一種地地導彈變射面飛行程序設計方法

肖龍旭,王繼平,魏詩卉,林紅斌

(第二炮兵裝備研究院,北京 100094)

摘要:傳統(tǒng)地地彈道導彈一般只進行俯仰飛行程序設計,所采用的設計模型與方法不能適應變射面飛行程序的設計。針對此問題,在射面轉移變換規(guī)劃的基礎上,提出了一種地地導彈變射面飛行程序設計方法,在假設地球為圓球的情況下,建立射面變換飛行程序優(yōu)化模型,采用hp-RPM偽譜法進行優(yōu)化設計;對優(yōu)化出的離散俯仰/偏航飛行程序數據進行多項式擬合平滑,并建立地球扁率影響修正模型進行修正,最終確定了射面變換俯仰/偏航飛行程序。仿真計算結果表明,優(yōu)化出的變射面飛行程序有效、可行,證明了設計方法的正確性。

關鍵詞:彈道導彈;變射面;飛行程序;hp-RPM偽譜法

中圖分類號:TJ761.3文獻標識碼:A

收稿日期:2014-12-02

基金項目:中國博士后科學

作者簡介:常思江(1983- ),男,講師,博士,研究方向為彈箭飛行與控制及外彈道理論。E-mail:ballistics@126.com。

A Design Method of Changeable Launching Plane Flight-process of Ground-to-ground Ballistic Missiles

XIAO Long-xu,WANG Ji-ping,WEI Shi-hui,LIN Hong-bin

(The Second Artillery Equipment Institute,Beijing 100094,China)

Abstract:Aiming at the traditional ground-to-ground ballistic missiles,the design of the pitching flight process is only carried out in general,but the design model and method adopted can not adapt the design of the flight process of the changeable launching plane.Based on the launching-plane transform planning,the design method of the changeable launching plane flight process of ground-to-ground missiles was put forward.Under the assumption that the earth is a pellet,the optimal flight process design model of the launching plane transform was established,and the optimal design was carried out by adopting hp-adaptive pseudospectral method.The optimized discrete data of pitching and yawing flight-process was fitted,and the influence of the earth oblate rate was revised by establishing the model.The pitching and yawing flight process was determined.The simulation result shows that the optimized changeable launching plane flight-process is valid,and the design method is correct.

Key words:ballistic missile;changeable launching plane;flight process;hp-adaptive pseudospectral method

傳統(tǒng)的地地彈道導彈近似在發(fā)射點、目標點、地心構成的射面內飛行,在突防能力、橫向機動能力、射程覆蓋能力方面存在諸多的限制。為此,文獻[1]提出了一種地地導彈變射面飛行策略和射面變換(也稱彈道面轉移變換)規(guī)劃方法,利用橢圓彈道理論,優(yōu)選射面變換夾角以及各射面彈道參數,為導彈各級助推段俯仰/偏航飛行程序設計提供了約束基準,優(yōu)化了導彈發(fā)動機能量運用,接下來就需要根據規(guī)劃的彈道約束基準設計變射面飛行程序。

傳統(tǒng)彈道導彈主動段飛行程序設計一般采用經驗公式[2],對公式參數進行優(yōu)化選擇,采用的優(yōu)化算法有遺傳算法[2]、粒子群優(yōu)化算法[3]、基于均勻設計的優(yōu)化算法及其組合使用[3]等,其缺點是經驗公式限制飛行程序的變化趨勢。目前主動段飛行程序設計還出現了不采用經驗公式固定變化趨勢的其它優(yōu)化算法,如SQP算法[4]、高斯偽譜法[5]、hp-RPM偽譜法[6]等,也能取得很好的優(yōu)化效果,但僅限于俯仰飛行程序的設計。飛行程序設計屬于軌跡優(yōu)化或彈道優(yōu)化的范疇,在上述的優(yōu)化方法中,高斯偽譜法、hp-RPM偽譜法等偽譜法以其求解精度高和收斂速度快的特點,近幾年來在再入機動彈道優(yōu)化設計[7]和助推-滑翔彈道優(yōu)化設計[8]中得到了廣泛的應用。為提高優(yōu)化速度和精度,本文根據變射面飛行程序設計的特點,采用hp-RPM偽譜法進行優(yōu)化設計。

1變射面飛行程序設計思想

三級發(fā)動機導彈的變射面飛行彈道參見圖1,對于Ⅰ級助推段的飛行程序可采用傳統(tǒng)射面內的飛行程序設計方法進行設計;而射面變換飛行段A→B或C→D是完成彈道接力的動力段,射面變換飛行程序設計是要確定從當前射面變換起控點A或C到下一射面彈道入軌點B或D的俯仰/偏航程序角隨時間變化的規(guī)律,需滿足起控點、終點速度和位置約束條件,是一個最優(yōu)控制問題,因而實現變射面飛行的關鍵是射面變換飛行段A→B或C→D的俯仰/偏航飛行程序的設計。

圖1　三級發(fā)動機導彈變射面飛行示意圖

本文的研究目的是在射面變換規(guī)劃提供各射面彈道約束基準的基礎上,快速進行變射面飛行程序設計。由于射面變換規(guī)劃基于橢圓彈道理論,因而變射面飛行程序設計采用如下思路:首先在地球假設為圓球的情況下,建立射面變換飛行程序優(yōu)化設計模型,進行優(yōu)化設計,然后建立地球扁率影響修正模型進行飛行程序修正,從而設計出變射面飛行彈道。

傳統(tǒng)導彈的飛行程序優(yōu)化設計,多采用飛行程序的經驗變化公式,對公式中的參數進行優(yōu)化,這樣容易限制飛行程序的變化趨勢,而無法實現最優(yōu)。因而,本文對飛行程序的優(yōu)化方法采用hp-RPM偽譜法,能夠自動優(yōu)選出變射面飛行程序的變化趨勢,但由于偽譜法優(yōu)化精度、優(yōu)化時間跟配點數、迭代次數等緊密相關,為了加快優(yōu)化速度,考慮到后續(xù)的扁率修正,對優(yōu)化精度要求可適當降低,同時對配點數和迭代次數的選擇盡量少。為便于后續(xù)的扁率影響的快速修正,需對hp-RPM偽譜法優(yōu)化的離散俯仰/偏航飛行程序數據進行多項式擬合平滑,然后建立地球扁率影響修正模型,通過彈道牛頓迭代確定修正參數,完成射面變換俯仰/偏航飛行程序設計。本文主要針對射面變換飛行段A→B或C→D進行飛行程序設計,為方便描述優(yōu)化設計方法,以射面變換飛行段A→B為例,進行飛行程序設計,C→D段飛行程序設計與A→B段類似。

2射面變換飛行程序優(yōu)化模型

射面變換飛行程序設計是一個最優(yōu)控制問題,一般通過優(yōu)化方法來進行設計。由于射面變換規(guī)劃是基于橢圓彈道理論的,規(guī)劃出的基準參數是基于地球為圓球假設的橢圓彈道參數。因此,首先假設地球為圓球,導彈不受地球扁率影響,建立射面變換飛行程序優(yōu)化模型。射面變換夾角和各射面彈道參數示意圖見圖2。

圖2　射面變換夾角和各射面彈道參數示意圖

圖2中,ΔA為初始離面角；Λ2為第一射面與第二射面夾角，Λ3為第二射面與第三射面夾角；vk1為第一射面彈道Ⅰ級助推出大氣層時的速度大小，Θk1為第一射面起始點K1處彈道傾角，rk1為起始點K1處地心距，ΛA為起始點K1處與正北方向夾角，βc1為第一射面彈道射程角；vk2為第二射面彈道關機點速度大小，Θk2為傾角，rk2為地心距，ΛB為橢圓彈道面起始點K2處與正北方向夾角，βc2為射程角；vk3為第三射面彈道關機點速度大小，Θk3為傾角，rk3為地心距，ΛC為橢圓彈道面起始點K3處與正北方向夾角，βc3為射程角。

2.1　狀態(tài)方程

射面變換飛行段在大氣層之外,因而只受發(fā)動機推力和地球引力,質心運動方程為

(1)

式中:g=fme/r2,r為地心距,f為引力常數,me為地球質量,vxa、vya,vza、xa、ya、za分別為導彈速度和位置在發(fā)射慣性坐標系下的投影;Fp為發(fā)動機推力;m為導彈質量;Q為秒耗量;φ,ψ為需要優(yōu)化設計的俯仰/偏航程序角;R為地球平均半徑。

2.2　過程約束

在射面變換飛行過程中,應該保證導彈不受氣動力影響,飛行高度h在85km以上。因而有:

h=r-R≥85km

2.3　終端狀態(tài)約束

射面變換飛行段的結束點是下一射面橢圓彈道的入軌點,因而應滿足終端約束,Xf=X(tf),X=(vxavyavzaxayaza),由導彈飛行時間tf確定入軌點B的狀態(tài)約束。見圖2,設第二射面橢圓彈道的起始時刻為tbsm2,由射面變換規(guī)劃給出,tg2為導彈二級發(fā)動機工作時間,則入軌點時間相對第二射面橢圓彈道的起始時刻時間為tf2=tf-tbsm2

先計算橢圓彈道參數:

p2=rk2Ek2cos2Θk2

式中:Ek2為第二射面彈道能量參數;e2為第二射面彈道偏心率;p2為第二射面彈道半通徑;a2為第二射面彈道長半軸;ββ為第二射面彈道K2處真近點角,0≤ββ≤π/2。

采用迭代方法求tf2對應的射程角βf2,給定βf2初值,令βfd=10-5,迭代計算下列各式:

β1=βf2-ββ

cf2=rf2vf2cosΘf2

βf2=βf2+Δβf

tf2時刻對應的速度和位置參數在地心慣性直角坐標系下的投影:

將其轉換到發(fā)射慣性坐標系下:

式中:xf2sa、yf2sa、zf2sa為位置在地心慣性直角坐標系下的投影;vf2xsa、vf2ysa、vf2zsa為速度在地心慣性直角坐標系下的投影;xf2a、yf2a、zf2a為位置在發(fā)射慣性坐標系下的投影;vf2xa、vf2ya、vf2za為速度在發(fā)射慣性坐標系下的投影;ω為地球自轉角速度;x0、y0、z0為發(fā)射點在慣性坐標系下的投影;r0為發(fā)射點的地心矩;φ0、λ0為發(fā)射點地心緯度和經度;G為發(fā)射慣性系到慣性直角坐標系的轉換矩陣。

2.4　目標函數

為保證射面變換的能量需求,射面變換飛行程序設計以能量最省為優(yōu)化目標,A→B段目標函數為

假設秒耗量Q恒定,則:

minJ=tf-tbsmA0

3射面變換飛行程序優(yōu)化設計

3.1　 hp- RPM偽譜法優(yōu)化

對射面變換飛行程序設計,采用hp-RPM偽譜法進行優(yōu)化,具體實現方法在此不作闡述,參見文獻[6],其關鍵是優(yōu)化初始條件的確定。

初始條件主要包括hp-RPM偽譜法配點數、hp-RPM偽譜法自適應調節(jié)相關參數、狀態(tài)變化范圍、控制參數變化范圍、邊界條件即終端約束精度、收斂精度、狀態(tài)與控制參數猜測值。其中,hp-RPM偽譜法自適應調節(jié)相關參數采用常用值,為了同時保證優(yōu)化精度和優(yōu)化速度,hp-RPM偽譜法配點數選為100,優(yōu)化收斂精度定為2×10-6;終端約束涉及到6個狀態(tài)參數,同時滿足相當困難,因此,速度的3個分量約束范圍取為[-1.0×10-4,1.0×10-4],位置分量約束取其中2個為[-1.0×10-1,1.0×10-1]和[-1.0×103,1.0×103],飛行程序設計由此帶來的誤差由后面的修正模型消除;為了提高優(yōu)化速度,狀態(tài)與控制參數猜測值選擇可行值,射面變換飛行段狀態(tài)與控制參數變化范圍根據猜測值來選擇。猜測值采用彈道閉路迭代方法求取,根據迭代計算出的需要速度方向來求解俯仰/偏航程序角,再根據俯仰/偏航程序角解算彈道獲取狀態(tài)變量值。

針對A→B段,射面變換飛行段需要速度迭代計算以彈道終點C傾角Θc2為約束,迭代計算出需要速度大小vRi[9]。然后按下列各式計算需要速度增量:

qi=sinΘkf,i

Δvgxa,i=vRxa,i-vxai

Δvgya,i=vRya,i-vyai

Δvgza,i=vRza,i-vzai

按以下控制量φai,ψai進行導引控制:

式中:T為積分計算周期，φa、ψa分別為俯仰、偏航姿態(tài)。

通過地球為圓球假設的質心彈道數值積分解算,可得出射面變換飛行段各積分周期點的狀態(tài)參數和俯仰/偏航姿態(tài)角。

設射面變換飛行段各積分周期點狀態(tài)參數和控制參數猜測值最大與最小分別為vxa,max、vxa,min,vya,max、vya,min,vza,max、vza,min,xa,max、xa,min,ya,max、ya,min,za,max、za,min,φa,max、φa,min,ψa,max、ψa,min。

狀態(tài)參數和控制參數變化范圍如下。

速度為[vxa,min-1 000,vxa,max+1 500]、[vya,min-1 000,vya,max+1 000]、[vza,min-1 500,vza,max+1 500],單位為m/s。

位置為[xa,min-100 000,xa,max+100 000]、[ya,min-100 000,ya,max+100 000]、[za,min-200 000,za,max+200 000],單位為m。

導彈質量[mmin,mmax],mmax為起控點質量,mmin為該級發(fā)動機耗盡后質量,單位為kg;俯仰姿態(tài)角為[φa,min-0.5,φa,max+0.5],偏航姿態(tài)角[ψa,min-0.5,ψa,max+0.5],單位為rad。

3.2　離散飛行程序數據多項式擬合

hp-RPM偽譜法優(yōu)選出的俯仰、偏航飛行程序姿態(tài)是離散數據,不一定平滑。因此采用多項式進行擬合平滑處理,選取多項式為

當離散數據存在階躍變化時,可采用分段多項式擬合。

3.3　地球扁率影響修正

由于射面變換規(guī)劃采用橢圓彈道理論,射面變換飛行程序的hp-RPM偽譜法優(yōu)化設計基于地球為圓球假設,不考慮地球扁率影響。因而,需要建立地球橢球和扁率影響修正模型,對射面變換飛行程序進行修正。

若嚴格精確考慮速度約束,需采用時間變量的多項式修正模型進行修正。此處為了方便,僅精確考慮位置約束,采用常值修正公式:

式中:aφ,bψ為需要確定的修正參數。

修正時,只考慮各射面彈道終點位置對應高程的經緯度約束,通過彈道的牛頓迭代方法對修正參數進行確定,其速度快,且簡便可行。迭代計算步驟如下:

①令迭代初值選為aφ=0,bψ=0,設小擾動量δaφ=0.001,δbψ=0.001;

⑤令修正量為Δaφ、Δbψ,則有:

式中:

⑥令aφ=aφ+Δaφ,bψ=bψ+Δbψ,轉入②。

4仿真算例

4.1　仿真條件

仿真的目的在于驗證變射面飛行程序設計方法的正確性,為了驗證的方便,選擇兩級固體發(fā)動機導彈,最大射程6 000km左右,進行一次變射面規(guī)劃,然后按本文方法進行射面變換飛行段的飛行程序設計。

選擇發(fā)射點為經度113°,緯度28°;目標點為經度123°,緯度25°。射程約1 000km,傳統(tǒng)導彈射向為114°(與正北方向夾角);變射面飛行時,假設Ⅰ級轉級飛行段未出大氣層前導彈攻角為0,能穩(wěn)定飛出大氣層,給出某一作戰(zhàn)需求的射面變換規(guī)劃結果如表1所示。表中tc1為第一射面彈道飛行時間，ψ1為第一射面彈道終點處與正北方向夾角;tc2為第二射面彈道飛行時間，ψ2為第二射面彈道終點處與正北方向夾角,具體計算方法參見文獻[1]。

表1　射面變換規(guī)劃結果

選取第一射面起控點參數:轉級飛行時間125s,慣性系位置x軸向分量221 499.5m,慣性系位置y軸向分量127 298.5m,慣性系位置z軸向分量0,慣性系速度x軸向分量1 216.096m/s,慣性系速度y軸向分量-208.752m/s,慣性系速度z軸向分量0,地心距為6 502 076.5m。

第二射面橢圓彈道參數:長半軸3 576 260.0m,半通徑1 073 696.6m,扁心率0.836 523;第二射面橢圓彈道起點參數見表1;用于計算終端狀態(tài)約束。

采用GPOPS5.0版對射面變換飛行段的俯仰/偏航程序角分別進行優(yōu)化設計,在GPOPS軟件中加入上述飛行程序優(yōu)化設計模型代碼,給定優(yōu)化初始條件,運行軟件即可完成飛行程序的優(yōu)化設計,然后對地球扁率影響進行修正。

4.2　仿真結果及結論

通過GPOPS軟件優(yōu)化設計和多項式最小二乘擬合后,射面變換飛行俯仰/偏航程序角設計結果如圖3所示。

考慮地球橢球和扁率影響,對全彈道進行優(yōu)化計算,采用牛頓迭代法進行飛行程序常值修正參數優(yōu)化。經優(yōu)化計算,修正參數aφ、bψ的值分別為0.491 204,-0.298 214,導彈慣性落點偏差在1m內。

變射面飛行仿真俯仰/偏航角隨時間變化如圖4所示,變射面飛行彈道仿真如圖5所示。從變射面飛行俯仰/偏航角變化和變射面飛行彈道數據可以看出,變射面飛行程序設計方法是正確可行的。

統(tǒng)計仿真計算時間,射面變換飛行俯仰/偏航角的hp-RPM偽譜法優(yōu)化計算時間在3min內,多項式擬合計算時間在1s內,地球橢球和扁率影響彈道迭代修正計算時間在1min內,時間總和在5min內。其它優(yōu)化方法在同等優(yōu)化條件下的優(yōu)化時間至少在10min以上,可見本文方法在計算速度上優(yōu)勢明顯。

圖3　射面變換飛行段俯仰/偏航程序角隨時間的變化曲線

圖4　變射面飛行全彈道俯仰/偏航角隨時間的變化曲線

圖5　變射面飛行彈道在地心直角坐標系下的曲線圖

5結束語

文中提出了一種地地導彈變射面飛行程序設計方法,能夠快速優(yōu)化設計出射面變換飛行段的俯仰/偏航飛行程序,為導彈變射面飛行提供了控制基準,并能夠有效節(jié)省發(fā)動機能量用于實際飛行彈道偏差的修正。后續(xù),在完成變射面飛行程序設計研究后,將開展變射面飛行的制導控制技術研究,為變射面飛行的實現提供技術支撐。

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