王彥軍，魏 煒

（寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，福建 福安 355000）

0 引言

據(jù)統(tǒng)計，在減速器故障中，齒輪失效占整個機(jī)械傳動失效的60%以上，其中齒面損壞是齒輪失效的主要原因之一［1］。減速器在工作過程中，傳動齒輪受到外部周期性載荷作用，在額定轉(zhuǎn)速內(nèi)有可能發(fā)生強(qiáng)烈的共振，動應(yīng)力急劇增加，致使齒輪過早出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)疲勞和彎曲疲勞，最終引起輪齒折斷。在齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計和計算中，靜力學(xué)計算不能完全滿足設(shè)計要求，因此要對其做必要的模態(tài)分析，確定結(jié)構(gòu)的振動特性，獲得其固有頻率、振型等參數(shù)。通過模態(tài)分析找出結(jié)構(gòu)設(shè)計中的薄弱環(huán)節(jié)，避免齒輪在外部載荷作用下產(chǎn)生共振。本文應(yīng)用有限元軟件ANSYS Workbench對減速器標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪進(jìn)行模態(tài)分析。

1 齒輪模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

模態(tài)分析可以確定一個結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，而固有頻率和振型是承受動態(tài)載荷結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要參數(shù)。根據(jù)模態(tài)分析理論［2］，可得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

其中：M、C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；、和X分別為齒輪振動加速度、速度和位移向量；f（t）為齒輪所受外界激勵列陣。在求齒輪自由振動的模態(tài)參數(shù)時，阻尼對它們影響不大，因此，可以作為無阻尼振動問題來處理［3］，則具有n個自由度的無阻尼振動系統(tǒng)的振動微分方程為：

假設(shè)沒有外力作用，即f（t）＝0，則得：

設(shè)特解X＝φejωt（φ為自由響應(yīng)的幅值列陣，ω為固有頻率），代入式（3）得：

式（4）有非零解的充要條件是：

將式（5）展開，可得到關(guān)于ω2的n次代數(shù)方程，該方程為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征方程，設(shè)該方程無重根，通過數(shù)值計算方法解此方程可得n個無異正根，即為特征值，而ω1，ω2，…，ωn即為振動頻率。將各階振動頻率ωi（i＝1，2，…，n）分別代入式（4），得到關(guān)于φi的齊次線性方程組，解此方程組得n個線性無關(guān)的非零矢量φi的比例解，經(jīng)歸一化后對應(yīng)的矢量為：

φi即為對應(yīng)振動頻率ωi下的模態(tài)，即為固有振型（也稱主振型）。

2 直齒圓柱齒輪有限元模型的建立

根據(jù)減速器齒輪工作要求，確定齒輪的相關(guān)參數(shù)如下：齒頂圓直徑為Φ261mm、齒根圓直徑為Φ245 mm、齒數(shù)為87、齒厚為60mm，中間輻板厚度為22mm，齒輪材料為45鋼。

2.1 齒輪實體模型的建立

ANSYS Workbench軟件可以實現(xiàn)與外部CAD軟件的無縫對接，可以直接從外部CAD軟件讀取文件，而且具有雙向關(guān)聯(lián)性，即同時打開其他外部CAD類建模工具和ANSYS Workbench中的Design Modeler模塊，當(dāng)外部CAD中的模型發(fā)生變化時，Design Modeler中的模型只要刷新便可同步更新，同樣當(dāng)Design Modeler中的模型發(fā)生變化時也只要通過刷新，則CAD中的模型也可同步更新［4］。因此，在建模過程中，為了保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，降低誤差，可以直接在外部CAD軟件中建模，通過無縫對接導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件中進(jìn)行有限元分析。本文應(yīng)用Pro/E軟件進(jìn)行直齒圓柱齒輪建模，導(dǎo)入ANSYS Workbench后進(jìn)行有限元模態(tài)分析，以充分發(fā)揮兩個軟件的長處，更好滿足設(shè)計要求。

根據(jù)減速器齒輪參數(shù)及設(shè)計要求，在Pro/E軟件中對齒輪進(jìn)行全參數(shù)化建模，其具體過程為：①設(shè)置齒輪基本參數(shù)和關(guān)系式；②繪制基本圓（即根據(jù)齒輪關(guān)系式繪制基圓、齒根圓、齒頂圓和分度圓）；③創(chuàng)建漸開線；④拉伸形成實體（包括齒根圓實體和齒輪的一個齒形實體）；⑤陣列輪齒；⑥繪制其他特征（包括齒輪的中間孔、鍵槽和小孔等）。完成后的齒輪三維參數(shù)化模型如圖1所示。將建好的參數(shù)化模型保存后，通過Pro/E與ANSYS Workbench無縫接口將模型導(dǎo)入，然后定義材料屬性、劃分網(wǎng)格、定義邊界條件并進(jìn)行求解。

2.2 齒輪模態(tài)分析前處理

在ANSYS Workbench中對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析，需要在模型導(dǎo)入軟件后，進(jìn)行必要的前處理，主要包括定義材料屬性、劃分網(wǎng)格、定義邊界條件等。

2.2.1 設(shè)置材料屬性

進(jìn)行模態(tài)分析需要根據(jù)齒輪工作要求設(shè)置材料屬性，包括彈性模量、泊松比和材料密度等參數(shù)。該齒輪為二級齒輪減速器的傳動零件，根據(jù)設(shè)計要求，齒輪材料選用45鋼，其彈性模量E＝2.06×1011Pa，泊松比μ＝0.3，材料密度ρ＝7 800kg/m3。

2.2.2 網(wǎng)格劃分

在模型創(chuàng)建后和分析計算前，有一項重要的工作就是對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分的好壞直接關(guān)系到求解的準(zhǔn)確度及求解的速度。在ANSYS Workbench中對于齒輪實體主要采用自由網(wǎng)格劃分，在劃分過程中設(shè)置單元的最大邊長為3mm，細(xì)化網(wǎng)格，最后劃分的節(jié)點(diǎn)數(shù)為295 913，單元數(shù)為189 394。圖2為劃分網(wǎng)格后的齒輪有限元模型。

圖1 齒輪三維參數(shù)化實體模型

圖2 齒輪有限元模型

2.2.3 定義邊界條件

對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析的目的是計算齒輪處于自由狀態(tài)時各階固有頻率和對應(yīng)的振型，所以不施加外載荷，只需對內(nèi)孔圓柱面進(jìn)行自由度約束，ANSYS Workbench中，通過Fixed Support并選取齒輪內(nèi)孔圓柱面即可完成約束條件的施加。

3 直齒圓柱齒輪模態(tài)分析

對于模態(tài)分析，階數(shù)越低影響越大，10階以后的高階模態(tài)對齒輪的動態(tài)性能影響很小，通常提取前5階～10模態(tài)即可滿足齒輪精度設(shè)計要求［5］，本文提取齒輪的前6階固有頻率和振型。在ANSYS Workbench軟件中，將模態(tài)分析選項“Max Modes to Find”設(shè)置為6階，“Deformation”選擇Total選項，然后單擊工具欄中的Solve按鈕開始求解，最終得到齒輪前6階固有頻率（見表1）和前6階模態(tài)振型圖（如圖3所示）。

表1 直齒圓柱齒輪前6階固有頻率

通過分析齒輪各階模態(tài)振型圖可知：1階和2階模態(tài)振型基本相同，分別為繞X軸與繞Y軸的彎曲變形，為一階彎曲振型；3階和4階模態(tài)在軸向產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，為扭振型，同時徑向產(chǎn)生對稱彎曲變形；5階模態(tài)主要表現(xiàn)為齒輪沿軸向收縮呈“傘”狀，為傘型振動；6階模態(tài)在軸向基本無振動，端面上為比較規(guī)則的圓周方向的多邊形振型，為圓周振。

圖3 直齒圓柱齒輪的前6階模態(tài)振型圖

齒輪模態(tài)分析中，振型大小只是一個相對的量值，僅表示出該階固有振動情況下結(jié)構(gòu)上相對振動的大小，并不是各點(diǎn)振動的實際值，各階振動的詳細(xì)情況可以查看各階固有頻率對應(yīng)的振型圖［6］。通過齒輪系統(tǒng)的模態(tài)分析可知：在齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計中，應(yīng)避開系統(tǒng)的固有頻率，從而避免齒輪在工作中發(fā)生共振而使傳動系統(tǒng)產(chǎn)生故障。

4 結(jié)論

（1）應(yīng)用Pro/E軟件建立了直齒圓柱齒輪的參數(shù)化模型，通過與ANSYS Workbench的無縫接口將其導(dǎo)入并進(jìn)行模態(tài)分析，得出齒輪的固有頻率和振型圖。

（2）利用ANSYS Workbench對齒輪三維參數(shù)化模型進(jìn)行模態(tài)分析，方法簡便，可以直接看出齒輪設(shè)計能否滿足模態(tài)分析的要求。通過對齒輪的模態(tài)分析，設(shè)計人員可以直觀地了解齒輪各階固有特性，為后續(xù)動態(tài)分析提供了依據(jù)。

［1］濮良貴，陳國定，吳立言.機(jī)械設(shè)計［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［2］傅志方，華宏星.模態(tài)分析理論與應(yīng)用［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2000.

［3］王勖成.有限單元法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

［4］呂建國，康士廷.ANSYS Workbench 14有限元分析自學(xué)手冊［M］.北京：人民郵電出版社，2013.

［5］陳紅霞，王銳，李華雷，等.Pro/E和Workbench在直齒錐齒輪設(shè)計中的應(yīng)用［J］.機(jī)械工程與自動化，2013（4）：50-54.

［6］鐘軍，劉志峰，王雁，等.基于有限元方法的直齒輪傳動系統(tǒng)的模態(tài)仿真分析［J］.機(jī)械設(shè)計與制造，2013（6）：218-220.