時正華，劉駿萍，朱海波

(河海大學　a.理學院； b.計算機與信息學院； c.水利水電學院，南京　210098)

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略——基于全國大學生數(shù)學建模競賽

時正華a，劉駿萍b，朱海波c

(河海大學a.理學院；b.計算機與信息學院；c.水利水電學院，南京210098)

摘要:軟著陸是航天器經(jīng)專門減速裝置減速后，以一定的速度安全著陸的著陸方式，嫦娥三號登月過程中的軟著陸尤為重要?；?014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A題，主要研究嫦娥三號軟著陸的軌道設(shè)計和控制策略。著陸分為4個階段：著陸準備階段、主減速階段、粗避障階段、精避障階段，并對各階段分別建立模型進行研究。

關(guān)鍵詞:軟著陸;登月;軌道;粗避障;精避障

1問題

本文基于2014年高教社杯全國大學生建模競賽A組題目。

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機能夠產(chǎn)生1 500N到7 500N的可調(diào)節(jié)推力，比沖為2 940(m/s)，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。嫦娥三號的預(yù)定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2 641m。

要保證嫦娥三號在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

2問題假設(shè)與參數(shù)說明

2.1　假設(shè)

1) 不考慮姿態(tài)發(fā)動機運轉(zhuǎn)的燃料消耗；

2) 嫦娥三號獲得的數(shù)字高程及所有數(shù)據(jù)是準確的；

3) 作用于探測器上的所有外力都通過其質(zhì)心；

4) 不考慮月球的形狀扁率對于嫦娥三號軟著陸的影響；

5) 嫦娥三號軟著陸過程只受月球的萬有引力影響，不考慮太陽、地球攝動力及月球非球引力攝動對軌道運行的影響。

2.2　參數(shù)說明

F為嫦娥三號所受主推力；Gm為嫦娥三號所受月球的引力；a為加速度；ax為水平加速度；ay為豎直加速度；t為從近月點開始計算的時刻；T為從近月點到距離月球表面3 000m所用的時間；G為萬有引力常數(shù)；n為單位時間燃料消耗(kg)；v是以m/s為單位的比沖；θ為主推動力的方向角；φ為加速度的方向；Q為嫦娥三號消耗的總?cè)剂蠑?shù)(kg)；M0為初始的嫦娥三號質(zhì)量；m為t時刻嫦娥三號的質(zhì)量。

3問題分析及最優(yōu)著陸方案

3.1　橢圓軌道分析

在實際宇宙繞月飛行中，嫦娥三號減速變軌后將沿橢圓軌道運行，通?？梢灾涝摍E圓軌道是較為標準的。如圖1所示，建立平面直角坐標系xoy，采用圓錐曲線及牛頓萬有引力的相關(guān)知識推導出計算方法[1-4]：

(1)

圖1　嫦娥三號繞月橢圓軌道示意圖

橢圓方程可以直接通過求a，b得出，橢圓半長軸a等于近月點和遠月點之間距離的一半，由幾何關(guān)系可知，橢圓半短軸b等于近月點與遠月點矢徑的幾何平均值。

3.2　軟著陸階段動力學分析

嫦娥三號將在近月點15km處以拋物線下降，所以需保證整個過程的加速度恒定不變。

以拋物運動的拋物線所在平面為坐標面，以近月點和遠月點的連線為x軸，近月點和遠月點連線的垂直平分線為y軸，交點為原點o(見圖1)。

按x，y方向進行受力分解(見圖2)，繼而分解加速度和速度。對于任意時刻t的動力學方程成立：

其中：F為嫦娥三號受到的有燃料產(chǎn)生的推力；Gm為受到的月球引力；θ為F方向與x軸負方向的夾角；v0為嫦娥三號在近月點的速度，即拋物線的初始速度；h為下降的高度；t為運動的時刻(以近月點開始運動時為0時刻)；ax，ay分別為加速度沿x，y軸的分量。

圖2　以拋物線所在平面建立的坐標系

整個過程中，嫦娥三號沿y方向運動的位移大小為H=15 000-3 000=12 000km，時間為T，在近月點的速度為1.692km/s，到達距離月球表面3 000m上空時的速度V=75m/s。通過對動力方程的分析可知，如時間T確定，則整個運動學過程就是確定的。若要使這個階段消耗的能量最小，可以利用優(yōu)化方法來求解。

4建立模型

4.1　模型1

假設(shè)嫦娥三號在做拋物運動時所受月球的引力Gm是不變的。目標函數(shù)為消耗的燃料Q最少，約束條件為T，F(xiàn)的取值范圍。利用加速度不變的動力學方程做進一步約束[5-13]。

利用題目中所給公式F=v·n，其中：F是發(fā)動機的推力(N)；v是以m/s為單位的比沖；n是單位時間燃料消耗量(kg)。

minQ =min(nT)

通過LINGO求解優(yōu)化問題，得出T=608.6s時最優(yōu)Q=1 552.6kg。

在此模型下，求得消耗燃料為1 552.6kg?？紤]到整個嫦娥三號的總質(zhì)量為2 400kg，質(zhì)量的減少會改變嫦娥三號所受到的萬有引力，從而導致運動的過程改變，因此不可忽略燃料燃燒導致的嫦娥三號質(zhì)量的減少。

4.2　模型2

考慮到飛船質(zhì)量的變化，同樣建立上述坐標系。令加速度a與x軸負半軸的夾角為φ，燃料產(chǎn)生的推力F與x軸負半軸的夾角為θ(見圖3)。

圖3　考慮質(zhì)量變化的受力示意圖

在任意時刻t，根據(jù)受力分析有：

Fcosθ=macosφ= (Mo-Q)acosφ

(13)

(14)

顯然，F(xiàn)，φ，Gm，m都是關(guān)于時間t的函數(shù)。

其中F=v*Q′。

聯(lián)立式(15)、(16)，消去θ，可以得到只含有Q的微分方程：

(a·cos2φ+(1.597 1-a·sinφ)2)·(Mo-Q)2=v2Q2

min= Q = 2 400-

通過Matlab求解給定T的關(guān)于a，φ 的方程組，利用Excel計算Q，取步長為10s，依次得到不同T對應(yīng)的燃料消耗量。

以10s為步長進行等步長搜索，Matlab計算結(jié)果如圖4所示。

圖4　Matlab計算結(jié)果

綜上，得出T=530，Q有相對較小值1 098.6kg。此時運動過程的加速度a=3.128 3m/s2， φ=0.027 3rad。

4.3　模型3

從安全性和穩(wěn)定性來說，可以認為在這個階段只需找到最優(yōu)著陸點，嫦娥三號水平運動到該位置上空后豎直下降即可(見圖5)。

圖5　粗避障階段軌跡

為了避開大的隕石坑，可以直接找出平坦的區(qū)域后再做進一步確定。直接搜索平坦區(qū)域的計算方法如下：

1) 先將資料提供的飛船在距離月球表面2 400m處所拍攝的數(shù)學高程圖[14-19](該高程圖的水平分辨率是1m/像素，其數(shù)值的單位是1m)的數(shù)據(jù)讀入Matlab，形成一個2 300×2 300的數(shù)據(jù)矩陣，并畫出對應(yīng)的地形圖(如圖6所示)。可以初步看出，嫦娥三號著陸的平坦區(qū)域應(yīng)在中間區(qū)域，即嫦娥三號此時下降的水平位移不太大。

圖6　2 400 m處的地形圖

3) 以A點為中心選取出7×7的區(qū)域，如表1所示，根據(jù)已知著陸器的大小為4m×4m做進一步搜索。

表1　粗避障段較平坦區(qū)域高度值分布　m

4) 通過以上數(shù)據(jù)大致觀察得出此降落范圍比較平坦，然后再進行驗證。

5) 計算出整體高程的方差s=0.26，由于相對于地勢來說此變化可以忽略不計，故確定該處為最優(yōu)落地點。

5最優(yōu)控制策略

5.1　著陸準備軌道

著陸準備軌道的近月點是15km，遠月點是100km。近月點在月心坐標系的位置和軟著陸軌道形態(tài)共同決定了著陸點的位置。

5.2　主減速段

主減速段的區(qū)間距離月面3~15km。在該階段主要進行減速，到距離月面3km處將嫦娥三號的速度降至57m/s。

主減速段的主要任務(wù)是消除較大的動力下降段的初始水平速度(由問題1得出為1.692km/s)，因此使推進器燃料的消耗量為最少的優(yōu)化是該階段制導的主要目標。同樣，根據(jù)問題1中的非線性規(guī)劃模型，由于比沖是一定的，故通過調(diào)整制導時間的參數(shù)以及對終端狀態(tài)和快速調(diào)整過程的預(yù)測對制導目標進行自適應(yīng)修正，以滿足進入接近段的初始約束條件——速度為57m/s，然后根據(jù)燃料消耗最少的優(yōu)化目標得出最少燃料消耗的時間。

根據(jù)Matlab驗證問題1的模型：把整個近似拋物線的軌跡分段，每一段近似看成一個加速度確定的勻加速運動。假設(shè)每一段加速度的大小和夾角都是確定的，不斷循環(huán)改變這兩個變量，得出的時間和水平距離同問題1求出的結(jié)果是一致的。

經(jīng)過驗證可知，問題1的結(jié)果是正確可靠的，于是可以進一步求出拋物線的方程。用關(guān)于t的參數(shù)方程表示：

主減速階段軌跡見圖7。

圖7　主減速階段軌跡圖

5.3　快速調(diào)整段

在快速調(diào)整段主要是調(diào)整探測器姿態(tài)，需要在距離月面3km到 2.4km處將水平速度減為0m/s，之后進入粗避障階段。

該階段處于主減速階段的末期，此時著陸器的姿態(tài)仍然接近水平，主發(fā)動機仍工作在最大推力段，推力加速度達到最大。為了快速調(diào)整發(fā)動機的最大推力，并且使嫦娥三號著陸器的加速度方向與速度方向相反，需要調(diào)整F的大小與方向。著陸器的運動軌跡近似勻減速的直線運動(見圖8)。

圖8　勻減速的直線運動

5.4　粗避障段

粗避障段的范圍是距離月面2.4km到100m。對其主要要求是避開大的隕石坑，實現(xiàn)在設(shè)計著陸點上方100m處懸停，并初步確定落月地點。在保證安全著陸的前提下，盡量減少燃料的消耗，使平移的距離最短即可。

6模型評估

本文只是考慮了嫦娥三號從橢圓軌道軟著陸到月球表面的問題，可以說是一個大問題中的細節(jié)。由于每一個問題所要考慮的方面既有不同又有交叉，故需要根據(jù)實際情況采取數(shù)學建模中的不同方法。

對于問題1中的近月點、遠月點，主要需要建立動力學模型，其次是線性規(guī)劃模型，需要對嫦娥三號進行詳細的受力分析，并確定目標函數(shù)以及約束條件，因此理論上不直接求解近月點及遠月點的數(shù)據(jù)。采用上述模型的優(yōu)點是淺顯明了，將問題直接轉(zhuǎn)化為在二維平面上求解極大值，簡化了實際問題的求解。

對于利用最大坡度模型求解最優(yōu)著陸點的方法，本文為了減少數(shù)據(jù)處理，并不對所有題目中給出的高程圖的全部點進行處理，而是事先根據(jù)非線性規(guī)劃的約束以及觀察先確定一個范圍，然后再對這個范圍進一步地驗證，繼而找出最優(yōu)著陸點。雖然高程圖的數(shù)據(jù)較為準確，但是仍然會對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，這就是誤差的來源。本文不僅考慮燃料消耗最少，而且考慮如何找出最為合理的著陸點，著陸點的確定以燃料最少為優(yōu)化條件，進而確定軌道。

對于問題3，建立了靈敏度分析的模型，配合使用Matlab軟件，可以方便快速地得到符合要求的模型，獲得關(guān)于最優(yōu)解T的影響因素的靈敏度。該模型使用方便快捷，應(yīng)用范圍廣，所得數(shù)據(jù)全面詳盡，能抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，具有較高的模擬準確性和實用價值。

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(責任編輯楊黎麗)

收稿日期：2015-03-06

基金項目：中央高校基金資助項目(2013B07614)

作者簡介：時正華(1976—)，男，講師，主要從事數(shù)學建模研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.07.019

中圖分類號：V448

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2015)07-0106-07

OrbitDesignandControlStrategyofChang’e-3SoftLanding

SHIZheng-huaa， LIU Jun-pingb，ZHU Hai-boc

(a.CollegeofScience;b.CollegeofComputerandInformation;

c.CollegeofWaterConservancyandHydropowerEngineering，

HohaiUniversity，Nanjing210098，China)

Abstract:The landing process that the spacecrafts first decelerate through specialized graduating devices and then sat down safely at a certain speed is called soft landing. It’s particularly important throughout the process of Chang’e 3’s landing on the moon. This paper mainly studied the orbit design and control strategy of Chang’e 3’s soft landing which was divided into four stages: landing preparation stage， main deceleration stage， coarse obstacle avoidance stage and refined obstacle avoidance stage. The study was conducted by setting up models of the stages respectively.

Key words:soft landing; moonfall; track; rough avoidance; fine avoidance

引用格式：時正華，劉駿萍，朱海波.嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略——基于全國大學生數(shù)學建模競賽[J].重慶理工大學學報：自然科學版，2015(7):106-112.

Citationformat：SHIZheng-hua，LIUJun-ping，ZHUHai-bo.OrbitDesignandControlStrategyofChang’e-3SoftLanding[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience，2015(7):106-112.