盧辰龍，匡翠林，陳曉林，魯鶴松

(1.中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長沙410083;2.鄭州市市政工程勘測設(shè)計(jì)研究院,河南鄭州450000;3.中南勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖南長沙410014)

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基于TLS的多變量灰色模型在大壩變形預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

盧辰龍1,2，匡翠林1，陳曉林1，魯鶴松3

(1.中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長沙410083;2.鄭州市市政工程勘測設(shè)計(jì)研究院,河南鄭州450000;3.中南勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖南長沙410014)

摘要：傳統(tǒng)多變量灰色模型MGM(1,n)的背景值誤差會(huì)使得求解的灰色參數(shù)精度降低?？傮w最小二乘是一種可以同時(shí)顧及到觀測誤差與模型系數(shù)矩陣誤差的數(shù)學(xué)方法?；诖?，引入TLS對傳統(tǒng)MGM(1,n)模型的灰色參數(shù)進(jìn)行修正。通過對某大壩變形數(shù)據(jù)試算，驗(yàn)證表明，該方法能夠有效地提高變形預(yù)報(bào)精度。

關(guān)鍵詞：大壩變形預(yù)報(bào)；多變量灰色模型；背景值優(yōu)化；總體最小二乘

大壩在供水、能源、航運(yùn)供給以及防洪等方面起著重要的作用，為社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展保駕護(hù)航，而大壩的貢獻(xiàn)是建立在良性運(yùn)行的基礎(chǔ)之上，因此，對大壩開展安全監(jiān)測工作具有重要意義[1]。為了提高大壩水平位移預(yù)報(bào)的精度與可靠性，國內(nèi)外學(xué)者展開了廣泛的研究并取得了一些有益的成果。目前，對大壩水平位移預(yù)報(bào)主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2-4]、時(shí)間序列分析法[5]、灰色預(yù)測法[6-11]，支持向量機(jī)法[12-13]等。但上述方法大部分都是采用單點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模與預(yù)報(bào)，并未考慮不同監(jiān)測點(diǎn)之間相互聯(lián)系。但在實(shí)際中，每個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的變形并不都是孤立的，而是彼此間相互作用、相互影響?；诖?，翟軍在單點(diǎn)GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上，將其擴(kuò)展為多變量灰色模型[14-17]。由于灰色模型參數(shù)直接影響模型的擬合與預(yù)報(bào)精度，而背景值又是影響灰色模型參數(shù)精度的關(guān)鍵因素，但傳統(tǒng)MGM(1,n)模型的背景值的構(gòu)造仍采用單點(diǎn)GM(1,1)模型背景值的方法，因此，對于數(shù)據(jù)序列急劇變化時(shí)，其模型預(yù)報(bào)誤差較大。針對這一問題，不同學(xué)者提出了不同的背景值構(gòu)造方法，提高模型擬合與預(yù)報(bào)的精度，如動(dòng)態(tài)定權(quán)法[18]、向量連分式理論法[19]、非齊次指數(shù)函數(shù)擬合法[20-21]等，但上述背景值優(yōu)化方法并不能保證對所有情況都適用。為此，本文在計(jì)算灰色模型參數(shù)時(shí)，考慮到由背景值求解得到的灰色參數(shù)存在誤差，引入TLS[22-23]對其進(jìn)行求解，并通過對湖南省某大壩實(shí)測數(shù)據(jù)計(jì)算表明，該方法的預(yù)報(bào)精度優(yōu)于傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型與優(yōu)化的MGM(1,n)模型。

1MGM(1,n)模型建立與背景值誤差分析及優(yōu)化

1.1　傳統(tǒng)MGM(1,n)模型的建立

(1)

(2)

式中：j=1,2,…,m；i=1,2,…,n。

顧及到n個(gè)引張線點(diǎn)相關(guān)影響，對生成序列建立n元一階常微分方差組：

(3)

將式(3)寫成矩陣形式：

(4)

式(4)的時(shí)間響應(yīng)式為

(5)

將式(4)離散化可得灰色微分方程為

(6)

其中

(7)

式中:i=1,2,…,n；k=2,3,…,m。

根據(jù)最小二乘法計(jì)算多變量灰色模型的參數(shù)A與B，

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

MGM(1,n)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

(12)

將式(12)做累減還原，其模型為

(13)

1.2　背景值的誤差分析

在區(qū)間[k-1,k]上對式(4)中n個(gè)白化方程進(jìn)行積分可得

(14)

化簡可得

(15)

式中：i=1,2,…,n，k=2,3,…,m。

圖1　第i個(gè)變量的傳統(tǒng)背景值誤差來源

2基于TLS的MGM(1,n)模型及預(yù)報(bào)精度評價(jià)指標(biāo)

2.1　TLS迭代解算

在TLS[24]中，求解MGM(1,n)模型灰色參數(shù)的函數(shù)模型為

(16)

式中:ΔL為系數(shù)矩陣中存在誤差，ΔY是觀測誤差，其誤差方程式的形式為

(17)

而誤差方程式(17)表示為

(18)

(19)

(20)

于是TLS的目標(biāo)函數(shù)

vec(EL)Tvec(EL)+eTe=min.

(21)

等價(jià)于

(22)

求解目標(biāo)函數(shù)的自由極值得

(23)

轉(zhuǎn)置整理得

(24)

將式(19)與式(20)代入式(24)得

(25)

(26)

將式(19)代入式(26)整理，得到參數(shù)的估值為

(27)

式(25)可以通過迭代解算得到參數(shù)估值，計(jì)算步驟如下：

根據(jù)上述的迭代解算，即可得到參數(shù)的估值。

2.2　預(yù)報(bào)精度評價(jià)指標(biāo)

為驗(yàn)證模型的預(yù)報(bào)結(jié)果是否可靠與穩(wěn)健，分別選用平均相對誤差E、均方差比值C以及小誤差概率P三種指標(biāo)進(jìn)行評價(jià)，三種指標(biāo)的定義如下：

1)平均相對誤差E，E反映了預(yù)報(bào)殘差占原始數(shù)據(jù)的平均比例，因此，E越小越好，其定義如下：

(28)

2)均方差比值C，越小越好，因?yàn)橹笜?biāo)C反映了原始數(shù)據(jù)離散程度大，而殘差離散程度小，

(29)

其中,S1是原始序列的標(biāo)準(zhǔn)差，S2是殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差，原始序列與預(yù)報(bào)序列的差值序列稱為殘差序列。

3)小誤差概率P，指標(biāo)P越大越好，殘差與殘差均值之差小于給定值，

(30)

表1　模型精度評定標(biāo)準(zhǔn)

3實(shí)例分析

為驗(yàn)證本文算法的有效性與可靠性，以某大壩三個(gè)引張線點(diǎn)上14期的徑向水平位移數(shù)據(jù)為例，分別選用傳統(tǒng)MGM(1,3)模型、背景值優(yōu)化的MGM(1,3)模型以及TLS-MGM(1,3)模型進(jìn)行模擬預(yù)報(bào)。表2是14期的觀測數(shù)據(jù)，以10 d為一個(gè)周期。

圖2是以前11期數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，后3期數(shù)據(jù)用于檢核，其圖2中(a)、(c)與(e)分別與表2中的點(diǎn)A、B、C相對應(yīng)，圖2中(b)、(d)與(f)分別是其相對誤差。從圖2中可以明顯看出，背景值優(yōu)化的

圖2　不同模型的擬合預(yù)報(bào)值與相對誤差

MGM(1,3)模型的預(yù)報(bào)精度并未顯著提高，而是與傳統(tǒng)MGM(1,3)模型的預(yù)報(bào)精度基本相當(dāng)，而TLS-MGM(1,3)模型的預(yù)報(bào)精度則明顯優(yōu)于上述兩種模型。為進(jìn)一步說明本文方法的可靠性，又采用不同的指標(biāo)進(jìn)行多角度的評價(jià)，其結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，不同指標(biāo)的結(jié)果均能明顯地反映出TLS-MGM(1,3)模型優(yōu)于另外兩種模型。綜合上述實(shí)例數(shù)據(jù)分析表明，TLS改進(jìn)MGM(1,3)模型可以削弱多變量灰色模型的背景值誤差，從而提高其預(yù)報(bào)精度。在實(shí)際應(yīng)用中，采用TLS-優(yōu)化MGM(1,3)模型，獲取更好的模擬和預(yù)報(bào)效果。

表3　多種評價(jià)指標(biāo)的可靠性檢驗(yàn)

4結(jié)論

MGM(1,n)模型綜合不同監(jiān)測點(diǎn)之間的相關(guān)信息，從整體上對多測點(diǎn)原始觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行正確的處理，建立合理地預(yù)報(bào)模型，進(jìn)而做出準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)，但傳統(tǒng)MGM(1,n)模型的背景值構(gòu)造限制了更精確的預(yù)報(bào)。本文通過分析傳統(tǒng)MGM(1,n)模型誤差產(chǎn)生的根本原因，引入TLS對其灰色模型參數(shù)矩陣修正，使得建模更加合理，從而有效地提高M(jìn)GM(1,n)模型的預(yù)報(bào)精度。對于背景值優(yōu)化的MGM(1,n)模型，克服因原始數(shù)據(jù)序列一階累加生成序列非齊次指數(shù)函數(shù)而造成其預(yù)報(bào)精度不能改善的限制，使得MGM(1,n)模型更加穩(wěn)健與可靠。因此，TLS-MGM(1,n)模型具有廣泛的應(yīng)用前景，同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，也可先對背景值優(yōu)化，然后再采用TLS解算灰色參數(shù)，進(jìn)而提高其預(yù)報(bào)精度。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

The multivariable grey model based on total least squares applicable for the dam deformation forecast

LU Chen-long1，2,KUANG Cui-lin1,CHEN Xiao-lin1,LU He-song1

(1.School of Geosciences and Info-Physics,Central South University,Changsha 410083,China;2.Zhengzhou City Municipal Engineering Design & Research Institute,Zhengzhou 450000,China;3.Zhongnan Engineering Corporation Ltd.,Co.,Changsha 410014,China)

Abstract：The background value error of traditional multivariable grey model MGM (1,n) will make the precision of grey parameters decline.The total least square is a kind of mathematical method which can simultaneously consider the observation error and model coefficient matrix error.Based on this,the MGM(1,n) model grey parameters are modified by introducing the total least square (TLS) method in this paper.Through the trial of a dam deformation data,the results show the proposed method can effectively improve the prediction accuracy.

Key words：dam deformation forecast；multivariable grey model；background value optimization；total least square

作者簡介：盧辰龍(1987-)，男，碩士，助理工程師.

基金項(xiàng)目：國家973計(jì)劃子課題(2013CB733303);湖南省國土資源廳科技項(xiàng)目(2012-41)

收稿日期：2014-09-30

中圖分類號：TU196+.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2015)12-0048-05