余世成, 曾以成, 李志軍（.湘潭大學(xué)光電工程系,湖南湘潭 405；.湘潭大學(xué)通信工程系,湖南湘潭 405）

一種二次型憶阻器四階混沌電路

余世成1, 曾以成1, 李志軍2
（1.湘潭大學(xué)光電工程系,湖南湘潭 411105；2.湘潭大學(xué)通信工程系,湖南湘潭 411105）

由HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器得到的荷控二次型憶阻器模型,與有源磁控分段線性和三次光滑憶阻器模型相比,更符合實(shí)際.利用此模型并基于蔡氏混沌電路演化而來的拓?fù)鋵?duì)偶結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種新型憶阻器四階混沌電路.理論分析、仿真及電路實(shí)現(xiàn)表明,該電路具有依賴于憶阻器初始狀態(tài)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,也會(huì)產(chǎn)生隨時(shí)間和系統(tǒng)參數(shù)變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,在相軌圖中出現(xiàn)“渦眼”和“環(huán)眼”.

二次型憶阻器；混沌電路；初始狀態(tài)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移

0 引言

憶阻器是繼電阻、電容和電感之外的第四種基本雙端電路元件,具有其它三種基本元件任意組合都不能替代的特性[1－2].憶阻器作為一個(gè)非線性元件,很容易產(chǎn)生混沌振蕩信號(hào),因此基于憶阻器的混沌電路研究備受關(guān)注[3－17].然而,憶阻器電路研究中普遍使用的憶阻器模型分別為分段線性（PWL）[3－6]和三次光滑型[7－8,14－15].二者皆為研究模型,研究人員只是用器件搭建了體現(xiàn)其特性的有源模型電路,并未在實(shí)際電路中實(shí)現(xiàn)相應(yīng)模型的無源裝置.我們利用HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器得到荷控二次型模型,研究基于憶阻器的四階混沌電路,更具實(shí)際意義.因?yàn)槭呛煽匦蛻涀杵?為了研究問題的方便采用由經(jīng)典蔡氏電路轉(zhuǎn)化而來的拓?fù)鋵?duì)偶電路,運(yùn)用常規(guī)動(dòng)力學(xué)研究方法[5,12,15－18]對(duì)該電路進(jìn)行平衡點(diǎn)、穩(wěn)定性等動(dòng)力學(xué)特性分析.

此外,為電路實(shí)現(xiàn)需要構(gòu)建模型的有源電路也是必要的.本文建立一種荷控二次型憶阻器有源模型電路,并在此基礎(chǔ)上對(duì)混沌電路進(jìn)行電路特性的驗(yàn)證研究.

1 二次型憶阻器四階混沌電路及其理論分析

由文獻(xiàn)[2]可以得到HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器阻值為

式中M（q）表示憶阻值,與電阻具有同一量綱；D是憶阻器總長度；uv是雜質(zhì)平均移動(dòng)速率；RON是導(dǎo)通阻抗；ROFF是關(guān)閉阻抗[2].等式右邊除了通過憶阻器電荷q之外,其它量均為常量,故可簡(jiǎn)化為

其中,a、b為常量,且有a＞0和b＜0.由（2）式和憶阻器的定義式可得HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器兩端磁通和通過其電荷關(guān)系為

由（3）式可知憶阻器兩端磁通是其電荷的二次函數(shù),稱該憶阻器模型為二次型的.由（2）式可知憶阻值M（q）為電荷的一次函數(shù),因此該憶阻器模型為荷控二次型.

因?yàn)樵搼涀杵鳛楹煽匦蛻涀杵?若直接選用經(jīng)典蔡氏電路進(jìn)行非線性器件替換研究,憶阻值M（q）關(guān)于電荷q的表達(dá)式處于狀態(tài)方程的分母,如圖1（a）和方程組（4）所示,使問題的研究變得復(fù)雜.因此采用由經(jīng)典蔡氏電路演化而來的拓?fù)鋵?duì)偶電路進(jìn)行荷控二次型憶阻器混沌電路研究,如圖1（b）和方程組（5）所示.

圖1 荷控二次型憶阻器四階混沌電路Fig.1 Change-control quadratic memristor-based fourth-order chaotic circuits

圖1中（a）和（b）所示包含憶阻器電路的狀態(tài)方程分別為

將（2）式代入方程組（5）,并令其各式等于零求解系統(tǒng)（5）的平衡點(diǎn)集合

式中c是一個(gè)實(shí)常數(shù),即系統(tǒng)（5）的平衡點(diǎn)為位于q坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.為了方便研究簡(jiǎn)化參數(shù)使得α＝1/L1,β＝1/C,R＝1,L2＝1代入（5）式,并在平衡點(diǎn)線性化系統(tǒng)（5）得到Jacobi矩陣

平衡點(diǎn)集S的特征根方程為

（8）式方括號(hào)中的三次多項(xiàng)式方程的系數(shù)均為非零實(shí)常數(shù).根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定條件,該三次多項(xiàng)式方程根的實(shí)部為負(fù)的充分必要條件是：

固定參數(shù)α＝7,β＝10,a＝1.5和b＝－1,選擇c為可變參數(shù)代入（9）式可得平衡點(diǎn)集S穩(wěn)定所對(duì)應(yīng)的c值范圍為

若憶阻器初始狀態(tài)在q坐標(biāo)上滿足（10）式,其它坐標(biāo)上初始值為零,則系統(tǒng)（5）從穩(wěn)定平衡點(diǎn)集S出發(fā)的解是漸近穩(wěn)定的,這時(shí)平衡點(diǎn)集S除零特征根之外的三個(gè)特征根的實(shí)部均為負(fù).反之,可得平衡點(diǎn)集S不穩(wěn)定所對(duì)應(yīng)的c值范圍為

由此點(diǎn)集出發(fā)系統(tǒng)（5）的解是不穩(wěn)定的,軌跡趨于極限環(huán)、混沌軌或者無窮發(fā)散.

2 二次型憶阻器混沌電路動(dòng)力學(xué)特性

在上節(jié)參數(shù)基礎(chǔ)上,選取初始狀態(tài)（q（0）,0,0.11,0）中q（0）為可變參數(shù),利用Lyapunov指數(shù)譜和相軌圖對(duì)圖1（b）所示二次型憶阻器混沌電路進(jìn)行動(dòng)力學(xué)行為分析.系統(tǒng)（5）隨初始值q（0）＝c變化和隨時(shí)間演化的Lyapunov指數(shù)譜分別如圖2（a）和圖2（b）所示.為了圖示清晰,圖2（a）中Lyapunov指數(shù)曲線L4只畫出了部分.根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)與吸引子關(guān)系[5,8]和圖2（a）數(shù)值仿真結(jié)果可知：當(dāng)c＜1.702 1或2.358 4＜c ＜2.401 2時(shí)系統(tǒng)（5）的李氏指數(shù)均小于零,故此時(shí)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定于不動(dòng)點(diǎn)上；而當(dāng)1.702 1＜c＜2.358 4 或c＞2.401 2時(shí)系統(tǒng)（5）的軌跡為極限環(huán)、混沌或發(fā)散.圖2（a）數(shù)值仿真結(jié)果與式（10）和（11）范圍有些許差別,該差異主要是系統(tǒng)（5）的平衡點(diǎn)集S除了三個(gè)非零特征根外還有一個(gè)零特征根所引起的.圖2（b）為q （0）＝2.316 7時(shí)系統(tǒng)（5）隨時(shí)間演化的Lyapunov指數(shù)譜,由圖可知李氏指數(shù)L1大于零,即此時(shí)系統(tǒng)處于混沌態(tài).

圖2 隨初始值q（0）變化和隨時(shí)間演化的Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Lyapunov exponent spectrumswith variation of q（0）and time

選取初始狀態(tài)變量q（0）幾個(gè)典型常數(shù)值c＝1.65、1.722 1和2.316 7描繪系統(tǒng)（5）相應(yīng)的相軌圖,如圖3所示.其中,圖3（a）描繪c＝1.65時(shí)系統(tǒng)q-vc相軌圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是個(gè)匯點(diǎn)；圖3（b）描繪c＝1.721 1時(shí)系統(tǒng)q-vc相軌圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是一周期極限環(huán)；圖3（c）和（d）分別描繪c＝2.316 7時(shí)系統(tǒng)q-vc相軌圖和三維圖形,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是單渦卷混沌軌.

若選取初始狀態(tài)為（q（0）,0,10－10,0）,且初始值q（0）為c＝2.316 7、2.41時(shí)系統(tǒng)（5）的相軌圖和相應(yīng)的時(shí)序圖如圖4所示.其中,圖4（a）描繪c＝2.316 7時(shí)系統(tǒng)q-vc相軌圖和q-t時(shí)序圖,此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了狀態(tài)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象,由原來的平衡點(diǎn)狀態(tài)趨向最終的混沌狀態(tài),在單渦卷之中出現(xiàn)了一個(gè)“渦眼”；圖4（b）描繪c＝2.41時(shí)系統(tǒng)q-vc相軌圖和q-t時(shí)序圖,系統(tǒng)同樣出現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象,由原來的平衡點(diǎn)狀態(tài)趨近于最終的一周期狀態(tài),在極限環(huán)中出現(xiàn)一個(gè)“環(huán)眼”.

圖3 不同初始值q（0）＝c下系統(tǒng)（5）的相軌圖Fig.3 Phase diagrams of System（5）with different initial values q（0）＝c

此外,選取方程中的β為可變參數(shù),初始狀態(tài)為（2.316 7,0,0.11,0）,分析系統(tǒng)（5）隨系統(tǒng)參數(shù)β變化的動(dòng)力學(xué)行為.此時(shí),系統(tǒng)（5）隨參數(shù)β變化的分岔圖如圖5所示.由分岔圖5可知,當(dāng)β在區(qū)間[10, 15]連續(xù)變化時(shí)系統(tǒng)（5）經(jīng)歷了混沌態(tài)、周期態(tài)、穩(wěn)定點(diǎn)幾種狀態(tài)變化,并且呈現(xiàn)出逆向倍周期分岔特性,幾次倍周期分岔分別發(fā)生在β＝10.2、10.24和10.44.圖5（b）是圖5（a）局部放大圖,其中β區(qū)間為[10.1,10.5].

圖6為β在區(qū)間[10,15]連續(xù)變化時(shí)系統(tǒng)（5）的李雅普諾夫指數(shù)譜,由圖可見系統(tǒng)（5）經(jīng)歷了混沌態(tài)、周期態(tài)、穩(wěn)定點(diǎn)幾種狀態(tài)變化,進(jìn)一步驗(yàn)證了圖5呈現(xiàn)出的系統(tǒng)隨參數(shù)β變化所發(fā)生的狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性.同樣, 圖6（b）是圖6（a）局部放大圖,其中β區(qū)間為[10.1,10.5].

選取系統(tǒng)參數(shù)β幾個(gè)典型常數(shù)值β＝10.15、10.25、12和14描繪系統(tǒng)（5）相應(yīng)的相軌圖,如圖7所示.其中,圖7（a）描繪β＝10.15時(shí)系統(tǒng)q-i2相軌圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是單渦卷混沌軌；圖7（b）描繪β＝10.25時(shí)系統(tǒng)q-i2相軌圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是二周期極限環(huán)；圖7（c）描繪β＝12時(shí)系統(tǒng)q-i2相軌圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是一周期極限環(huán)；圖7（d）描繪β＝14時(shí)系統(tǒng)q-i2相軌圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是個(gè)匯點(diǎn).

圖8描繪系統(tǒng)（5）在不同狀態(tài)（β＝10.15和10.25）下且截平面為i1＝0.35時(shí)系統(tǒng)龐加萊截面圖,根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)和龐加萊截面圖關(guān)系[19]可知：圖8（a）所示曲線圖映射出系統(tǒng)此時(shí)處于混沌狀態(tài),恰好與圖7（a）描繪的系統(tǒng)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)；圖8（b）所示離散點(diǎn)圖映射出系統(tǒng)此時(shí)處于二周期狀態(tài),與圖7（b）描繪的系統(tǒng)狀態(tài)相對(duì)應(yīng).

綜上,由圖3可知二次型憶阻器混沌系統(tǒng)（5）產(chǎn)生了隨初始狀態(tài)變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象；由圖4可知二次型憶阻器混沌系統(tǒng)（5）產(chǎn)生了隨時(shí)間變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象；由圖7可知二次型憶阻器混沌系統(tǒng)（5）產(chǎn)生了隨系統(tǒng)參數(shù)變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移.同時(shí),由圖5可知隨參數(shù)β變化系統(tǒng)（5）處于混沌態(tài)區(qū)間大致為[10,10.18],處于倍周期分岔區(qū)間大致為[10.18,10.45],因此系統(tǒng)（5）在[10,10.45]區(qū)間段內(nèi)對(duì)參數(shù)的微小變化有較強(qiáng)的敏感性.由此可見,同分段線性（PWL）[3－4]和三次光滑型[8,15]憶阻器混沌電路一樣,二次型憶阻器混沌電路具有與一般混沌系統(tǒng)不同的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.

圖4 初始狀態(tài)為（q（0）,0,10－10,0）時(shí)系統(tǒng)（5）的相軌圖和時(shí)序圖Fig.4 Phase diagrams and sequence charts of System（5）with initial stare（q（0）,0,10－10,0）

圖5 系統(tǒng)（5）隨參數(shù)β變化的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagrams of System（5）with variation of parameterβ

圖6 系統(tǒng)（5）隨參數(shù)β變化的李氏指數(shù)譜Fig.6 Lyapunov exponent spectrums with variation of parameterβof System（5）

圖7 不同參數(shù)β下系統(tǒng)（5）的相軌圖Fig.7 Phase diagrams of System（5）with different parameterβ

3 二次型憶阻器有源模型電路實(shí)現(xiàn)與混沌電路特性驗(yàn)證

由于HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器還未實(shí)現(xiàn)商業(yè)化生產(chǎn),因此搭建其有源模型電路進(jìn)行進(jìn)一步研究驗(yàn)證是很有必要的,一種二次型憶阻器有源模型電路構(gòu)建如圖9所示.

圖9激勵(lì)源Vin以右部分電路即可等效為一個(gè)二次型憶阻器,該有源模型電路使用了電流反饋運(yùn)算放大器AD844和乘法器AD633,并有C1＝C2,VH＝＋15V,VL＝－15 V.電流反饋運(yùn)算放大器AD844的電路特性為

乘法器AD633的電路特性為

圖8 在不同狀態(tài)下系統(tǒng)（5）龐加萊截面圖Fig.8 Poincare sections of System（5）with different system states

圖9 二次型憶阻器有源模型電路Fig.9 An activemodel circuit of quadratic memristor

由（12）式和（13）式以及器件連接關(guān)系得圖9所示有源等效電路表達(dá)式為

比較（14）式和（2）式可知該有源模型電路滿足荷控二次型憶阻器憶阻值與電荷之間的特性關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了電路等效.當(dāng)激勵(lì)源Vin為正弦信號(hào),該憶阻器等效模型i-v特性如圖10所示,其中各器件參數(shù)值為：R1＝16 kΩ,R2＝3 kΩ,R3＝6 kΩ,R4＝10 kΩ,C1＝C2＝100 nF.圖10（a）是激勵(lì)源Vin頻率為200 Hz時(shí)憶阻器等效模型i-v曲線,曲線形狀為斜八字型；圖10（b）是激勵(lì)源Vin頻率為2 kHz時(shí)等效模型i-v曲線,此時(shí)曲線退化為一條過原點(diǎn)直線.因此,電路仿真結(jié)果表明該二次型憶阻器有源模型電路特性符合文獻(xiàn)[2]描述的HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器電路特性.

基于該有源模型電路的二次型憶阻器四階混沌電路如圖11所示,使用運(yùn)算放大器AD711是為了實(shí)現(xiàn)負(fù)阻－R[5,8,13],其中相應(yīng)器件參數(shù)值為：R＝2.1 kΩ,R5＝R6＝2 kΩ,L1＝9 mH,L2＝63 mH,C3＝6.3 nF.

式（14）表明通過憶阻器的電荷q可由電容C1兩端的電壓vc1表示,因而電路初始狀態(tài)的電荷值q（0）即由電容C1初始時(shí)刻的電壓值IC（C1）體現(xiàn).選取初始狀態(tài)（IC（C1）,0,11×10－8,0）,此時(shí)基于二次型憶阻器有源模型混沌電路在不同初始值IC（C1）下電路特性如圖12所示.圖12（a）是IC（C1）＝1.42 V時(shí),電路中電容C1和電容C3上電壓關(guān)系圖,也即是系統(tǒng)（5）的q-vc相軌關(guān)系圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是一周期極限環(huán)；圖12（b）是IC（C1）＝1.55 V時(shí),二者電壓關(guān)系圖,此時(shí)系統(tǒng)軌跡是單渦卷混沌軌.由此可知二次型憶阻器有源模型混沌電路隨初始狀態(tài)變化發(fā)生了狀態(tài)轉(zhuǎn)移,對(duì)電路初值有較強(qiáng)的敏感性.

圖10 二次型憶阻器有源模型在不同頻率下i-v特性Fig.10 Characteristic i-v of activemodel circuit at different frequencies

圖11 基于二次型憶阻器有源模型的四階混沌電路Fig.11 A fourth-order chaotic circuit based on activemodel circuit

圖12 基于憶阻器有源模型混沌電路在不同初始值IC（C1）下電路特性Fig.12 Circuit characteristics of chaotic circuitwith different initial values IC（C1）

4 總結(jié)

從HP實(shí)驗(yàn)室研制的無源憶阻器出發(fā),推導(dǎo)出其荷控二次型憶阻器模型.在此基礎(chǔ)上,研究了基于此模型的憶阻器四階混沌電路,為了方便問題的研究采用經(jīng)典蔡氏電路演化而來的拓?fù)鋵?duì)偶電路,使用常規(guī)動(dòng)力學(xué)研究方法對(duì)其特性進(jìn)行了相應(yīng)的理論分析和數(shù)值仿真,結(jié)果表明：荷控二次型憶阻器四階混沌電路具有隨初始狀態(tài)、時(shí)間和系統(tǒng)參數(shù)變化而發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為,相軌圖中出現(xiàn)“渦眼”和“環(huán)眼”,對(duì)電路初值和系統(tǒng)參數(shù)有較強(qiáng)的依賴性和敏感性.同時(shí),構(gòu)建一種荷控二次型有源模型電路對(duì)其混沌電路特性做進(jìn)一步驗(yàn)證.此外,與憶阻器混沌振蕩電路研究中普遍使用的分段線性（PWL）和三次光滑型憶阻器模型相比,研究基于荷控二次型憶阻器混沌電路,由于該模型無源器件的存在而更具實(shí)際意義.

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A Quadratic M em ristor-based Fourth-order Chaotic Circuit

YU Shicheng1,ZENG Yicheng1,LIZhijun2
（1.Department ofOptoelectronic Engineering,Xiangtan University,Xiangtan Hunan 411105,China；
2.Department ofCommunication Engineering,Xiangtan University,Xiangtan Hunan 411105,China）

Compared with active piecewise linear（PWL）and cubic smoothmemristormodel adopted inmostmemristor-based chaotic circuits,charge-control quadratic memristormodel ismore practical,which is derived from a passive device fabricated by HP Labs.Based on the model and a topological dual structure of Chua’s chaotic circuit,a memristor-based fourth-order chaotic circuit was designed.As is verified by theoretical analysis,simulation and circuit realizations,the charge-control quadratic memristor-based chaotic circuit has complex dynamical behaviors relying on initial state ofmemristor.Meanwhile,non-linear dynamical phenomenon of state transition is generated along with variation of initial state,time and system parameters.An eye of scroll and an eye of limit cycle are observed in phase diagrams of chaotic circuits.

quadratic memristor；chaotic circuit；initial state；state transition

1001-246X（2015）06-0735-09

O415.5

A

2013－12－20；

2014－07－14

國家自然科學(xué)（61176032,61233010）資助項(xiàng)目

余世成（1989－）,男,漢族,福建南平,碩士研究生,研究方向：基于憶阻器的混沌電路應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè), E-mail：shichengyu＠126.com