基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Duffing混沌系統(tǒng)控制

周群利

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院, 安徽蕪湖241006)

摘要：采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法對(duì)Duffing混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制，運(yùn)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)受控的Duffing系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中的非線性項(xiàng)進(jìn)行自適應(yīng)逼近，在保證受控系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的前提下，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制律及自適應(yīng)控制律，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量在很短時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定地收斂于目標(biāo)值，仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：混沌控制;Duffing系統(tǒng);RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);自適應(yīng);非線性

文章編號(hào)：1673-1549(2015)04-0041-04

DOI:10.11863/j.suse.2015.04.09

收稿日期:2015-05-18

作者簡(jiǎn)介:周群利(1978-)，女，陜西西安人，講師，碩士，主要從事非線性控制方向的研究，(E-mail)zhouqunli2011@163．com

中圖分類號(hào)：TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引言

Duffing方程是用來(lái)描述外力作用下非線性阻尼振蕩系統(tǒng)，其方程特點(diǎn)之一是在其右端加上了強(qiáng)迫項(xiàng)，系統(tǒng)的本征頻率與外加周期強(qiáng)迫項(xiàng)頻率的相互作用，使得在該方程中蘊(yùn)涵著極其豐富的內(nèi)容：倍周期分叉、奇怪吸引子、吸引子與復(fù)雜的流形結(jié)構(gòu)共存等[1]。這類系統(tǒng)引起了許多學(xué)者的研究興趣[2-3]。當(dāng)Duffing方程中的參數(shù)取一定值時(shí)，系統(tǒng)呈混沌狀態(tài)?；煦缡欠蔷€性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中一個(gè)非常有意義的現(xiàn)象，混沌現(xiàn)象表現(xiàn)出復(fù)雜性、類噪聲性、不可預(yù)測(cè)性等行為[4]。針對(duì)Duffing方程混沌系統(tǒng)，眾多學(xué)者已提出許多不同的控制方法[5-11]，其中，文獻(xiàn)[5]研究了基于Lyapunov方法的穩(wěn)定控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[6]研究了基于狀態(tài)觀測(cè)器的混沌控制方法；文獻(xiàn)[7-8]研究了外加激勵(lì)的混沌控制方法；文獻(xiàn)[9]研究了狀態(tài)反饋混沌控制方法；文獻(xiàn)[10-11]研究了自適應(yīng)混沌控制方法[12]。由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能逼近任意非線性函數(shù)，因而可大大加快學(xué)習(xí)速度并避免局部極小問(wèn)題，適合于實(shí)時(shí)控制的要求。本文采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法對(duì)Duffing混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制，使系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定地收斂于目標(biāo)值，被控系統(tǒng)的混沌軌道按照既定目標(biāo)軌道運(yùn)動(dòng)，從而將混沌系統(tǒng)無(wú)序的狀態(tài)變量穩(wěn)定控制在不穩(wěn)定的周期軌道上，因此混沌系統(tǒng)的同步控制與混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題是非常有意義的。

1Duffing系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程及狀態(tài)響應(yīng)

Duffing系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)p=0.2、 p1=1、p2=1、q=36、w=0.661時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。式(1)又可寫為：

(2)

取系統(tǒng)狀態(tài)初值為[0.5 0.5]T進(jìn)行仿真，可得到Duffing系統(tǒng)相軌跡圖(圖1)，可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)變量變化毫無(wú)規(guī)律，其相軌跡在混沌吸引子內(nèi)繞著子吸引子盤繞折疊，在當(dāng)前參數(shù)取值下，系統(tǒng)的狀態(tài)完全進(jìn)入混沌態(tài)。

圖1　Duffing系統(tǒng)相圖

2基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Duffing混沌系統(tǒng)控制方法

在式(2)中第二個(gè)方程的右端施加控制u,受控的Duffing系統(tǒng)即變?yōu)椋?/p>

(3)

(4)

式中，x為網(wǎng)絡(luò)的輸入；bj為一個(gè)正的標(biāo)量，表示高斯基函數(shù)的寬度；j為網(wǎng)絡(luò)隱含層的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

f(x)=WTh(x)+ε

(5)

式中，W為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值；h為高斯基函數(shù)的輸出，h=[hj]T；ε為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差。

基于文獻(xiàn)[13]中的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近原理，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近f(x)，網(wǎng)絡(luò)輸入取x=[x1x2]T，根據(jù)式(5)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出可表示為：

(6)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(7)

定義誤差函數(shù)為：

(8)

對(duì)式(7)求導(dǎo)可得：

(9)

由式(8)可推導(dǎo)出：

(10)

設(shè)計(jì)控制律為：

(11)

將式(11)代入式(10)得：

(12)

而

(13)

將式(13)代入式(12)得：

(14)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律為：

(15)

將式(15)代入式(14)可得：

(16)

3仿真結(jié)果及分析

圖2　x 1的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖3　x 2的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖4　x 1的逼近誤差曲線

圖5　x 2的逼近誤差曲線

圖2～圖5中，藍(lán)色粗實(shí)線為采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤控制方法得出的系統(tǒng)x1、x2的狀態(tài)響應(yīng)曲線及其跟蹤誤差曲線，粗虛線為采用文獻(xiàn)[9]的反饋線性化跟蹤控制方法得到的系統(tǒng)x1、x2的狀態(tài)響應(yīng)曲線及其跟蹤誤差曲線。從以上仿真圖形可以看出：采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤控制方法，Duffing系統(tǒng)的狀態(tài)變量大約在1 s內(nèi)可穩(wěn)定跟蹤狀態(tài)目標(biāo)值，受控的Duffing混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1即可達(dá)到穩(wěn)定，收斂于狀態(tài)目標(biāo)xd(t)=sin(t)，同時(shí)，狀態(tài)變量x2也達(dá)到穩(wěn)定，收斂于狀態(tài)目標(biāo)cos(t)；而采用反饋線性化的跟蹤控制方法，穩(wěn)定跟蹤狀態(tài)目標(biāo)值大約需要2 s。因此，相比較，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤控制方法比反饋線性化的跟蹤控制方法跟蹤效率更高、速度更快。

4結(jié)束語(yǔ)

采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法對(duì)Duffing系統(tǒng)的混沌行為進(jìn)行控制，使系統(tǒng)狀態(tài)在很短時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定地收斂于設(shè)定的狀態(tài)目標(biāo)值，消除了混沌，仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。此研究為其他非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制提供了一種行之有效的解決思路，可應(yīng)用于保密通訊、信號(hào)處理、激光物理、化學(xué)反應(yīng)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。

參 考 文 獻(xiàn)：

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Duffing Chaotic System Control Based on RBF Neural Network

ZHOUQunli

(School of Electrical Engineering, Wuhu Institute of Technology, Wuhu 241006, China)

Abstract:The control method based on RBF neural network is adopted to control Duffing chaotic system. The nonlinear terms of controlled Duffing system’s dynamic equation are adaptly approached by RBF neural network. In order to ensure the premise of the equilibrium at the origin of the controlled system is asymptotically stable, the corresponding control law and the adaptive control law are designed, for which the state variables of the system can stably converge to the target value in a short period of time.The simulations results show that the method is effective.

Key words: chaotic control; Duffing system; RBF neural network; adaptive; nonlinearity