宋慧超 叢夢(mèng)龍 孫丹丹

摘 要：在確定性輸入信號(hào)作用下的集總參數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)，包括連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)。在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析中，由于激勵(lì)信號(hào)的加入，系統(tǒng)狀態(tài)在零時(shí)刻可能發(fā)生跳變，從而無(wú)法利用原有的起始儲(chǔ)能確定系統(tǒng)響應(yīng)的初值，為系統(tǒng)分析增加了難度。針對(duì)于此，文中提出了解決零點(diǎn)跳變的兩種方法：沖激函數(shù)匹配法與拉普拉斯變換法。從時(shí)域、頻域角度，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證討論了兩種方法各自的特點(diǎn)，對(duì)理解信號(hào)與系統(tǒng)理論的基本概念與分析方法有一定幫助。

關(guān)鍵詞：時(shí)域分析 拉普拉斯變換 0-狀態(tài) 0+狀態(tài)

中圖分類號(hào)：TP31 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）10（a）-0038-02

Research on the Problem of Initial State Change in LTI System

Song Huichao Cong Menglong Sun Dandan

（College of Physics and Electronic Information， Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao Inner Mongolia，028000，China）

Abstract：Under the action of deterministic input signals，the lumped parameter linear time-invariant system is called LTI system for short，which includes continuous-time system and discrete-time system.In the continuous time system analysis， the system state may change at the initial moment because of the excitation signal.We can not use the original starting storage to determine the initial value of the system response，which adds difficulty to the system analysis.Two methods are proposed to solve the problem：Impulse function matching method and method of Laplace transform. The characteristics of the two methods are described by examples from time domain and frequency domain.It helps us to understand the basic concepts and analysis methods of signal and system theory.

Key Words：Time-domain analysis；Laplace transform；State of 0-；State of 0+

在信號(hào)與系統(tǒng)的研究中，線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，輸出響應(yīng)通過(guò)求解微分方程得出?；窘夥ㄊ菚r(shí)域經(jīng)典法，它將方程的完全響應(yīng)分為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)[1]，其中自由響應(yīng)是指函數(shù)的線性組合，通過(guò)齊次方程的特征根確定，而強(qiáng)迫響應(yīng)與輸入激勵(lì)有關(guān)，可通過(guò)方程自由項(xiàng)得出。但僅憑微分方程和輸入激勵(lì)是無(wú)法得到最終的完全響應(yīng)的，還需要一組求解區(qū)間內(nèi)的邊界條件，用以確定完全響應(yīng)中的未知常數(shù)A，這組邊界條件我們稱之為初始條件。由于輸入激勵(lì)在零時(shí)刻加入，常使初始條件在瞬間（即零點(diǎn)）發(fā)生變化，為系統(tǒng)分析帶來(lái)一定麻煩，當(dāng)零點(diǎn)跳變存在時(shí)，如何求出系統(tǒng)的完全響應(yīng)一直是系統(tǒng)分析中的難點(diǎn)，也是該文的研究重點(diǎn)。

1 0-到0+狀態(tài)的跳變

在系統(tǒng)分析中，常認(rèn)為激勵(lì)信號(hào)是在t=0時(shí)刻加入的，完全響應(yīng)區(qū)間定義為。如果在激勵(lì)加入前的瞬時(shí)，系統(tǒng)完全響應(yīng)的狀態(tài)定為，這組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（即狀態(tài)），它表示在激勵(lì)加入前，系統(tǒng)原有的起始儲(chǔ)能情況。激勵(lì)信號(hào)加入的瞬時(shí)，起始狀態(tài)在到時(shí)刻可能發(fā)生跳變，跳變后的狀態(tài)定為，稱為初始條件（即狀態(tài)）[2]。在用時(shí)域經(jīng)典法求解系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)，必須通過(guò)系統(tǒng)的起始儲(chǔ)能（狀態(tài)）和激勵(lì)求出初始條件（狀態(tài)），從而確定完全響應(yīng)的待定系數(shù)A。為了從線性角度更好的理解LTI系統(tǒng)，我們常將完全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，其中，沒(méi)有外加激勵(lì)作用，僅由系統(tǒng)的起始儲(chǔ)能（狀態(tài)）引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)；沒(méi)有起始儲(chǔ)能，完全由激勵(lì)信號(hào)引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。以下的討論都以這種分解方法為準(zhǔn)。

2 沖激函數(shù)匹配法

從時(shí)域角度看，當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)到狀態(tài)有無(wú)跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含沖激函數(shù)δ（t）及其各階導(dǎo)數(shù)，如果包含說(shuō)明狀態(tài)到狀態(tài)發(fā)生跳變，，這時(shí)確定可用沖激函數(shù)匹配法。其原理為t=0時(shí)方程左右兩端沖激函數(shù)δ（t）及其各階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)相等[3]。下面通過(guò)實(shí)例具體分析。

【例】已知一LTI系統(tǒng)微分方程為，激

勵(lì)信號(hào)，起始狀態(tài)，，試求出它的完全響應(yīng)及零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)。

解：（1）零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)是方程齊次解的一部分，其形式為，其中α為特征根。

已知系統(tǒng)的特征方程為，

則特征根為

初步確定：

（1）

其中待定系數(shù)A須通過(guò)初始條件（狀態(tài)）確定。由于無(wú)外加激勵(lì)作用，系統(tǒng)在t=0時(shí)刻沒(méi)有跳變，由題給條件可知

（2）

將式（2）代入式（1）得出：

（2）零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)由齊次解的另一部分（形式與零輸入響應(yīng)相同）與特解構(gòu)成的，因此可以初步判定：

（3）

其中可通過(guò)自由項(xiàng)得出，而待定系數(shù)B由初始條件（狀態(tài)）確定。

①的求解：將激勵(lì)信號(hào)代入微分方程右端，得出

當(dāng)時(shí)自由項(xiàng)為0，因此特解=0。

②狀態(tài)的判斷：由于等式右端自由項(xiàng)含δ（t），在零點(diǎn)產(chǎn)生跳變，即，。同時(shí)對(duì)于來(lái)說(shuō)，不考慮起始儲(chǔ)能，認(rèn)為。那么初始條件需用沖激函數(shù)匹配法來(lái)確定[4]。

在t=0時(shí)刻，方程右端包含沖激函數(shù)δ（t），根據(jù)方程左右兩端沖激函數(shù)δ（t）及其各階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)相等，可以斷定中必定包含δ（t），由此推出包含，其中，稱為單位跳變函數(shù)[5]，指由于函數(shù)內(nèi)部包含階躍信號(hào)，在零時(shí)刻產(chǎn)生的從0到1的跳變。在零時(shí)刻不含沖激信號(hào)及單位跳變函數(shù)，因此對(duì)于t=0時(shí)刻，可設(shè)

（4）

將式（4）帶入原微分方程得：，解出：a=1

在t=0時(shí)刻，沒(méi)有跳變，但中包含了一個(gè)，從狀態(tài)到狀態(tài)產(chǎn)生了一個(gè)單位跳變。因此

（5）

將式（5）代入式（3）可以得出：

零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相加可以得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)

通過(guò)以上例子看出，對(duì)于存在零點(diǎn)跳變的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從時(shí)域角度利用沖激函數(shù)匹配法求解初始條件（狀態(tài)），進(jìn)而確定完全響應(yīng)的方法是特別復(fù)雜難懂的。下面給出另一種系統(tǒng)分析方法——拉普拉斯變換法，從頻域角度去分析系統(tǒng)，可以越過(guò)零點(diǎn)跳變問(wèn)題直接求出系統(tǒng)響應(yīng)。

3 拉普拉斯變換法

拉普拉斯變換（以下簡(jiǎn)稱拉氏變換）是由傅里葉變換演化而來(lái)的，其性質(zhì)、定義與傅里葉變換類似，拉氏變換建立了時(shí)域與復(fù)頻域（s域）間的聯(lián)系，變換式更為簡(jiǎn)潔。利用拉氏變換求解微分方程，原有的微積分運(yùn)算被轉(zhuǎn)換成了乘除法運(yùn)算，微分方程化為了代數(shù)方程，求解步驟得到簡(jiǎn)化。

為便于研究零點(diǎn)跳變的問(wèn)題，我們規(guī)定單邊拉氏變換的積分下限從時(shí)刻開(kāi)始，將沖激信號(hào)δ（t）在零時(shí)刻的作用直接考慮在變換之中。系統(tǒng)分析過(guò)程中，可以直接利用起始儲(chǔ)能的狀態(tài)來(lái)求得系統(tǒng)響應(yīng)，無(wú)需再考慮到狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。

仍以上題為例，對(duì)微分方程兩端同時(shí)求拉氏變換[6]，根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)，可以得出

（6）

將式（6）代入原方程后，時(shí)域微分方程變?yōu)榱藦?fù)頻域（s域）的代數(shù)方程。

整理得：

（7）

可以看出，在式（7）系統(tǒng)響應(yīng)的拉氏變換中，前一部分只與在時(shí)刻狀態(tài)（起始儲(chǔ)能）有關(guān)，與激勵(lì)無(wú)關(guān)，是零輸入響應(yīng)，記為；后一部分只與激勵(lì)有關(guān)，不考慮起始儲(chǔ)能的影響，是零狀態(tài)響應(yīng)，記為。

根據(jù)題給條件，可以求出兩者的拉氏變換，，

分別求拉氏逆變換得：

，

相加得出系統(tǒng)完全響應(yīng)

此結(jié)果與時(shí)域分析中得到的系統(tǒng)響應(yīng)完全相同，但運(yùn)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。

4 結(jié)語(yǔ)

從以上分析可以看出，用時(shí)域方法研究零點(diǎn)跳變問(wèn)題，雖然有些復(fù)雜，但物理概念清晰，能幫助我們更好的理解信號(hào)處理過(guò)程。利用拉氏變換從復(fù)頻域角度分析，則可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，不需要考慮零點(diǎn)跳變，直接利用時(shí)刻狀態(tài)（起始儲(chǔ)能）得出系統(tǒng)響應(yīng)。該文通過(guò)實(shí)例討論，從時(shí)域、頻域角度總結(jié)了系統(tǒng)分析的基本解法，對(duì)深入認(rèn)識(shí)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零點(diǎn)跳變問(wèn)題有一定的參考價(jià)值。

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