楊　帆，周紅滿，謝佳君

(遼寧工程技術(shù)大學(xué),測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧阜新123000)

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邊坡非線性位移的Verhulst-ARMA組合預(yù)測模型研究

楊帆，周紅滿，謝佳君

(遼寧工程技術(shù)大學(xué),測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧阜新123000)

摘要：針對ARMA模型中時序變量自身變化的復(fù)雜性及其預(yù)測的不確定性，利用Verhulst提取非平穩(wěn)時間序列中的趨勢項(xiàng)，再對剩下部分采用平穩(wěn)時間序列建模，建立Verhulst-ARMA組合預(yù)測模型。運(yùn)用文中組合模型對三峽某邊坡滑移的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，驗(yàn)證Verhulst-ARMA組合模型在邊坡非線性位移預(yù)測中的可靠性和適用性。

關(guān)鍵詞：Verhulst模型；GM(1,1)模型；時間序列；組合模型；位移預(yù)測

邊坡位移作為邊坡內(nèi)部多因子相互作用的宏觀表現(xiàn)，具有很強(qiáng)的不確定性。邊坡變形預(yù)測一直是邊坡工程的重大難題；而時間序列預(yù)測模型是諸多預(yù)測模型的核心和基礎(chǔ)。近年來，國內(nèi)外不少知名學(xué)者提出了對ARMA模型的改進(jìn)與使用范圍的研究，并取得了許多成功的經(jīng)驗(yàn)[1-5]。同時，灰色理論等預(yù)測方法也得到了長足的發(fā)展。

然而，通過實(shí)踐分析可以發(fā)現(xiàn)，各種方法都有其優(yōu)缺點(diǎn)。例如：時間序列對于中長期預(yù)測有較好的擬合效果，但它要求數(shù)據(jù)平穩(wěn)、正態(tài)和零均值[6]，這在工程中很難滿足。因此，本文提出了Verhulst-ARMA組合模型的思路，綜合利用Verhulst和ARMA模型的優(yōu)勢，利用Verhulst模型提取趨勢項(xiàng)，進(jìn)而利用ARMA模型模擬平穩(wěn)隨機(jī)序列，充分利用數(shù)據(jù)，達(dá)到較好的擬合和預(yù)測效果。

1基本原理

1.1　ARMA(n,m)模型

對于平穩(wěn)、零均值的時間序列{xt}，若xt的取值不僅與前n步的各個取值有關(guān)，還與前m步的各個干擾項(xiàng)有關(guān)，則有一個n階自回歸m階滑動平均模型ARMA(n,m)

(1)

1.2　Verhulst模型

設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)，做一次累加生成(1-AGO)序列X(1)，X(1)的緊鄰均值生成序列[7]為

(2)

(3)

2Verhulst-ARMA組合模型的建立

2.1　建模思路

邊坡非線性序列{xt}的趨勢項(xiàng)為{dt}，平穩(wěn)隨機(jī)部分為{εt}，則稱xt=dt+εt為Verhulst+ARMA組合模型。dt為Verhulst趨勢項(xiàng)，εt為提取了趨勢項(xiàng)后的隨機(jī)項(xiàng)。

2.2　提取趨勢項(xiàng)

在實(shí)際邊坡變形問題中，常遇到原始數(shù)據(jù)本身呈飽和S型的過程，其流程如下：

1)取原始數(shù)據(jù)為X(1)，對其做一次累減，生成1-IAGO序列X(0),并構(gòu)造緊鄰均值Z(1)。

2)構(gòu)造如下矩陣：

(4)

3)按照最小二乘法估計a,b參數(shù)。

(5)

4)原始數(shù)據(jù)的預(yù)測公式

(6)

顯然，式(7)描述了{(lán)xt}隨時間t的變動趨勢dt。即可以用Verhulst來提取非平穩(wěn)時間序列{xt}中的趨勢項(xiàng)

目前，我國各大高校都在加強(qiáng)與韓國高校的學(xué)習(xí)與交流，一些學(xué)生也會選擇去韓國留學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)與交流，通過對韓國文化以及風(fēng)土人情的直接接觸使其韓語學(xué)習(xí)得到很大幫助，提高了韓語交流水平。但獲得出國交流機(jī)會的畢竟只有少部分人，大多數(shù)學(xué)生只能在學(xué)校進(jìn)行韓語知識的學(xué)習(xí)，教師通過韓語知識的部分講解，致使學(xué)生對韓國文化以及語言文化的了解與認(rèn)知較為淺顯、片面，導(dǎo)致學(xué)生的韓語交流能力得不到提高。

(7)

2.3　平穩(wěn)隨機(jī)序列分析

由原始序列減去趨勢項(xiàng)即可得到剩余部分的隨機(jī)序列{εt}。

(8)

在將隨機(jī)序列輸入時間序列模型之前，必須對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使之滿足平穩(wěn)、零均值、正態(tài)的要求。標(biāo)準(zhǔn)化處理方法為

(9)

利用時序的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)估計值的截尾性和拖尾性來判斷時間序列是否滿足AR或MA模型，否則認(rèn)為滿足ARMA模型。但是，若截尾性和拖尾性有時表現(xiàn)不明顯，很難用上述方法判斷[8]。根據(jù)文獻(xiàn)[9]可知，當(dāng)用于預(yù)測時，宜采用AR模型。

2.3.3　AR模型階數(shù)和參數(shù)的估計

對于AR(p)模型中p的選擇，必須根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)，采用合理的方法來確定。本文分別采用Akaike[10]建立的AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則、FPE準(zhǔn)則來選擇出合適的階數(shù)估計值。

(10)

按式(11)預(yù)測出來的是預(yù)處理后的正態(tài)零均值序列，因此必須將其還原，由式(10)可知

(11)

2.4　Verhulst-ARMA(n,m)組合模型的建立

由2.2和2.3可知：利用Verhulst模型得到非平穩(wěn)時間序列的趨勢項(xiàng)，利用平穩(wěn)時間序列ARMA(n,m)模型得到隨機(jī)項(xiàng)，由此兩部分組成的組合模型為

(12)

3工程驗(yàn)證

3.1　數(shù)據(jù)來源

本文利用長江三峽水利樞紐工程永久船閘巖石邊坡[11]TP26GP03號位移監(jiān)測點(diǎn)的監(jiān)測數(shù)據(jù)對Verhulst-ARMA(n,m)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。具體數(shù)據(jù)見表1，

表1　監(jiān)測點(diǎn)的觀測值

3.2　模型分析

3.2.1　Verhulst-AR模型的分析

由表1可以看出，該段時間內(nèi)的數(shù)據(jù)類似于“S”型，具有指數(shù)序列的一般性質(zhì)。

因此，根據(jù)上述原理建立Verhulst-AR模型，利用Matlab編程擬合與預(yù)測數(shù)據(jù)，其結(jié)果見圖1~圖3。

圖1　Verhulst-AR模型的擬合情況

圖2　AR模型的擬合情況

圖3　Verhulst-AR模型的殘差情況

從圖1~圖3可以看出，單一的Verhulst模型和AR模型的擬合和預(yù)測精度都不高，而組合模型Verhulst-AR的精度卻大大提高了。

3.2.2　GM(1,1)-AR模型的分析

由于監(jiān)測點(diǎn)在該段時間內(nèi)呈“S”型，具有指數(shù)曲線的一般特征，因此可以利用GM(1,1)進(jìn)行預(yù)報，其預(yù)報結(jié)果見圖4。

由圖4可以看出，在本文數(shù)據(jù)下，GM(1,1)的預(yù)報精度過低，并不適合預(yù)報。

類似地，先采用GM(1,1)提取趨勢項(xiàng)[12-13]，再利用ARMA處理剩余部分，結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4　GM(1,1)-AR模型的擬合情況

圖5　GM(1,1)-AR模型的預(yù)測情況

從圖4、圖5可以看出，單一的GM(1,1)模型的擬合和預(yù)測精度都不高，而組合模型GM(1,1)-AR的精度卻大大提高了。

3.2.3　兩種組合模型的分析

兩種組合模型的擬合與預(yù)報結(jié)果見圖6、圖7。

圖6　兩種組合模型的擬合情況

圖7　兩種組合模型的殘差情況

從圖6、圖7可以看出，兩種模型都能很好地擬合出呈“S”型趨勢的位移序列，但是Verhulst-AR模型的擬合與預(yù)測精度比GM(1,1)-AR模型的精度高。

4結(jié)束語

1)ARMA模型無法揭示序列的發(fā)展趨勢和動態(tài)特征，但Verhulst-ARMA模型充分利用了兩種預(yù)測方法各自的優(yōu)點(diǎn)，不僅能說明序列的發(fā)展趨勢，而且還能進(jìn)行短中期預(yù)報，并且具有較高的精度，能夠較好地解決邊坡位移(呈“S型”或“單峰型”)的預(yù)測問題。

2)對于呈“S”型或“單峰”型的邊坡位移序列，Verhulst-AR模型的擬合與預(yù)測精度比GM(1,1)-AR模型要高。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

Research on Verhulst-ARMA combination forecasting model of slope nonlinear displacement

YANG Fan,ZHOU Hong-man,XIE jia-jun

(School of Geomatics,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China)

Abstract：For the complexity of timing variables’ self-variation and uncertainty of prediction in the ARMA model，Verhulst is used to extract the trend item of non-stationary time series， and the remaining parts are modeled in stationary time series. A Verhulst-ARMA combination forecasting model is established. This model is used to analyze the measured data of slope sliding on the three gorges and the reliability and applicability of the model in slope nonlinear displacement prediction are confirmed.

Key words：Verhulst model；GM(1,1) model;time series；combined model；displacement prediction

作者簡介：楊帆(1972-)，男，教授，博士.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50604009)；遼寧省“百千人才工程”人選資助項(xiàng)目(20100921099)；對地觀測技術(shù)國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(K201106)

收稿日期：2014-09-20

中圖分類號：P642.22

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2015)12-0017-04