曲面正交網(wǎng)下測地曲率計算公式的推導(dǎo)方法

邢家省1,2， 白璐1,2， 高建全3

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191；3.平頂山教育學(xué)院， 河南平頂山467000)

摘要：考慮曲面上曲線測地曲率計算公式的推導(dǎo)方法問題，在曲面正交坐標(biāo)網(wǎng)下，給出曲面上曲線測地曲率計算公式的參數(shù)方程形式，并由此得出測地曲率計算Liouville公式的一種推導(dǎo)方法。充分利用坐標(biāo)曲線網(wǎng)的正交性條件，介紹了一種推導(dǎo)Liouville公式的直接方法，由此發(fā)現(xiàn)兩種推導(dǎo)過程的內(nèi)在聯(lián)系。在曲面上一般參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)下，直接給出了測地線的參數(shù)方程所滿足的微分方程組的形式，由此導(dǎo)出在曲面正交坐標(biāo)網(wǎng)下測地線的微分方程組。

關(guān)鍵詞：測地曲率；正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)；Liouville公式；測地線方程

文章編號：1673-1549(2015)04-0075-05

DOI:10.11863/j.suse.2015.04.16

收稿日期:

基金項目:國家自然科學(xué)

作者簡介:邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail):xjsh@buaa．edu．cn

中圖分類號：O186.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

曲面上曲線的測地曲率的概念及其計算公式[1-9]，是微分幾何學(xué)科中的重要發(fā)現(xiàn)[1-5]。關(guān)于測地曲率的計算公式的推導(dǎo)方法，引起了眾多學(xué)者的興趣，運用多種方法給予推導(dǎo)簡化。文獻(xiàn)[1]利用曲面論基本方程給出推導(dǎo)過程，文獻(xiàn)[6]給出了直接的推導(dǎo)方法，計算量大，過程復(fù)雜。文獻(xiàn)[3-5]在曲面正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，給出測地曲率計算Liouville公式[1-6]的簡化證明。文獻(xiàn)[2]在曲面正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，給出測地曲率計算公式的直接推導(dǎo)過程，給出了求解曲面上測地線方程的方法例題。文獻(xiàn)[10]介紹了測地曲率和測地線在物理上的應(yīng)用。文獻(xiàn)[7，11]介紹了測地線的性質(zhì)。本文將現(xiàn)有文獻(xiàn)中的推導(dǎo)方法給予系統(tǒng)整理，在正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，給出了測地曲率計算公式的推導(dǎo)過程，并指出Liouville公式來源的簡化過程，利用直接方法給出了測地線方程的最終形式。

1曲面上曲線的測地曲率的定義

顯然有

顯然

2曲面正交網(wǎng)下測地曲率計算公式的直接推導(dǎo)過程

(1)

(2)

(3)

注意到

(4)

將(3)式、(4)式代入測地曲率的計算公式，得到

(5)

其中用到第一類基本量的關(guān)系

(6)

(7)

容易看出(5)式正是(1)式的結(jié)果[2]。

文獻(xiàn)[1]利用曲面基本方程給出了曲線的測地曲率的計算公式，由此在曲面正交網(wǎng)下給出了(1)式，由于計算過程要倒回去，計算量將很繁瑣。文獻(xiàn)[2]為推導(dǎo)出(1)式，充分利用正交性的幾何條件，給出了直接的推導(dǎo)方法。

3正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下測地曲率的Liouville公式

又

比較兩式，得

(8)

所以有

(9)

(10)

將(8)式～(10)式代入(5)式，整理后，得

(11)

(12)

公式(11)式、(12)式稱為Liouville公式[1-5]，可用于計算測地曲率和求解曲面上的測地線方程[1-9]，推導(dǎo)高斯-波涅公式[3-5]用(12)式，是高斯曲率簡化公式的來源。

定理2[1,9]如果在曲面上引進(jìn)半測地坐標(biāo)網(wǎng)：(ds)2=(du)2+G(u,v)(dv)2，則有

(13)

證明由條件知E=1,F=0,G=G(u; v)，代入(12)式，得到

(14)

所以

即

文獻(xiàn)[1]給出的高斯-波涅公式[3-5]證明過程中，先是引用(13)式，然后又轉(zhuǎn)回利用(14)式，非常的繁瑣，實際上直接利用(14)式就可以給出高斯-波涅公式的證明過程[3-5]。文獻(xiàn)[10]給出了(14)式的直接使用過程。

4 正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下測地曲率的Liouville公式的直接推導(dǎo)過程

(15)

(16)

(17)

其中E,F,G是曲面Σ上的第一類基本量。

(18)

(19)

于是比較(18)式和(19)式，得

(20)

(21)

對(18)式兩邊求導(dǎo)，得

(22)

利用(21)式和(22)式，得

(23)

由于

因此

(24)

由于

所以

(25)

利用

可得

從而

(26)

將(26)式代入(24)式，得

(27)

將(20)式代入(27)式，得

(28)

(29)

(27)式、(28)式和(29)式是曲面正交網(wǎng)下曲面上曲線的測地曲率Liouville公式。

利用(20)式、(27)式，可求解曲面上的測地線方程[1,3,8-9]。

5測地線方程顯式形式的直接推導(dǎo)方法

(30)

于是有

(31)

(31)式的等價形式

(32)

(32)式就是一般參數(shù)曲面上的測地線的方程，這里給出了直接的推導(dǎo)過程。利用(32)式可證明曲面上測地線存在唯一性定理[1-5]，求解曲面上測地線方程及理論推導(dǎo)。

(33)

(33)式可用于求解曲面正交網(wǎng)下曲面上測地線方程[2]。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]梅向明,黃敬之.微分幾何.4版.北京:高等教育出版社出版,2008.

[2]Oprea J.Differential Geometry and Its Applications.北京:機械工業(yè)出版社,2005.

[3]陳維桓.微分幾何.北京:北京大學(xué)出版社,2006.

[4]蘇步青,胡和生,沈純理,等.微分幾何.北京:人民教育出版社,1980.

[5]王幼寧,劉繼志.微分幾何講義.北京:北京師范大學(xué)出版社,2003.

[6]邢家省,張光照.曲面上曲線的測地曲率向量的注記.吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,34(4):7-10.

[7]邢家省,高建全,羅秀華.曲面上測地線和短程線的性質(zhì).四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,28(1):63-66.

[8]陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編.北京:高等教育出版社出版,2010.

[9]梅向明,王匯淳.微分幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題選解.北京:高等教育出版社,2007.

[10]鄧崇林,蕭先雄.指南車在物理學(xué)中幾何相位的應(yīng)用.物理與工程,2014(2):1-8.

[11]張立新.測地線及其應(yīng)用.鞍山師范學(xué)院學(xué)報,2005,7(4):3-4.

Derivation of Calculation Formula of Geodesic Curvature Under the Coordinate Grid of

the Orthogonal Curve

XINGJiasheng1,2,BAILu1,2,GAOJianquan3

(1.School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing 100191, China; 2.LMIB of the Ministry of

Education, Beijing 100191, China; 3.Pingdingshan Institute of Education, Pingdingshan 467000, China)

Abstract:The derivation method of calculation formula of curve geodesic curvature on the curved surface was considered in the paper. Based on the coordinate grid of the orthogonal curve, the parametric equation form of the calculation formula of geodesic curvature on the surface was put forward, and thus a derivation method of Liouville formula to calculate the geodesic curvature was obtained. Taking good use of the orthogonal condition of curvilinear coordinate grid, a direct method for deriving the Liouville formula was introduced, which can figure out the internal links of these two derivation methods. Under the common parametric coordinate grid of curved surface, the form of differential equation set that parameter equation of geodesic curve meets was put forward directly, with which the geodesic curve differential equation set under coordinate grid of the orthogonal curve was derived.

Key words: geodesic curvature; coordinate grid of the orthogonal curve; Liouville formula; equation of geodesic curve