王 欽，楊慶東

（北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192）

0 引言

齒槽轉(zhuǎn)矩是產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的主要因素之一，數(shù)控磨床轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)有較高要求，因此削弱電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)提高磨床轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)精度具有重要意義。國(guó)內(nèi)外學(xué)者為削弱齒槽轉(zhuǎn)矩總結(jié)了許多方法［1－4］，本文基于能量法和傅里葉級(jí)數(shù)解析法提出了一種盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的計(jì)算方法，并利用有限元分析工具Ansoft Maxwell建立盤(pán)式電機(jī)模型和外轉(zhuǎn)子電機(jī)模型，通過(guò)對(duì)比分析驗(yàn)證盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)峰值較小的優(yōu)勢(shì)。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算表達(dá)式

1.1 齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機(jī)理

盤(pán)式力矩電機(jī)主要磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，它由定子和轉(zhuǎn)子構(gòu)成。定子由沖卷機(jī)一邊沖孔一邊沿Z軸卷制而成，由于現(xiàn)有繞線技術(shù)的限制，定子必須要有齒槽，方便導(dǎo)線嵌入；轉(zhuǎn)子由永磁體和磁軛組成，每一塊磁鐵均為扇形，N極、S極交替排列。盤(pán)式力矩電機(jī)磁場(chǎng)方向如圖2所示，沿Z軸方向，即電機(jī)軸向方向。根據(jù)相互作用力原理，轉(zhuǎn)子和定子所受齒槽力大小相等、方向相反，因此分析定子鐵芯的受力情況即可得到電機(jī)的轉(zhuǎn)子受力情況，進(jìn)而得到電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。

轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，永磁體與定子齒槽產(chǎn)生非線性吸引，力F均勻分布在齒上，轉(zhuǎn)軸垂直于X－Y平面，單齒輸出齒槽轉(zhuǎn)矩T是由受力大小相同、半徑不同的扭矩疊加形成，電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩是由所有齒的齒槽轉(zhuǎn)矩疊加而成。齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)峰值在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)表現(xiàn)為振動(dòng)，當(dāng)磨床轉(zhuǎn)臺(tái)小切削量精加工外圓面，齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)峰值產(chǎn)生的振動(dòng)與磨削顫振共振時(shí)，就會(huì)在磨削表面產(chǎn)生明顯波紋。

圖1 盤(pán)式力矩電機(jī)磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)

圖2 盤(pán)式力矩電機(jī)磁場(chǎng)方向

1.2 盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式

根據(jù)能量法［5］，齒槽轉(zhuǎn)矩是由轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)電機(jī)能量的變化引起的。忽略永磁體和鐵芯的能量變化，假定盤(pán)式力矩電機(jī)永磁體磁感線穿過(guò)的面為矩形，建立的齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為：

其中：α為轉(zhuǎn)子位置，即永磁體中心線與齒中心線夾角；Wairgap為氣隙磁場(chǎng)能量；μ0為空氣磁導(dǎo)率；θ為轉(zhuǎn)子角度；G（θ）為氣隙相對(duì)磁導(dǎo)率；B（θ，α）為無(wú)槽時(shí)氣隙磁密分布；V為求解區(qū)域。

其中：Vairgap為氣隙體積；BanNL和GanNL均為傅里葉系數(shù)；n為一個(gè)整數(shù)；NL為Ns和Np的最小公倍數(shù)。

氣隙體積由下式計(jì)算：

其中：R1為定子內(nèi)半徑；R2為定子外半徑；g為氣隙。

根據(jù)磁路定律，計(jì)算式（5）中的氣隙磁密Bδ的公式為：

其中：Br為剩磁密度；kml為考慮永磁體間漏磁后的系數(shù)。計(jì)算kml的方程為：

其中：Pg為一個(gè)極下氣隙磁導(dǎo)；Pm為永磁體磁導(dǎo)；Pml為永磁體間的漏磁。上述幾個(gè)量的計(jì)算方程為：

其中：wm為永磁體寬度；LFe為永磁體長(zhǎng)度；wf為永磁體間的寬度。

將式（9）～（11）代入式（8）得到kml，將式（8）代入式（7）得到Bδ，將式（7）代入式（5）得到BanNL，將式（4）～式（6）代入式（2）得到徑向磁場(chǎng)盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩Tcog（α）的表達(dá)式：

從以上分析可以看出，氣隙體積Vairgap、氣隙磁密Bδ是影響齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)幅值的重要因素；極數(shù)和槽數(shù)的最小公倍數(shù)NL、極弧系數(shù)αp是影響齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率的重要因素。在設(shè)計(jì)電機(jī)時(shí)應(yīng)盡量減小氣隙g以降低齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)最大值；在選取極槽配合參數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮電機(jī)工況，避開(kāi)共振頻率。氣隙磁密Bδ是永磁體能量的表現(xiàn)形式，氣隙磁密越大，電機(jī)磁能越大，輸出扭矩的能力越大，通過(guò)優(yōu)化極弧系數(shù)在保證氣隙磁密正弦分布的同時(shí)也可改善齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)。

由于本文采用的能量法解析計(jì)算模型將平底槽型簡(jiǎn)化成矩形，假定氣隙磁密為矩形，磁通集中存在于齒部，實(shí)際上槽口處也存在磁通，使得計(jì)算結(jié)果偏小。

2 計(jì)算與仿真

為證明盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩較小的優(yōu)勢(shì)，本文以外轉(zhuǎn)子力矩電機(jī)作為對(duì)比對(duì)象進(jìn)行分析。電機(jī)主要參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)主要參數(shù)表

將兩個(gè)電機(jī)參數(shù)代入式（12），計(jì)算結(jié)果如圖3所示。因盤(pán)式力矩電機(jī)的氣隙體積Vairgap較小，所以齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)峰值較小。

使用有限元工具Ansofe Maxwell建立電機(jī)仿真模型。根據(jù)電磁場(chǎng)的對(duì)稱分布原理，計(jì)算一個(gè)對(duì)稱單元即可，即1/6個(gè)電機(jī)。因磁場(chǎng)方向?yàn)檩S向，2D切面無(wú)法完整反映電磁分布，所以盤(pán)式力矩電機(jī)要用3D仿真模型進(jìn)行計(jì)算，但外轉(zhuǎn)子電機(jī)使用2D仿真模型即可。有限元模型參數(shù)設(shè)定如表2所示。

圖3 齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式計(jì)算對(duì)比

表2 有限元模型參數(shù)設(shè)定表

通過(guò)多次仿真發(fā)現(xiàn)，將外轉(zhuǎn)子電機(jī)2D模型Max Length（最大長(zhǎng)度）設(shè)定為0.5mm，Normal Deviation（正態(tài)偏差）設(shè)定為0.2°是最佳值，此時(shí)增大網(wǎng)格數(shù)量仿真波形變化不明顯，已經(jīng)達(dá)到了有限元計(jì)算的最佳精度。

3D運(yùn)算量比2D大很多，為達(dá)到3D最佳運(yùn)算精度，需找到電腦性能所能承受的最大值，經(jīng)過(guò)多次嘗試發(fā)現(xiàn)，盤(pán)式力矩電機(jī)Max Length（最大長(zhǎng)度）設(shè)定為2mm，Normal Deviation（正態(tài)偏差）設(shè)定為5°～10°是極限值，如果再增大網(wǎng)格數(shù)量，電腦就會(huì)內(nèi)存不足無(wú)法運(yùn)算，如果減小網(wǎng)格數(shù)量，波形趨勢(shì)基本不變，能夠滿足運(yùn)算精度。齒槽轉(zhuǎn)矩有限元計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

理論計(jì)算與有限元仿真結(jié)果對(duì)比如表3所示。從表3中可以看出，兩種計(jì)算方法得出的結(jié)果都顯示盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩較小，理論計(jì)算結(jié)果顯示盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩比外轉(zhuǎn)子力矩電機(jī)減小24.5%。有限元計(jì)算結(jié)果較為精確，結(jié)果顯示盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩比外轉(zhuǎn)子力矩電機(jī)減小28.9%，η1與η2相差4.4%，由此證明式（12）能夠在一定程度上反映齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的規(guī)律，但是由于模型簡(jiǎn)化較多，幅值誤差較大。

圖4 齒槽轉(zhuǎn)矩有限元計(jì)算結(jié)果

表3 理論計(jì)算與仿真結(jié)果對(duì)比表

3 結(jié)論

本文推導(dǎo)了盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)表達(dá)式，建立有限元模型對(duì)盤(pán)式力矩電機(jī)和外轉(zhuǎn)子力矩電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)進(jìn)行了對(duì)比仿真計(jì)算。仿真結(jié)果表明，在槽型結(jié)構(gòu)、永磁體間隙、定子沖片外形尺寸相同的條件下，盤(pán)式力矩電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)幅值減小25%，氣隙體積Vairgap是影響齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)峰值的重要因素。為提高轉(zhuǎn)臺(tái)加工精度，減小齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，可將盤(pán)式力矩電機(jī)嵌入轉(zhuǎn)臺(tái)內(nèi)，設(shè)計(jì)電機(jī)時(shí)應(yīng)盡量減小氣隙，以減小轉(zhuǎn)矩波動(dòng)峰值。

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