“教”讓道于悟”——從一節(jié)高三復(fù)習(xí)課談起

●馮濤(北侖中學(xué)浙江寧波315800)

著名數(shù)學(xué)特級教師孫維剛認(rèn)為，教師的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是：通過知識的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的能力，在能力提高的基礎(chǔ)上不斷提高學(xué)生的素質(zhì)，造就一個強(qiáng)大的腦子，讓不聰明的孩子變得聰明，讓聰明的孩子更加聰明.怎么實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)呢？不同的教師對此有著不同的答案，筆者最近參加了在浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)舉行的寧波市第9屆特級教師帶徒研討會活動，聆聽了一堂題為“函數(shù)零點(diǎn)問題選講——選擇模型優(yōu)化解法”的公開課.在這堂研討課中，教師精選例題，循循善誘，學(xué)生熱情參與，探究氣氛熱烈，聽課的教師和專家都積極參與了評課研討，認(rèn)為教師在教學(xué)中激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，學(xué)生的課堂主體地位得到了充分展現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在主動探究中的“悟”，并對其他方面也給出了中肯的意見和建議.本文結(jié)合這堂課的教學(xué)設(shè)計談?wù)勅绾螌?shí)現(xiàn)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性，供大家交流切磋.

1教學(xué)設(shè)計簡錄

環(huán)節(jié)1教師在課件中打出中國足球運(yùn)動員踢球的習(xí)慣：一“搶”、二“逼”、三“圍”.然后拋出自問自答問題：我們在解題中應(yīng)該養(yǎng)成什么習(xí)慣呢？教師個人認(rèn)為：一“看”、二“悟”、三“說”，“悟”自始至終貫穿整堂課的核心(引導(dǎo)學(xué)生感悟這堂課的思維主線).

環(huán)節(jié)3看一看.

1.設(shè)函數(shù)f(x)=4sin(2x+1)-x，則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)的是

()

A.[-4,-2] B.[-2,0]

C.[0,2] D.[2,4]

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

2.設(shè)a∈R,當(dāng)x>0時均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，

則a=______.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R)，若f(f(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2012年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

5.函數(shù)f(x)=2x|log0.5x-1|的零點(diǎn)個數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.4

(2013年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

6.已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

(2014年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

這個環(huán)節(jié)是繼續(xù)在教師的引導(dǎo)下了解高考題目中函數(shù)的考查點(diǎn)，目的在于讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟到本堂課即將討論函數(shù)零點(diǎn)問題.

環(huán)節(jié)4悟一悟.

教師板書課題“函數(shù)零點(diǎn)問題選講——選擇模型優(yōu)化解法”，并提出一個函數(shù)零點(diǎn)問題給學(xué)生充分思考分析求解，讓學(xué)生先行領(lǐng)悟解題當(dāng)中涉及到的知識和方法，為后續(xù)發(fā)言準(zhǔn)備.

例1已知函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2+kx在區(qū)間(0,2)上有2個不同的零點(diǎn),則k的取值范圍是______.

經(jīng)過較認(rèn)真的思考，大多數(shù)學(xué)生都有了自己的想法，教師在巡視解答后，請學(xué)生交流自己的想法.由于授課對象是鎮(zhèn)海中學(xué)重點(diǎn)班的學(xué)生，他們思維活躍，發(fā)言積極，主要領(lǐng)悟到以下幾種思路：

方法1直接將原函數(shù)化歸為分段函數(shù)結(jié)合圖像處理：

圖1 圖2

方法2令f(x)=|x2-1|+x2+kx=0得

|x2-1|=-x2-kx，

分別構(gòu)造u(x)=|x2-1|,v(x)=-x2-kx，并在坐標(biāo)系內(nèi)重新作圖像如圖2所示.

圖3

方法3令f(x)={|x2-}1|+x2+kx=0，得

|x2-1|+x2=-kx,

于是還可以構(gòu)造u(x)={-kx,}v(x)=|x2-1|+x2.在坐標(biāo)系內(nèi)作出圖像如圖3所示.

方法4在前面函數(shù)構(gòu)造基礎(chǔ)上再進(jìn)一步，可以構(gòu)造常數(shù)函數(shù)與分式函數(shù)來處理.令

圖4

環(huán)節(jié)5歸納提升.

經(jīng)過師生、生生探討，結(jié)合多方面畫圖計算，反復(fù)推敲解法，課堂氛圍達(dá)到高潮.教師在解決問題之后，針對學(xué)生的作答，引導(dǎo)學(xué)生思考2個問題：

1)在處理函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題時，構(gòu)造函數(shù)模型的選擇有哪些情形？

學(xué)生自主歸納后，領(lǐng)悟到以下結(jié)論：在處理函數(shù)零點(diǎn)問題時處理方式通常有2種情況:①直接考查y=f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù);②令f(x)=0，并通過適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為考查2個函數(shù)y=u(x)和y=v(x)的交點(diǎn)個數(shù).并且在數(shù)形結(jié)合處理函數(shù)零點(diǎn)問題時可以構(gòu)造的函數(shù)類別是多種多樣的.

2)求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題時，你又會作出怎樣的選擇？

受例題影響，大部分學(xué)生認(rèn)為自己會構(gòu)造2個函數(shù)、畫圖像、處理零點(diǎn)問題，而且其中一個是常數(shù)函數(shù)時最有利于解題.

環(huán)節(jié)6選擇模型優(yōu)化解法.

教師肯定了學(xué)生對第1)個問題的認(rèn)識，對第2)個問題的回答顯然并不贊同，但是教師沒有馬上表明自己的觀點(diǎn)，而是引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索變式問題，進(jìn)一步讓學(xué)生自己去感悟.

例2已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,若方程{f(x)-}a|x-1|=0恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

(2014年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

教師給出問題后，許多學(xué)生就開始進(jìn)行分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)模型，大致有以下3種構(gòu)造方式：

方法1直接構(gòu)造函數(shù)g(x)=|x2+3x|-{a|x-}1|，由于分段函數(shù)層次討論太多，學(xué)生思維受阻.

圖5

方法3一部分學(xué)生構(gòu)造2個含絕對值的函數(shù)：{u(x)=}|x2+3x|，v(x)={a|x-}1|,2者的圖像都能方便給出，但是一部分學(xué)生只考慮到如圖5所示圖像中的情形，利用判別式計算出結(jié)果為09.綜上所述結(jié)果是a∈(0,1)∪(9,+∞)，這個題目讓學(xué)生領(lǐng)悟到利用圖像解題還需作圖精確.

環(huán)節(jié)7說一說.

結(jié)合2個例子的研究，教師讓學(xué)生說說這堂課所獲得的感悟，學(xué)生總結(jié)為遇到函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題時需要考慮構(gòu)造不同的函數(shù)模型處理，方法應(yīng)該多樣，不應(yīng)該固守一種，因題制宜，遇到困境時還要綜合運(yùn)用知識和方法靈活處理,八方聯(lián)系，緊緊抓住一般方法，以不變應(yīng)萬變.

2關(guān)于研討課的思考

數(shù)學(xué)教師對課堂教學(xué)藝術(shù)的追求是永無止盡的，一堂課究竟怎樣才算一堂好課.一堂有效的數(shù)學(xué)課，可謂仁者見仁,智者見智.從教學(xué)目標(biāo)來說，本堂課既回顧了基本初等函數(shù)，復(fù)習(xí)了函數(shù)零點(diǎn)以及相關(guān)知識點(diǎn)，滲透了數(shù)形結(jié)合的方法，鍛煉了學(xué)生的思維能力，激發(fā)了求知熱情和欲望,總體看是較好地完成了教學(xué)任務(wù).從教學(xué)組織來看，課堂主線明確清晰，看一看，悟一悟，說一說，簡單的三部曲，引領(lǐng)學(xué)生一步步登堂入室，從一開始就通過例子“悟”知識點(diǎn)，后來去“悟”數(shù)形結(jié)合的思想，教師在課堂上自始至終沒有提到“數(shù)形結(jié)合”4個字，但處處用到這個思想方法，目的恐怕就在于讓學(xué)生自己感悟.教師在教學(xué)組織上一直扮演導(dǎo)演角色，將課堂主動權(quán)交給學(xué)生，這些做法完全符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，師生互動、生生互動在課堂上俯拾皆是.例題和習(xí)題的處理都交給學(xué)生自主探究、討論、交流并總結(jié)歸納提升，課堂氛圍融洽，學(xué)生思潮涌動,教師話語自然、親和，課堂充滿和諧與智慧，可以說是一堂好的復(fù)習(xí)探究課.從細(xì)節(jié)上看，教師例題的選擇很典型，從上課效果來看，這堂課里教師有意淡化了自己“教”的痕跡，有意識地鍛煉了學(xué)生感悟的能力，題目雖然教得不多，但是學(xué)生在思維的相互碰撞和交流中升華了課堂的層次，提升了學(xué)生思維的批判性和深刻性，達(dá)到了較好的復(fù)習(xí)效果.當(dāng)然，這堂課如果在開始階段縮短“看一看”的部分內(nèi)容，那么學(xué)生在“悟一悟”和“反思總結(jié)”環(huán)節(jié)將會有更充分的時間.在這堂課最后的結(jié)束語中，教師引用了《老子》里面的名言:“道可道，非常道”，似乎也在表明數(shù)學(xué)課就應(yīng)該無時無刻地關(guān)注學(xué)生“悟”道的過程.

3關(guān)于高三復(fù)習(xí)的思考

眾所周知，高三復(fù)習(xí)時間緊迫，學(xué)生負(fù)擔(dān)重，教師需要思考如何設(shè)計自己的教學(xué)，才能高效率地幫助學(xué)生復(fù)習(xí).借用孫維剛老師的話說就是：教師要時時刻刻、事事處處站在系統(tǒng)的高度講授知識，讓知識總是以“系統(tǒng)中的知識”的面目出現(xiàn)在學(xué)生面前.教師要著眼于知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，使學(xué)生從系統(tǒng)的高度領(lǐng)悟和把握知識進(jìn)行思考，做到八方聯(lián)系，渾然一體，達(dá)到浮想聯(lián)翩、思潮如涌的思維狀態(tài).學(xué)生在這個過程中有所“悟”，自己獲得的鮮活的知識經(jīng)驗遠(yuǎn)遠(yuǎn)比教師教會的要記憶深刻，因此應(yīng)當(dāng)主張教師跳進(jìn)“題海”，而徹底把學(xué)生從“題海”中解脫出來，把能力和素質(zhì)提升上去.對于高效的課堂教學(xué)，筆者認(rèn)為應(yīng)該包含以下3個方面.

3.1蘊(yùn)知識點(diǎn)和方法于例題，忌簡單羅列

在高三復(fù)習(xí)時，回顧已經(jīng)學(xué)過的知識點(diǎn)和方法是必經(jīng)環(huán)節(jié)，但是簡單羅列一些已學(xué)知識與方法是低效的教學(xué)行為.筆者也曾經(jīng)采取過這樣的復(fù)習(xí)方式，通常這個過程基本沒有啟發(fā)學(xué)生的有效思考，更談不上領(lǐng)悟，屬于空洞的教學(xué).回憶知識和方法當(dāng)然是重要的，但是可以換一個方式進(jìn)行，應(yīng)該蘊(yùn)知識和方法于例題當(dāng)中，設(shè)計好的問題串啟發(fā)學(xué)生在思考中領(lǐng)悟相關(guān)知識、弄清概念，在具體的解題實(shí)踐中和反思中悟到方法和經(jīng)驗，這樣的復(fù)習(xí)才會更加有效果.

3.2精選例題，分析徹底

高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)很多都是解題教學(xué)，高效的復(fù)習(xí)就必須要精選例題，題不在多而在于精，要在“一題多解”、“多解歸一”、“多題歸一”上下工夫.學(xué)任何功課都要做題.做題好像是水，水能載舟，也能覆舟.題海戰(zhàn)術(shù)，就是覆舟之術(shù).精講巧練，是載舟之術(shù).精，是指教師可選擇精彩的少量題目讓學(xué)生練習(xí).練習(xí)中要通過“一題多解”，達(dá)到熟練；通過“多解歸一”，發(fā)掘形式上不同的解法間必然存在的共同本質(zhì)；通過“多題歸一”，總結(jié)出一批題目的共同本質(zhì)，形成普適性的思考規(guī)律.這個過程重在學(xué)生對方法的領(lǐng)悟，對妙處的感悟.選好例題僅僅是一個方面，另一個方面是用好例題，復(fù)習(xí)課最忌諱教師一個例題接著一個例題往下講，好的例題一定要將它用足、用盡，一個簡單的函數(shù)零點(diǎn)問題或許1~2種方法就能破解，為什么還要延伸出其他解法呢，目的就在于把例題表象之下埋藏的東西充分開掘，把作用發(fā)揮到極致，讓學(xué)生的領(lǐng)悟不斷更新和碰撞，在比較中領(lǐng)悟、鑒別方法.

3.3重視反思，歸納總結(jié)

波利亞解題第4階段：“回顧反思”中，我們反思什么？新課標(biāo)在其十大基本理念中指出，“數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)”，通過典型例子的分析和學(xué)生的自主探究活動，使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)含在其中的思想方法.復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，經(jīng)常通過變式的訓(xùn)練，讓學(xué)生在某一個問題上看清它的實(shí)質(zhì)，找到易混的概念，并加以區(qū)別、辨析.它有助于鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、解決問題的能力，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.它能夠?qū)}、習(xí)題進(jìn)行變通推廣，讓學(xué)生對所學(xué)知識在不同角度、不同層次、不同情形下重新認(rèn)識.這種反思使得教師在教學(xué)過程中能時刻把握學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生加深對基本概念的理解、基礎(chǔ)知識的鞏固、克服錯誤現(xiàn)象，提高學(xué)習(xí)效率，優(yōu)化解題過程，挖掘數(shù)學(xué)思路，有利于學(xué)生觀察能力、自學(xué)能力、實(shí)驗?zāi)芰?、思維能力和創(chuàng)新能力的提高.

高三復(fù)習(xí)的主要任務(wù)就是回顧知識，梳理方法，積累解題經(jīng)驗，提高應(yīng)對能力.每當(dāng)遇到新情景、新問題時，只要我們勤于反思，總結(jié)經(jīng)驗，產(chǎn)生更多解題途徑，那么面對考試的時候才會作出最合理的選擇，從容應(yīng)對.