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        基于改進(jìn)配點(diǎn)法的最省燃料交會研究

        2015-12-31 11:56:18洋,閆野,黃
        上海航天 2015年2期
        關(guān)鍵詞:交會航天器約束

        周 洋,閆 野,黃 煦

        (國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長沙 410073)

        0 引言

        解決有限推力航天器最優(yōu)交會問題主要有間接法和直接法[1]。直接法是將連續(xù)的最優(yōu)控制問題離散并參數(shù)化,直接用數(shù)值方法尋優(yōu),由于計算機(jī)技術(shù)進(jìn)展獲得了很大的發(fā)展[2]。間接法是基于Pontryagin極大值原理將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為一個邊值問題,但協(xié)態(tài)變量的初值難以選取。直接配點(diǎn)法將控制變量和狀態(tài)變量同時離散,也稱作直接配點(diǎn)非線性規(guī)劃(DCNLP)[3]。文獻(xiàn)[4]用非線性規(guī)劃法研究了共面航天器的最優(yōu)交會問題,但其設(shè)計變量多達(dá)159個。文獻(xiàn)[5]先求取變軌問題的雙脈沖最優(yōu)解,再用Gauss偽譜法求解有限推力解。文獻(xiàn)[6]用高階多項式以獲得更高的精度,但增加了非線性規(guī)劃(NLP)問題求解的難度。文獻(xiàn)[7]用五階多項式擬合狀態(tài)量解決了最小時間攔截等簡單問題,具較高的精度。

        本文基于改進(jìn)配點(diǎn)法,對有限推力航天器最省燃料交會進(jìn)行了研究。

        1 問題描述

        航天器交會過程中若目標(biāo)航天器運(yùn)行于圓軌道,且相對距離遠(yuǎn)小于目標(biāo)軌道半徑時,則可由CW方程近似描述兩個航天器的相對運(yùn)動。C-W方程建立在目標(biāo)軌道坐標(biāo)系中,坐標(biāo)原點(diǎn)O位于目標(biāo)質(zhì)心,Ox軸沿目標(biāo)的地心矢徑方向,Oz軸與目標(biāo)軌道角動量方向重合,Oy軸由右手法則確定。C-W方程具體形式為

        式中:x,y,z別為追蹤航天器的位置狀態(tài);aTx,aTy,aTz分別為3個方向的推力加速度;n為目標(biāo)軌道角速度。

        優(yōu)化性能指標(biāo)為

        由于采用有限推力,推力加速度aT滿足約束

        DCNLP中最常見是三階Simpson法。具體為:先將系統(tǒng)整個時間過程分為N段,每段的兩個端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn),在兩節(jié)點(diǎn)間用三次Hermite多項式代表狀態(tài)變量隨時間的變化關(guān)系,并假定控制量變化為線性[3]。

        每一段區(qū)間為[ti,ti+1],記

        節(jié)點(diǎn)間狀態(tài)量用三次Hermite多項式表示

        則多項式的系數(shù)矩陣

        形成由

        缺陷向量構(gòu)成等式約束。此處:

        2 改進(jìn)配點(diǎn)法

        文獻(xiàn)[7]指出,用更高階Gauss-Lobatto多項式表示節(jié)點(diǎn)間的狀態(tài)量時有更高的精度,但會加大求解NLP問題的難度。但如系統(tǒng)方程有

        形式,就可用五階多項式擬合狀態(tài)量的變化,同樣假設(shè)控制量的變化為線性,能在不增加約束條件的情況下提高精度。對C-W方程,有

        式中:X1,X2分別為位置和速度狀態(tài),且X1=[xyz]T,X2= [vxvyvz]T;A,B為系數(shù)矩陣,且

        狀態(tài)量X1用五階多項式表示為

        則五階多項式的系數(shù)為

        與三階直接配點(diǎn)法類似,形成缺陷向量

        其中,中間狀態(tài)量X1(tc1),X1(tc2),X2(tc1),X2(tc2)滿足

        用SQP算法優(yōu)化時直接將缺陷向量作為約束條件,效率非常低。將約束改寫為

        的線性形式后,優(yōu)化效率可明顯提高。此處:

        為需優(yōu)化的狀態(tài)量和控制量;

        beq= [(X0)TQ1Q1…Q1(Xtf)T]T.此處:Z1=(X11)T;Z2=(X21)T;Z3=(U1)T;Z4=(X12)T;ZN+1= (X1N+1)T;Z2N+1= (X2N+1)T;Z2N+2= (U2N+1)T;C= [I6×606×3];CL=[C1C2C3]3×9;CU=[C4C5C6]3×9;Q1=03×4。其中:C1~C6分別為X1a,X2a,Ua,X1b,X2b,Ub的系數(shù)矩陣。

        3 仿真與分析

        本文算例是初始狀態(tài)和終端狀態(tài)固定的非共面時間自由交會,驗證改進(jìn)配點(diǎn)法的有效性。設(shè)追蹤航天器的最大推力加速度0.8m/s2,目標(biāo)航天器處于軌道高度500km的圓軌道。初始相對狀態(tài)和終端相對狀態(tài)分別為

        式中:x0=1 000m;y0=2 000m;z0=1 500m;v0x=-10m/s;v0y=-20m/s;v0z=-15m/s;xtf=y(tǒng)tf=ztf=0m;vtfx=vtfy=vtfz=0m/s。將整個過程分為N=10段,用改進(jìn)配點(diǎn)法將問題轉(zhuǎn)為NLP問題,再用SQP算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果為:整個交會時間229.82s,消耗速度增量27.26m/s。交會過程中推力加速度如圖1所示,狀態(tài)量如圖2所示。

        圖1 推力加速度Fig.1 Thrust acceleration

        圖2 狀態(tài)量Fig.2 State

        為分析改進(jìn)配點(diǎn)法的優(yōu)化精度,用優(yōu)化的推力加速度對C-W方程進(jìn)行數(shù)值積分,結(jié)果如圖3所示。由圖可知:最終交會的精度很高,位置精度10-3m,速度精度10-7m/s,均較直接配點(diǎn)法高出1個量級。

        4 結(jié)束語

        本文基于C-W方程,用改進(jìn)配點(diǎn)法求解最省燃料交會問題。給出了最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)模型,并基于C-W方程推導(dǎo)了五階多項式擬合時的缺陷向量及內(nèi)點(diǎn)的表達(dá)式。然后將缺陷向量的等式約束改寫成線性約束的形式,利于用SQP進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。五階多項式擬合狀態(tài)變量能在不增加約束的前提下提高精度。用SQP算法時將約束寫成線性約束的形式可顯著提高優(yōu)化效率。需指出的是,改進(jìn)配點(diǎn)法適于一類具有特殊形式的方程,而并不局限于CW方程。改進(jìn)配點(diǎn)法能用于絕對軌道轉(zhuǎn)移、橢圓軌道交會等問題。

        圖3 狀態(tài)量數(shù)值積分變化曲線Fig.3 State components vs.time via numerical integration

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