汪　超，王　璐，謝能剛，洪　潔

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山　243002)

基于協(xié)進(jìn)化粒子群算法的齒輪傳動(dòng)優(yōu)化

汪超，王璐，謝能剛，洪潔

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山243002)

摘要：針對(duì)多約束條件下的行星齒輪傳動(dòng)方案，采取協(xié)進(jìn)化粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，并結(jié)合其算法特點(diǎn)建立了特有的罰因子評(píng)價(jià)機(jī)制。實(shí)際算例表明：該方法合理、有效，計(jì)算效率高，為行星齒輪優(yōu)化方案提供了一個(gè)新的求解途徑。

關(guān)鍵詞：協(xié)進(jìn)化粒子群算法；行星齒輪傳動(dòng)；約束優(yōu)化

行星齒輪是機(jī)械傳動(dòng)的一個(gè)重要機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)、航天航空以及車輛工程等領(lǐng)域。合理優(yōu)化齒輪參數(shù)可以提高其傳動(dòng)性能，因此學(xué)者們利用復(fù)合型法、二次規(guī)劃法和內(nèi)點(diǎn)法等現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)大型行星齒輪、NWG齒輪以及多級(jí)行星齒輪進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，并取得一定的成效[1-3]。現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法優(yōu)化性能的優(yōu)劣取決于初始點(diǎn)選取的好壞，而群智能算法如粒子群算法、遺傳算法等可以從隨機(jī)初始點(diǎn)出發(fā)，不斷向最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)化。文獻(xiàn)[4-5]應(yīng)用遺傳算法對(duì)NWG齒輪傳動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]應(yīng)用帶有權(quán)重的粒子群方法對(duì)2K-H型齒輪進(jìn)行優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)粒子群收斂速度更快。行星齒輪的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，致使數(shù)學(xué)模型的約束條件復(fù)雜。就目前智能算法而言，一般利用罰函數(shù)法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束公式進(jìn)行優(yōu)化。盡管文獻(xiàn)[4]提出了動(dòng)態(tài)罰因子設(shè)置，但是使用僅與代數(shù)成一定比例關(guān)系的罰函數(shù)也不盡合理。因此，本文提出協(xié)進(jìn)化粒子群算法，它不僅考慮了目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，又兼顧了罰因子在每次尋優(yōu)過程的變化。通過實(shí)例分析可以看出，這種算法收斂快、效率高。

1協(xié)進(jìn)化粒子群算法

1.1　粒子群算法

粒子群算法[7]是由Eberhart博士和Kennedy博士與1995年提出。該算法是受鳥群覓食行為啟發(fā)構(gòu)思出的一個(gè)隨機(jī)性算法，簡(jiǎn)單且高效。在該算法中種群粒子根據(jù)當(dāng)前最優(yōu)值和全局最優(yōu)值迭代進(jìn)化，迭代公式如下：

(1)

(2)

1.2　協(xié)進(jìn)化粒子群算法

協(xié)進(jìn)化粒子群算法[8]的基本原理是將種群分成多個(gè)子種群，子種群相互獨(dú)立，但同時(shí)又相互共享信息。其優(yōu)點(diǎn)是各子種群不僅借助于外界信息朝有利方向進(jìn)化，又同時(shí)傳遞有效經(jīng)驗(yàn)給其他種群，避免陷入局部最優(yōu)。

協(xié)進(jìn)化粒子群算法[9]包含兩類種群：Swarm1和Swarm2。Swarm1用于決策解的進(jìn)化，它由M1個(gè)子種群Xj組成，Xj又包含M2個(gè)微粒子，每個(gè)粒子代表一個(gè)可行解。Swarm2用于罰因子進(jìn)化，其規(guī)模為M1個(gè)微粒子yj。

1.3　目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)

針對(duì)多組約束條件的優(yōu)化問題，需要將違反約束條件的量與程度考慮其中。設(shè)置函數(shù)如下：

Fi(x)=fi(x)+sum×w1-num×w2

(3)

式中：fi(x)表示優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)；w1，w2為罰因子；sum為違反約束的總量；num為違反約束的個(gè)數(shù)。sum按式(4)進(jìn)行計(jì)算。

(4)

式中maxGi(xj)表示K代所有粒子對(duì)i個(gè)約束的最大違反量。這樣可以保證每個(gè)約束反量的歸一化處理。

1.4　罰因子的評(píng)價(jià)函數(shù)

若Xj中至少一個(gè)有效粒子yj(可行解)，則評(píng)價(jià)函數(shù)如下：

(5)

式中num_fit為有效解的個(gè)數(shù)?？梢钥闯觯琻um_fit數(shù)量越多，P(yi)越小。

若Xj中沒有一個(gè)可行解，有可能是罰函數(shù)數(shù)值過小導(dǎo)致，則按式(6)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

(6)

式中max(F)表示種群所有有效粒子的最大評(píng)價(jià)函數(shù)值。

1.5　協(xié)同粒子群算法流程

步驟1根據(jù)變量范圍隨機(jī)生成Swarm1和Swarm2。

步驟2利用yj對(duì)應(yīng)的罰函數(shù)算出Xj對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度，并利用粒子群基本的更新公式進(jìn)化K代下的Xj。

步驟3根據(jù)Xj所有解的優(yōu)劣，得到評(píng)價(jià)函數(shù)評(píng)價(jià)罰因子yj。此后，yj根據(jù)評(píng)價(jià)數(shù)值的大小，利用粒子群算法進(jìn)行進(jìn)化，得出新的yj。

步驟4在下一代協(xié)同進(jìn)化中，如沒有達(dá)到指定的循環(huán)次數(shù)，則返回步驟2；否則執(zhí)行步驟5。

步驟5將進(jìn)化過程中整個(gè)種群中Xj歷史最優(yōu)解Gbest輸出，此時(shí)對(duì)應(yīng)的罰因子也為最佳罰因子。

2齒輪傳動(dòng)模型

2.1　設(shè)計(jì)變量

本文以NGW行星齒輪為例展開研究。NGW行星齒輪結(jié)構(gòu)如圖1所示。設(shè)計(jì)變量為太陽(yáng)輪齒數(shù)Za，行星輪齒數(shù)Zc，以及分別對(duì)應(yīng)的變位系數(shù)xa和xc。齒寬B、模數(shù)m、太陽(yáng)輪與行星輪之間的嚙合角、行星輪和內(nèi)齒圈嚙合角作為設(shè)計(jì)變量，即?Za,Zc,B,m,xa,xc,αac,αbc」。

a.太陽(yáng)輪；b.內(nèi)齒圈；c.行星輪；H.行星架；

2.2　目標(biāo)函數(shù)

由于行星齒輪傳動(dòng)方案數(shù)學(xué)模型復(fù)雜，鑒于篇幅有限，僅給出重要公式，具體推導(dǎo)和部分參數(shù)說明可參考文獻(xiàn)[10]。

2.2.1體積

為減少加工成本，盡量使齒輪的體積最小。體積表達(dá)式為

(7)

2.2.2重合度

一般而言，齒輪重合度越大，嚙合的對(duì)數(shù)越大，傳動(dòng)越穩(wěn)定。推導(dǎo)后重合度最終表達(dá)式為

(8)

2.2.3傳動(dòng)效率

齒輪傳動(dòng)效率是傳動(dòng)性能的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)之一，提高傳動(dòng)效率對(duì)設(shè)計(jì)者有著十分重要的意義。齒輪傳動(dòng)功率損失由嚙合摩擦損失、軸承摩擦損失以及運(yùn)行時(shí)潤(rùn)滑油泄露損失組成，其對(duì)應(yīng)的效率分別為ηm，ηn和ηs。通常情況下ηn為0.98，ηs為1 。

(9)

(10)

其中：

(11)

f取值2.3，μ取值0.1，得出最終傳動(dòng)效率公式為

(12)

2.3　約束條件

2.3.1鄰接條件

為避免相鄰行星齒輪碰撞，其間隙必須保證大于0.5模數(shù)?？芍?/p>

(13)

2.3.2同心條件

太陽(yáng)輪內(nèi)齒圈、行星輪之間的旋轉(zhuǎn)軸必須與其主軸相重合。通過相關(guān)計(jì)算推導(dǎo)出：

(14)

2.3.3安裝條件

3個(gè)行星齒輪必須分布均勻，各個(gè)齒輪必須滿足：

(15)

2.3.4無側(cè)隙嚙合幾何條件

(16)

由齒寬限制得齒寬系數(shù)公式：

(17)

太陽(yáng)輪齒頂厚：

(18)

行星齒輪齒頂厚：

(19)

2.3.5嚙合不干涉條件

對(duì)于小齒輪，則有：

(20)

同樣，對(duì)于太陽(yáng)輪則有：

(21)

2.3.6疲勞強(qiáng)度條件

對(duì)于齒面接觸疲勞強(qiáng)度條件：

(22)

對(duì)于齒根完全疲勞強(qiáng)度可行度條件，太陽(yáng)輪為

(23)

行星輪為

(24)

3算例分析

本文采用文獻(xiàn)[6]的NGW行星齒輪進(jìn)行算例分析，設(shè)定轉(zhuǎn)速為n=750r/min，功率為10kW，α=20°，傳動(dòng)比i=7.6。對(duì)于協(xié)進(jìn)化粒子群參數(shù)，本研究設(shè)置最大迭代次數(shù)為100，M1為50，M2為100。

通過常規(guī)的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)可知體積 f1m一般為 957 550mm3，重合度 f2m為1.339 5，效率f3m為0.959。為了使個(gè)目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一量綱,將3個(gè)目標(biāo)值利用權(quán)重法轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)：

(25)

按照協(xié)進(jìn)化粒子群算法流程進(jìn)行齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果如表1所示。其中，優(yōu)化種群適應(yīng)度的進(jìn)化圖(圖2)和罰因子適應(yīng)度進(jìn)化圖(圖3)中的F與Y最終達(dá)到最優(yōu)的代數(shù)不一致，這是因?yàn)閰f(xié)進(jìn)化粒子群算法既關(guān)聯(lián)又相互獨(dú)立的算法特征決定的,即適應(yīng)度F最小值對(duì)應(yīng)的懲罰因子w1和w2不一定是罰函數(shù)適應(yīng)度Y的最優(yōu)值。

圖2　目標(biāo)函數(shù)F進(jìn)化圖

圖3　罰因子適應(yīng)度Y進(jìn)化圖

表1　行星齒輪優(yōu)化結(jié)果

通過表1可以發(fā)現(xiàn)：本文提出的算法比常規(guī)設(shè)計(jì)體積減少46.4%,重合度增加18.3%,效率提高0.1%。相對(duì)于文獻(xiàn)[4]的結(jié)果，盡管體積偏大，但是重合度增加14.4%,效率提高0.1%。

4結(jié)束語(yǔ)

協(xié)進(jìn)化粒子群算法是一種適合處理多約束條件的高效仿生算法。本文將該算法應(yīng)用到行星齒輪傳動(dòng)方案優(yōu)化中。結(jié)果表明，其進(jìn)化速度快，優(yōu)化的齒輪參數(shù)合理、有效。該研究成果為復(fù)雜環(huán)境下的齒輪傳動(dòng)方案優(yōu)化提供了一個(gè)新的途徑。

參考文獻(xiàn)：

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[2]蒿麗萍.多級(jí)行星輪系多目標(biāo)模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械傳動(dòng)，2015,39(1):87-91.

[3]江家伍,印崧.NGW型行星減速器的模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,25(6):472-476.

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[8]PoettrMA,DeJongKA.Cooperativeco-evolution:Anacrhitectureofrevolvingcodapatedsubcomponents[J].EvoluitonaryComputation,2000,8(l):l-29.

[9]BerghF,EngelbrechtAP.Acooperativeapproachtoparticleswarmoptimization[J].IEEETransonEvolutionaryComputation,2004,8(3):1-15.

[10]張東浩.NGW行星齒輪傳動(dòng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)及其動(dòng)力學(xué)仿真[J].太原:太原理工大學(xué)，2013.

(責(zé)任編輯劉舸)

收稿日期：2015-04-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61375068)；安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2013A056)

作者簡(jiǎn)介：汪超(1985— )，男，安徽馬鞍山人，碩士，助理實(shí)驗(yàn)師，主要從事信號(hào)處理、運(yùn)動(dòng)仿真等研究；王璐(1976—)，男，北京人，副教授，碩士生導(dǎo)師,主要從事信號(hào)故障診斷、計(jì)算機(jī)仿真等方面研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.08.008

中圖分類號(hào)：TH13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2015)08-0038-05

GearTransmissionOptimizationBasedonCo-Evolutionary
ParticleSwarmAlgorithm

WANGChao,WANGLu,XIENeng-gang,HONGJie

(SchoolofMechanicalEngineering,AnhuiUniversityofTechnology,Maanshan243002,China)

Abstract:On the basis of planetary gear transmission plan that under the multi-constraints, using this co-evolutionary particle swarm algorithm, combined with its algorithm characteristics, special establishment of penalty factor evaluation mechanisms was adopted. Ultimately, this method was proved to be reasonable and effective through practical examples. And its high efficiency witnessed a novel approach to the optimization of planetary gear.

Key words:co-evolutionary particle swarm algorithm; planetary gear transmission; constrained optimization

引用格式：汪超，王璐，謝能剛，等.基于協(xié)進(jìn)化粒子群算法的齒輪傳動(dòng)優(yōu)化[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015(8):38-42.

Citationformat：WANGChao,WANGLu,XIENeng-gang,etal.GearTransmissionOptimizationBasedonCo-EvolutionaryParticleSwarmAlgorithm[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience，2015(8):38-42.