郭鳳麗, 胡冬生,通訊作者：胡冬生,E-mail：dongshenghu＠nuaa.edu.cn,電話(huà)：3803766, 徐 江（.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院,南京 06；.南京航空航天大學(xué)材料學(xué)院,南京 06）

聲波在雙層非線(xiàn)性介質(zhì)中傳播的二極管現(xiàn)象

郭鳳麗1, 胡冬生1,??通訊作者：胡冬生,E-mail：dongshenghu＠nuaa.edu.cn,電話(huà)：13218037266, 徐 江2
（1.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院,南京 211106；2.南京航空航天大學(xué)材料學(xué)院,南京 211106）

假設(shè)聲波在雙層一維非線(xiàn)性系統(tǒng)中傳播時(shí)線(xiàn)性部分滿(mǎn)足波動(dòng)方程,非線(xiàn)性部分類(lèi)似于非線(xiàn)性薛定諤方程的非線(xiàn)性部分.對(duì)該模型正反兩個(gè)方向分別入射相同的聲波計(jì)算透射率發(fā)現(xiàn)：一定頻率及強(qiáng)度的聲波在模型中具有單向透過(guò)性,表現(xiàn)出聲二極管的行為；隨著非線(xiàn)性強(qiáng)度差異的增強(qiáng),單向?qū)ㄐ燥@著提高.

非線(xiàn)性系統(tǒng)；聲波；整流；二極管

0 引言

作為第一個(gè)對(duì)能量產(chǎn)生整流作用的器件——電子二極管,其發(fā)明具有里程碑式的意義.此后,對(duì)其它運(yùn)動(dòng)形式可能具有二極管現(xiàn)象的研究受到了很大程度的關(guān)注[1－14].二極管現(xiàn)象是指某種形式的能量沿特定的方向可以傳輸,而沿著相反的方向則被阻礙的現(xiàn)象.新加坡的李保文課題組在理論上研究了具有非線(xiàn)性的Frenkel-Kontorova鏈的不對(duì)稱(chēng)熱傳輸現(xiàn)象,提出了可實(shí)現(xiàn)單向熱傳導(dǎo)的“熱二極管”理論模型[1－2].其后,美國(guó)加州州立大學(xué)伯克利分校的Chang等人及日本早稻田大學(xué)的Kobayashi等人通過(guò)實(shí)驗(yàn)制備出了熱整流器件[3－4].2005年,美國(guó)加州州立大學(xué)圣地亞哥分校的 Nesterenko課題組在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了孤立波在通過(guò)由一系列由鋼球組成的非線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)出現(xiàn)了反常的反射現(xiàn)象,實(shí)現(xiàn)了對(duì)孤立波的整流[5].還有學(xué)者用非線(xiàn)性傳輸線(xiàn)作為能量單向傳輸?shù)难芯縖6].在“光二極管”方面,已經(jīng)有了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究.光子晶體是由兩種不同介電材料組成的具有周期性的多層結(jié)構(gòu).在光子晶體中引入缺陷可以使某些頻段光波的透射強(qiáng)度顯著提高[15].基于非線(xiàn)性會(huì)使光子晶體禁帶邊界移動(dòng),Scolora等人于1994年設(shè)計(jì)出第一個(gè)光子晶體全光二極管[7]（即脈沖從正向能夠很好地傳輸,而從相反的方向卻幾乎完全反射）.之后,Mingaleev等人提出一種利用光子晶體線(xiàn)缺陷設(shè)計(jì)全光二極管的設(shè)想[8].2005年,有人提出利用單個(gè)非對(duì)稱(chēng)光子晶體的缺陷來(lái)設(shè)計(jì)全光二極管[9－10].

聲波作為波動(dòng)的一種普遍的存在形式,若能實(shí)現(xiàn)象電子二極管那樣對(duì)聲能量進(jìn)行整流的聲學(xué)器件,會(huì)對(duì)聲學(xué)的理論研究、聲學(xué)的器件制造及應(yīng)用產(chǎn)生重大的影響.由于線(xiàn)性條件下互易原理的限制[12],如何在聲學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)聲整流效應(yīng)始終是一個(gè)難題.在聲學(xué)理論中線(xiàn)性聲學(xué)系統(tǒng)顯然滿(mǎn)足了互易原理,這就決定了在任何一個(gè)線(xiàn)性聲學(xué)系統(tǒng)中聲能量的透射都不會(huì)產(chǎn)生二極管現(xiàn)象.聲波的二極管現(xiàn)象只有在非線(xiàn)性強(qiáng)度不同的多層結(jié)構(gòu)中才可能產(chǎn)生[12].2009年,南京大學(xué)程建春課題組從理論上提出：由超晶格結(jié)構(gòu)與強(qiáng)聲學(xué)非線(xiàn)性媒質(zhì)組成的系統(tǒng)具有聲二極管現(xiàn)象[13],并在2010年成功制造出聲二極管的示意性樣品[14].該樣品由超聲造影劑微泡溶液與一個(gè)超晶格（水與玻璃的層疊）構(gòu)成,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在聲整流頻段內(nèi),聲二極管樣品表現(xiàn)出了極高的整流效率,最大整流比接近1萬(wàn)倍.本文以一個(gè)玩具模型來(lái)演示聲波在非線(xiàn)性系統(tǒng)中傳播時(shí)具有二極管現(xiàn)象,為實(shí)現(xiàn)聲二極管提供一種可能性.

1 模型與方法

研究對(duì)象是兩種非線(xiàn)性材料組成的一維系統(tǒng),如圖1所示.為研究聲波在其中傳播時(shí)的透射性質(zhì),假設(shè)該一維系統(tǒng)的兩端由均勻的線(xiàn)性部分連接,聲波由左端入射右端出射,或由右端入射左端出射.

圖1 兩種非線(xiàn)性材料組成的一維系統(tǒng)的示意圖.1、2兩層是非線(xiàn)性強(qiáng)度不同的材料,左右由線(xiàn)性材料連接Fig.1 Schematic of one-dimensional system consists of two nonlinearmaterials.Layer 1 and Layer 2 are different nonlinearmaterials,which are connected with linearmaterials in both sides

波在兩端均勻的線(xiàn)性部分中滿(mǎn)足波動(dòng)方程

其中η（x）＝e（x）/m是介質(zhì)剛度與平均密度的比值,波函數(shù)Ψ（x,t）時(shí)空分離后可寫(xiě)為：Ψ（x,t）＝ψ（x）e－iωt.在雙層非線(xiàn)性系統(tǒng)中,我們假設(shè)它的非線(xiàn)性部分滿(mǎn)足非線(xiàn)性薛定諤方程的非線(xiàn)性部分,即滿(mǎn)足

其中αi表示第i介質(zhì)層處的非線(xiàn)性強(qiáng)度.

首先用有限差分方法將連續(xù)的線(xiàn)性波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為差分方程.我們把空間進(jìn)行離散化,設(shè)厚度Δx為一個(gè)單位.用Ψn和ηn分別表示離散化后的波函數(shù)和介質(zhì)剛度與平均密度的比值,其中n即為離散化后的編號(hào).用向后一階差商和中心二階差商將方程中空間部分離散化,可得

因此,線(xiàn)性的和非線(xiàn)性的一維離散化的波動(dòng)方程可分別表示成

波在兩端線(xiàn)性區(qū)域中滿(mǎn)足平移對(duì)稱(chēng)性,可以用平面波表示,設(shè)波動(dòng)從左端入射右端出射,則兩端的波函數(shù)可以寫(xiě)成

其中k為波矢,R0,R和T分別代表入射波振幅,反射波振幅和透射波振幅.由方程（5）和平面波函數(shù)（7）,可解出波動(dòng)的色散關(guān)系為

為簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們假設(shè)這兩層非線(xiàn)性材料的厚度相同,且離散化的厚度恰好為一層的厚度.由方程（5）～（8）式可以得到透射率

其中,

如果波動(dòng)從右入射,從左出射,透射系數(shù)的表達(dá)式只需把式（9）～（11）式中的下標(biāo)1、2對(duì)調(diào)即可.

2 結(jié)果和討論

當(dāng)η1＝η2,α1＝α2時(shí),相同的波分別從系統(tǒng)的左端入射右端出射和從右端入射左端出射,從透射系數(shù)式（9）至（11）可以看出它們的透射率是相等的.在這種情況下不會(huì)出現(xiàn)二極管現(xiàn)象.若η1＝η2,α1≠α2,并引入因子m來(lái)表征非線(xiàn)性系數(shù)α的差異程度：m＝｜α1－α2｜/2.圖2是在波矢k、介質(zhì)剛度與平均密度的比值η、兩層非線(xiàn)性介質(zhì)的非線(xiàn)性強(qiáng)度的平均值α0都相同的情況下,非線(xiàn)性強(qiáng)度的差異m不同時(shí),對(duì)應(yīng)的透射系數(shù)隨透射波振幅平方的變化（從左端入射,右端出射）.從圖2可以看到介質(zhì)層非線(xiàn)性強(qiáng)度不同時(shí),在出射振幅為零的位置都存在一個(gè)透射率為1的透射峰；在出射振幅平方不為零的地方還出現(xiàn)一個(gè)峰,非線(xiàn)性強(qiáng)度的差異m愈大該透射峰的位置離原點(diǎn)就越遠(yuǎn),且峰值也變小.因?yàn)榉匠蹋?）中的非線(xiàn)性項(xiàng)與波函數(shù)的振幅有關(guān),當(dāng)振幅趨于零時(shí)非線(xiàn)性相的作用消失,方程（6）回到線(xiàn)性方程（5）,所以在振幅趨于零時(shí)聲波都能完全透射.當(dāng)波函數(shù)振幅不為零時(shí),非線(xiàn)性項(xiàng)會(huì)對(duì)透射起決定性的作用.

圖2 透射率與透射振幅平方的關(guān)系（η1＝η2＝η0＝1）Fig.2 Dependence of transmission ratio on squaremodule of transmission amplitude（η1＝η2＝η0＝1）

從式（9）～（11）可以看到,我們求透射率時(shí)是用出射振幅當(dāng)已知量,如果用入射振幅當(dāng)初始條件,則必須由透射振幅通過(guò)方程反推入射振幅.設(shè)透射振幅為某一實(shí)數(shù),但求出的入射振幅一般為復(fù)數(shù).如果以入射振幅模方為自變量,則透射率隨入射振幅模方的變化如圖3所示.從圖3中可以看出,當(dāng)入射振幅模的平方取較小值時(shí),透射率唯一與之對(duì)應(yīng).但當(dāng)入射振幅模的平方取較大值時(shí),會(huì)有兩、三個(gè)不同的透射率與之對(duì)應(yīng),呈現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.這是由非線(xiàn)性引起的[16－17].因此在后面討論中我們用出射波振幅的平方作為透射率的自變量,而不用入射系數(shù)模的平方作為自變量.

當(dāng)聲波分別從兩層非線(xiàn)性材料的左端和右端入射時(shí),透射率t隨透射振幅的平方T2和入射波波矢k的變化如圖4、5所示.對(duì)照?qǐng)D4、5可以發(fā)現(xiàn),非線(xiàn)性強(qiáng)度為相反數(shù)時(shí),相當(dāng)于波矢平移π.從圖4、5中可以看出,相同的波從左端入射和從右端入射,其透射率是不相同的.這種分別從兩端入射出現(xiàn)不同透射率的情況可以制造二極管,但必須是一端入射時(shí)透射率接近1,而從相反方向入射時(shí)透射率接近0.

圖3 透射率與入射振幅的關(guān)系（其它數(shù)據(jù)與圖2相同）Fig.3 Dependence of transmission ratio on incident amplitude（Other parameters are the same as those in Fig.2.）

圖4 透射率t隨T2和入射波波矢k的變化,（a）和（c）聲波從左端入射；（b）和（d）聲波從右端入射（其它數(shù)據(jù)與圖2相同）Fig.4 Dependence of transmission ratio t on T2and incidentwave vector k,（a）and（c）are for cases of left-incidence acoustic waves；（b）and（d）are for cases of right-incidence acoustic waves （Other parameters are the same as those in Fig.2.）

類(lèi)似于光學(xué)中對(duì)比度的定義,引入整流因子

可以看出整流因子的范圍為f∈[0,1],整流因子趨于1時(shí),整流效果最佳.為了更清楚地看出在什么情形下整流效果比較好,我們作出了兩層非線(xiàn)性材料的非線(xiàn)性系數(shù)平均值α0相同,非線(xiàn)性強(qiáng)度的差異m不同時(shí)的整流因子f隨T2以及k的變化情況,如圖6所示.從圖中可以看出：在相同的情況下,非線(xiàn)性強(qiáng)度的差異m越大,整流效果越好.要得到好的整流效果,出射振幅平方要盡可能大.圖6中的非線(xiàn)性強(qiáng)度的平均值相同,整流因子的分布情況比較接近；當(dāng)整流因子的平均值遠(yuǎn)離0時(shí),整流因子f接近0的白色部分向透射率平方小的方向急劇下降.因此,為得到好的整流效果,要求兩層的非線(xiàn)性強(qiáng)度差異盡可能大,兩者的平均值遠(yuǎn)離0值.

圖5 透射率t隨T2和入射波波矢k的變化,（a）和（c）聲波從左端入射；（b）和（d）聲波從右端入射（其它數(shù)據(jù)與圖2相同）Fig.5 Dependence of transmission ratio t on T2and incidentwave vector k,（a）and（c）are for cases of left-incidence acoustic waves；（b）and（d）are the cases of right-incidence acoustic waves （Other parameters are the same as those in Fig.2.）

圖6 整流因子f隨T2以及k的變化（顏色的深淺用來(lái)表征f的大小.其它數(shù)據(jù)與圖2相同.）Fig.6 Dependence of rectification factor f on T2and k（The shade of color represents degree of f.Other parameters are the same as those in Fig.2.）

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)聲波在不同的雙層非線(xiàn)性材料中正反向傳播時(shí)的數(shù)值計(jì)算,我們發(fā)現(xiàn)在該系統(tǒng)中具有聲二極管現(xiàn)象；隨著非線(xiàn)性強(qiáng)度差異的增大,二極管效應(yīng)愈明顯.聲波沿單向傳播的聲二極管的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn),不僅具有學(xué)術(shù)意義,而且有望在未來(lái)新材料的應(yīng)用中嶄露頭角.由于現(xiàn)有聲二極管的透射率普遍偏低,在努力探索新的聲二極管工作機(jī)理的同時(shí),有必要通過(guò)尋找新材料或優(yōu)化結(jié)構(gòu)等手段來(lái)進(jìn)一步提高聲二極管樣品的工作效率,最終制造出可應(yīng)用的聲二極管器件[18],我們的模型提供了實(shí)現(xiàn)聲二極管的一種可能.

[1] Li BW,Wang L,CasatiG.Thermal diode：Rectification of heat flux[J].Physical Review Letters,2004,93（18）：184301－184304.

[2] Li BW,Lan JH,Wang L.Interface thermal resistance between dissimilar anharmonic lattices[J].Physical Review Letters, 2005,95：104302.

[3] Chang CW,Okawa D.Scolid-state thermal rectifier[J].Science,2006,314：1121.

[4] Kobayashi C,Teraoka Y,Terasaki I.An oxide thermal rectifier[J].Appl Phys Lett,2009,95：171905.

[5] Li BW,Wang J.Anomalous heat conduction and anomalous diffusion in one-dimensional systems[J].Phys Rev Lett,2003, 91：044301.

[6] Tao F,Chen W Z,Xu W.The unidirectional transmission of energy in the coupled transmission lines[J].Technical Acoustics,2011,30（6）：45－46.

[7] Scalora M,Dowling JP,Bowden CM.The photonic band edge optical diode[J].Journal of Applied Physics,1994,76（4）：2023－2026.

[8] Mingaleev SF,Kivshar Y S.Nonlinear transmission and light localization in photonic-crystal waveguides[J].Journal of Optical Society of America B,2002：19（9）：2241－2249.

[9] Lin Xusheng,Lan Sheng.Unidirectional transmission in asymmetrically confined photonic crystal defectswith Kerr nonlinearity [J].Chinese Phys Lett,2005,22（11）：2847－2850.

[10] Cai Xuhong,Lin Xusheng,Lan Sheng.Significant enhancement of unidirectional transmission in asymmetrically confined photonic crystal defect pairs[J].Chinese Phys Lett,2008,25（6）：2085－2088.

[11] Cho Y C.Reciprocity principle in duct acoustics[J].The Journal of the Acoustical Society of America,1980,67：1421.

[12] Narayan O,Dhar A.Nonreciprocity and the second law of thermodynamics：An exact relation for nonlinear media[J].Europhys Lett,2004,67（4）：559.

[13] Liang B,Yuan B,Cheng JC.Acoustic diode：Rectification of acoustic energy flux in one-dimensional systems[J].Phys Rev Lett,2009,103：104301.

[14] Liang B,Guo X S,Tu J,Zhang D,Cheng JC.An acoustic rectifier[J].Nature Materials,2010,9：989－992.

[15] Liu Qihai,Hu Dongsheng,Yin Xiaogang,et al.Defectmode in one-dimensional photonic crystal consisting of single-negative materialswith an impurity layer[J].Acta Phys Sin,2011,60（9）：094101.

[16] Delyon F,Levy Y E,Souillard B.Nonperturbative bistability in periodic nonlinearmedia[J].Phys Rev Lett,1986,57（16）：2010－2013.

[17] Hu Dongsheng,Zhang Yanling,Yin Xiaogang,et al.Transport properties of nonlinear chains with random dimer nonlinearity parameters[J].Acta Phys Sin,2012,61（17）：177103.

[18] Zou Xinye,Yuan Ying,Liang Bin,Cheng Jianchun.Acoustic one-way structures[J].Applied Acoustics,2013,32（3）：169 －181.

Diode Phenomenon of Acoustic W ave Propagation in a Two-Layer Nonlinear System

GUO Fengli1, HU Dongsheng1, XU Jiang2
（1.College of Science,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211106,China；
2.Department ofMaterial Science and Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211106,China）

In one-dimensional nonlinear system,linear parts of acoustic wave meet wave equation and nonlinear part is assumed similar to that of nonlinear Schr?dinger equation.Transmission coefficients of two incident acoustic waves from opposite directions are calculated respectively.It is shown that this model has unidirectional penetrability for acoustic wave within certain frequency and amplitude,and expresses behaviors of diode.Increasing nonlinear intensity leads to a remarkable enhancement of unidirectional penetrability.

nonlinear system；acoustic wave；rectification；diode phenomenon

1001-246X（2015）06-0722-07

O422.7

A

2014－10－20；

2015－03－09

國(guó)家自然科學(xué)基金（11175086,51175245）及江蘇省自然科學(xué)基金（BK2010073）資助項(xiàng)目

郭鳳麗（1987－）,女,碩士,主要從事凝聚態(tài)物理研究