-zed closure. And then the comparative theory of general topology is generalized and extended.

        Key words: topological comparison; generalized topology; generalized neighbourhood system; generalized closure

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