一類積分邊值問(wèn)題解的存在性與唯一性

主要研究常微分方程理論與應(yīng)用。

趙坤

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)部，黑龍江 佳木斯 154007)

摘要：利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和上下解方法，研究了一般二階非線性常微分方程滿足一類積分邊值條件的解的存在性和唯一性。

關(guān)鍵詞：積分邊值問(wèn)題；Leray-Schauder度理論；上下解方法；Nagumo條件

0引言

邊值問(wèn)題是微分方程研究領(lǐng)域中的一類重要問(wèn)題，最初的研究可追溯到19世紀(jì)30年代Strum和Liouville對(duì)二階線性方程的邊值問(wèn)題的求解，20世紀(jì)Hilbert等眾多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家為邊值問(wèn)題奠定了理論基礎(chǔ)，研究的重點(diǎn)也轉(zhuǎn)向一般的非線性微分方程的各類邊值問(wèn)題。隨著非線性分析理論快速發(fā)展和許多具有實(shí)際應(yīng)用背景問(wèn)題的推動(dòng)，邊值問(wèn)題的理論和方法發(fā)展十分迅速，不僅在經(jīng)典的二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題方面，而且在多點(diǎn)邊值問(wèn)題[1-2]、積分邊值問(wèn)題[3-6]，乃至高階微分方程[7]和分?jǐn)?shù)階微分方程[8]的邊值問(wèn)題等方面，都涌現(xiàn)出許多重要的工作，并由此形成了許多新的研究方向。

本文利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和上下解方法[9-11]考慮如下積分邊值問(wèn)題：

y″=f(x，y，y′)，

(1)

(2)

解的存在性和唯一性。為方便敘述，首先簡(jiǎn)要介紹一些基本概念和結(jié)果，詳細(xì)論述可參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

其中

|F(x，y，z)|≤h(|z|)，

y″=F(x，y，y′)

|y′(x)|≤N，x∈[a，b]。

本文的主要結(jié)果如下：

定理1假設(shè)以下3個(gè)條件成立：

(A1)函數(shù)f：[a，b]×R×R→R連續(xù)；

定理2假設(shè)函數(shù)f(x，y，z)滿足：

1)fy(x，y，z)≥0；

2)|fz(x，y，z)|≤M，

那么邊值問(wèn)題(1)～(2)的解存在且唯一。

1主要結(jié)果的證明

不失一般性，我們假設(shè)(2)中的A=B=0。

考慮輔助方程

y″=F(x，y，y′)，

(3)

其中

F(x，y，z)=f(x，p(x，y)，q(z))+r(x，y)，

引理2邊值問(wèn)題(3)、(2)的任何解y(x)都滿足

(4)

證明：首先證明：對(duì)任意自然數(shù)n，有

(5)

因此

這與假設(shè)(A3)中的(c)矛盾。

若η∈(a，b)，則

與η=b情形一樣可導(dǎo)出矛盾。

綜上知(5)成立。在(5)中，令n→∞，即得(4)成立。引理證畢。

定理1的證明：顯然，函數(shù)F(x，y，y′)在[a，b]×R×R上有界，設(shè)M是它的一個(gè)上界。令

B0={y∈B：||y||≤Q，||y′||≤Q}，

利用Lagrange常數(shù)變易公式，方程y″=G(t)滿足邊值條件(2)的解為

顯然，算子T的不動(dòng)點(diǎn)就是邊值問(wèn)題(3)-(2)的解。

當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，有

因此T將B0映入B0。又

|[Ty]″(x)|≤|F(x，y(x)，y′(x))|≤M，

定理2的證明：令

(c)由定理的假設(shè)1)和2)，我們有

由定理1得邊值問(wèn)題(1)～(2)的解存在。

下面證明解的唯一性。假設(shè)y1(x)和y2(x)都是(1)～(2)的解，令u(x)=y1(x)-y2(x)，則u(x)是邊值問(wèn)題

(6)

的解，且

u(ξ)=0，u(x)≠0，x∈(a，ξ)。

由于對(duì)任何常數(shù)c，cu(x)也是(6)的解。因此存在c0≠0和η∈(a，ξ)，使得

于是有

綜上得，邊值問(wèn)題(1)～(2)的解存在且唯一。定理證畢。

參考文獻(xiàn)

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doi:10.3969/j.issn.1009-8984.2015.02.033

收稿日期：2015-04-03

基金項(xiàng)目：黑龍江省教育廳面上課題(12541829)

作者簡(jiǎn)介：趙坤(1978-)，女(漢)，黑龍江佳木斯，講師

中圖分類號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-8984(2015)02-0125-04

The existence and uniqueness of the solution to a class of integral boundary value problem

ZHAO Kun

(MathematicsDepartment，SchoolofSciences，JiamusiUniversity，JiamusiHeilongjiang154007，China)

Abstract：In this article，by using the fixed point theorem of Schauder and the upper and lower solution method，the existence an uniqueness of the solution met a class of integral boundary value conditions in general second-order nonlinear differential equations have been studies.

Key words：integral boundary value problem；the theory of Leray-Schauder degree；upper and lower solution method；Nagumo condition