段復(fù)建(1965-),女，黑龍江黑河人，博士，桂林電子科技大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

一類捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食模型的穩(wěn)定性分析

袁媛1,段復(fù)建2

(1.桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部,廣西 桂林541004; 2.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林541004)

摘要:文章考慮捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食模型,通過研究模型雅克比矩陣的特征方程得到所有非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,并得到Hopf分支存在性的充分條件;利用比較原理并構(gòu)造Lyapunov函數(shù)得到邊界平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性;運(yùn)用迭代方法與比較原理得到正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定的充分條件。

關(guān)鍵詞:階段結(jié)構(gòu);時(shí)滯;捕食模型;全局穩(wěn)定性;Hopf分支

收稿日期：2013-12-27；修回日期：2014-04-10

基金項(xiàng)目：廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2011GXNSFA018138);廣西高校科研資助項(xiàng)目(LX2014469)

作者簡介：袁媛(1982-),女，四川自貢人，桂林航天工業(yè)學(xué)院講師;

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.01.030

中圖分類號:O29 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Stabilityanalysisofadelayedpredator-prey

modelwithstagestructureforpredator

YUANYuan1,DUAN Fu-jian2

(1.FacultyofScience,GuilinUniversityofAerospaceTechnology,Guilin541004,China; 2.SchoolofMathematicsandComputingScience,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin541004,China)

Abstract:A delayed predator-prey model with stage structure for predator is considered. By studying the characteristic equation of the Jacobian matrix, the local stability of all the non-negative equilibria is obtained as well as the sufficient conditions for the existence of Hopf bifurcation. And by using comparison arguments and Lyapunov functions, the global stability of the boundary equilibrium is investigated. Moreover, the sufficient conditions of the global asymptotic stability of the positive equilibrium are derived by using iteration technique and comparison arguments.

Keywords:stagestructure;timedelay;predator-preymodel;globalstability;Hopfbifurcation

0引言

捕食者-食餌模型是種群動力學(xué)中的基本模型,通常研究者假設(shè)所有的捕食者具有捕食能力和生育能力,這對大多數(shù)物種來說是不現(xiàn)實(shí)的。實(shí)際上,很多物種在成長過程中至少要經(jīng)歷2個(gè)階段:幼年和成年。因此近年來考慮食餌或捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型備受關(guān)注[1-6]。但是大多數(shù)捕食者在捕食食餌時(shí)是不管食餌年齡大小的,而捕食者在不同的年齡段生理機(jī)能如捕食率、繁殖率等有很大的差異,因此在捕食模型中考慮捕食者的階段結(jié)構(gòu)具有現(xiàn)實(shí)意義。

另一方面,捕食者捕食食餌后并不會立即轉(zhuǎn)化為自身的營養(yǎng),需要一段時(shí)間才能轉(zhuǎn)化,即存在時(shí)滯。一般地,時(shí)滯微分方程比常微分方程有更復(fù)雜的動力學(xué)行為,因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)滯能引起穩(wěn)定的平衡點(diǎn)變得不穩(wěn)定,并能引起捕食系統(tǒng)出現(xiàn)周期振蕩的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[7]提出了具有捕食時(shí)滯和消化時(shí)滯的食餌具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型,通過研究得到了非負(fù)平衡點(diǎn)的局部與全局穩(wěn)定性、Hopf分支的存在性等充分條件。

基于上述思想,本文改進(jìn)文獻(xiàn)[8]的捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食模型,假設(shè)捕食者分為幼年與成年兩類,成年捕食者具有捕食能力,成年捕食者捕食食餌后一方面會降低食餌種群的增長率,另一方面通過消化轉(zhuǎn)化為自身的營養(yǎng)用于自身成長與繁殖后代,為此引入捕食時(shí)滯和消化時(shí)滯,具體模型如下:

(1)

在模型(1)式中,y(t)、z(t)分別為t時(shí)刻食餌、幼年捕食者、成年捕食者的密度;r為食餌種群的內(nèi)稟增長率;η1、η2為食餌、成年捕食者的種內(nèi)競爭率;d1、d2為幼年捕食者與成年捕食者的死亡率;c為捕食者從幼年個(gè)體向成年個(gè)體的轉(zhuǎn)化率;a1為成年捕食者的捕食率;a2/a1為成年捕食者轉(zhuǎn)化為自身營養(yǎng)用于繁殖的轉(zhuǎn)化率;τ1為捕食時(shí)滯, 即單位時(shí)間內(nèi)成年捕食者需要經(jīng)過τ1的時(shí)滯才具有降低食餌種群平均增長率的能力;τ2為成年捕食者捕食食餌后需要消化為自身營養(yǎng)的時(shí)滯。以上參數(shù)都是正常數(shù)。

模型(1)式的初始條件為:

(2)

1局部穩(wěn)定性與Hopf分支

當(dāng)a2rc>η1d2(d1+c)時(shí),正平衡點(diǎn)E*(x*,y*,z*)存在。

(3)

在E0(0,0,0)處,特征方程(3)式簡化為：

可見一個(gè)正實(shí)根為λ1=r>0,其余2個(gè)根為負(fù)實(shí)數(shù),故E0(0,0,0)總是不穩(wěn)定的。

其中,λ1=-r<0;λ2+λ3<0;λ2λ3=d2(d1+c)-a2rc/η1。故當(dāng)η1d2(d1+c)>a2rc時(shí),E1(r/η1,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的, 當(dāng)η1d2(d1+c)

在E*(x*,y*,z*)處,(3)式簡化為:

(4)

其中,τ=τ1+τ2;p2=η1x*+d1+c+d2+2η2z*>0;p1=η1x*(d1+c+d2+2η2z*)+η2z*(d1+c)>0;p0=η1η2(d1+c)x*z*>0;q0=a1a2cx*z。

當(dāng)τ=0時(shí),特征方程為λ3+p2λ2+p1λ+(p0+q0)=0,顯然,p0+q0>0,p2>0均成立。經(jīng)計(jì)算有:

因此由Routh-Hurwitz定理可知:當(dāng)τ=0時(shí),如果η1η2(d1+c)>a1a2c成立,E*是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)τ>0時(shí),設(shè)iω(ω>0)是方程(4)式的一個(gè)根,則iω滿足等式, 代入分離實(shí)部與虛部得到:

(5)

(5)式中2個(gè)等式平方后相加得:

(6)

經(jīng)過簡單計(jì)算有:

進(jìn)一步, 對(4)式左右兩邊關(guān)于τ求導(dǎo),得到:

解出：

因此有：

于是,總結(jié)以上的論證過程有定理1。

定理1對模型(1)式來說, 有如下結(jié)論:

(1) E0(0,0,0)總是不穩(wěn)定的。

(2) 當(dāng)η1d2(d1+c)>a2rc時(shí),E1(r/η1,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)η1d2(d1+c)

2全局穩(wěn)定性

引理1模型(1)式滿足初始條件(2)式的解都是非負(fù)的。

引理2考慮模型:

(7)

有如下結(jié)論:

(1) 當(dāng)η1d2(d1+c)>a2rc時(shí), 模型(7)式的平衡點(diǎn)(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的。

(2) 當(dāng)η1d2(d1+c)

證明經(jīng)計(jì)算(7)式的雅克比矩陣的特征方程容易得到: 當(dāng)η1d2(d1+c)>a2rc時(shí), (0,0)是唯一的非負(fù)平衡點(diǎn)且是局部漸近穩(wěn)定的,進(jìn)而是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)η1d2(d1+c)

定義Lyapunov函數(shù)如下：

其中，k1=1;k2=a2rv*/(η1cu*)。

沿著模型(7)式的任意解,V(t)對t求導(dǎo):

即

(8)

(8)式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)u=u*,v=v*。由文獻(xiàn)[9]中定理6.3可知, 所有的解都趨近于最大的不變子集{V′(t)=0}。因此, 由LaSalle不變性原理可得(u*,v*)是全局漸近穩(wěn)定的。

定理2如果η1d2(d1+c)>a2rc成立, 則邊界平衡點(diǎn)E1(r/η1,0,0) 是全局漸近穩(wěn)定的。

考慮模型(1)式中后2個(gè)等式的輔助系統(tǒng):

(9)

定理3如果η1d2(d1+c)a1a2c成立,則E*是全局漸近穩(wěn)定的。

由引理2與比較原理可知,

因?yàn)棣懦浞中?所以有：

對充分小的ε>0, 當(dāng) t>T2+τ2時(shí),模型(1)式的后2個(gè)方程變?yōu)?

由引理2與比較原理可得：

因?yàn)棣?0充分小, 所以有：

心理數(shù)字線假說的最大特點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)數(shù)量表征的先天性，獨(dú)立于言語，與空間注意有關(guān)。大腦不同區(qū)域具有功能特異性，頂葉皮層主要參與空間注意、空間工作記憶、視空搜索等任務(wù)。如果數(shù)量任務(wù)能同樣激活頂葉皮層區(qū)域興奮，就可以建立數(shù)量表征與空間知覺神經(jīng)機(jī)制上的關(guān)聯(lián)。

通過比較論證得:

對充分小的ε>0, 當(dāng)t>T4+τ1時(shí), 模型(1)式的后2個(gè)方程有如下形式:

由引理2和比較原理可得：

因?yàn)棣?0充分小, 所以有：

(10)

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(責(zé)任編輯張镅)