壓電陶瓷執(zhí)行器的動態(tài)遲滯建模與零相差前饋補償控制*

唐強，吉方，陳東生，劉廣民，張連新

(中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所，四川 綿陽621900)

摘要：壓電陶瓷執(zhí)行器在動態(tài)應(yīng)用中具有遲滯非線性，給動態(tài)精密跟蹤控制帶來了許多困難。針對壓電陶瓷遲滯特性提出了一種相移遲滯非線性模型，建模的相對誤差小于0.4%；基于相移遲滯模型給出了遲滯補償方法，實現(xiàn)了開環(huán)系統(tǒng)的線性化。同時，根據(jù)相移遲滯模型，為PID閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計了零相差前饋控制器進行指令預(yù)補償。實驗結(jié)果表明，零相差前饋控制使系統(tǒng)在給定頻段內(nèi)實現(xiàn)了良好的跟蹤性能，有效地將跟蹤控制相對誤差降到0.36%以下。

關(guān)鍵詞：壓電陶瓷執(zhí)行器；遲滯特性；零相差控制

文章編號：1001-2265(2015)09-0095-04

收稿日期：2014-11-24

基金項目：*國防基礎(chǔ)科研計劃資助項目(J00303JC)；中物院超精密加工技術(shù)重點實驗室資助項目(ZZ13001)

作者簡介：唐強(1989—)，男，四川綿陽人，中國工程物理研究院碩士研究生，研究方向為機電一體化技術(shù)與裝備，(E-mail)tangqiang15@126.com。

中圖分類號：TH166;TG659

Dynamic Hysteresis Modeling and Zero-Phase-Error Control of Piezoelectric Actuators

TANG Qiang, JI Fang, CHEN Dong-sheng, LIU Guang-min, ZHANG Lian-xin

(Institute of Mechanical Manufacturing Technology, China Academy of Engineering Physics, Mianyang Sichuan 621900, China)

Abstract：The hysteretic nonlinearity of piezoelectric actuator poses many difficulties to the precise tracking control in dynamic application. A phase-delay hysteresis model is proposed for the hysteretic nonlinearity of piezoelectric ceramic with the modeling error less than 0.4%. A hysteretic compensation method based on phase-delay hysteresis model is proposed to linearize the system. Further, A Zero-Phase-Error (ZPE) feed-forward controller based on the phase-delay model is designed for the PID closed system to pre-compensate the displacement order. Experimental results show that the ZPE feed-forward control has achieved a good tracking performance with the relative error less than 0.36%.

Key words： piezoelectric actuator; hysteresis; zero-phase-error control

0引言

壓電陶瓷具有輸出力大、精度高、響應(yīng)速度快、剛度較高等特點，廣泛應(yīng)用于各種微納米定位系統(tǒng)中。但是，在動態(tài)應(yīng)用中，壓電陶瓷的定位精度受壓電元件遲滯特性的影響較大。在一些動態(tài)應(yīng)用場合中，由壓電陶瓷遲滯特性導(dǎo)致的位移相對誤差高達25%[1]，嚴重影響系統(tǒng)性能。

因此，許多學(xué)者針對遲滯特性提出了各種各樣的控制方法，大體上可分為兩類：一類是基于遲滯特性建模的逆補償控制；另一類是考慮遲滯非線性的閉環(huán)控制?；谶t滯特性建模的逆補償控制的核心是對遲滯特性建立數(shù)學(xué)逆模型。目前壓電執(zhí)行器的遲滯非線性模型有Maxwell模型[2]，Duherm模型[3-4]以及Preisach模型[5-6]等。而考慮遲滯非線性的閉環(huán)控制不需要建立遲滯模型，但算法通常較為復(fù)雜。以上控制方法多針對準靜態(tài)或較低頻率下的壓電陶瓷應(yīng)用，難以有效解決動態(tài)應(yīng)用下的高精度跟蹤控制問題。

為了在動態(tài)應(yīng)用中實現(xiàn)較高精度的跟蹤控制，本文提出了一種基于相位滯后特性的相移遲滯模型，通過較為簡便的數(shù)學(xué)描述實現(xiàn)動態(tài)遲滯非線性的建模?；谙嘁七t滯模型，給出了一種遲滯特性的補償方法，實現(xiàn)了壓電陶瓷執(zhí)行器的線性化；同時根據(jù)相移特性，為PID閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計了一個零相差前饋控制器用以補償相移特性，在給定頻率范圍內(nèi)對正弦偏置信號實現(xiàn)了良好的跟蹤控制。

1相移遲滯模型

壓電陶瓷的遲滯特性是一種動態(tài)遲滯現(xiàn)象，與靜態(tài)遲滯系統(tǒng)相比，壓電陶瓷的位移輸出不僅與輸出信號的歷史狀態(tài)有關(guān)，而且與輸入信號的變化率有關(guān)，從而形成了如圖1所示的一種典型多值映射關(guān)系(輸入信號為偏置正弦信號)。隨頻率增加，遲滯環(huán)呈現(xiàn)逐漸“擴張”和“順時針旋轉(zhuǎn)”的趨勢。

圖1　壓電陶瓷遲滯特性

由于存在遲滯非線性的問題，常用的控制算法(如PID控制)通常無法滿足動態(tài)高精度跟蹤控制的應(yīng)用要求。通過復(fù)雜數(shù)學(xué)模型近似描述這種遲滯現(xiàn)象，再通過逆模型補償遲滯特性引起的誤差，不可避免地會使控制算法復(fù)雜，而且對系統(tǒng)動態(tài)跟蹤性能的改善也有限。因此，從壓電陶瓷正弦輸入信號的動態(tài)遲滯現(xiàn)象入手，考慮一種較為簡便的遲滯建模方法。

1.1相移遲滯模型假設(shè)

在測試壓電陶瓷執(zhí)行器對50~250Hz偏置正弦電壓信號的遲滯特性時，發(fā)現(xiàn)執(zhí)行器的位移輸出與輸入電壓的波形形狀幾乎相同，但存在相位差。因此，將遲滯特性近似為相移特性。由此作如下假設(shè)：

壓電陶瓷在偏置正弦輸出信號作用下，遲滯特性使得驅(qū)動器位移輸出相比于輸入信號產(chǎn)生一定角度的相位滯后，輸出信號的幅值正比于輸入信號幅值。其數(shù)學(xué)描述為：

(1)

式中，rin為輸入信號，yout為壓電陶瓷的位移輸出信號。通常來說，輸入信號的信息是已知的，所以該模型的核心是得到輸出信號中的k1、k2以及相位滯后角度φ。

1.2模型驗證

為了驗證假設(shè)的相移遲滯模型，使用德國PI公司的P-845.6S型壓電陶瓷執(zhí)行器及配套的控制和數(shù)據(jù)記錄系統(tǒng)對壓電陶瓷執(zhí)行器的動態(tài)特性進行實驗測試和相移遲滯建模。

輸入電壓信號的頻率為100Hz，幅值A(chǔ)0=100/9V，偏置量A1=100/9V，相位滯后角φ0=π/2。實驗中，數(shù)據(jù)采用同步采樣的方式記錄每一時刻的電壓輸入與位移輸出。

由于輸入信號的信息是完全已知的，因此只要辨識出位移輸出信號的k1、k2以及相位滯后角度φ三個參數(shù)，帶入式(1)即可繪制相移模型的建模曲線，對比實際遲滯曲線即可驗證模型是否準確。參數(shù)辨識原理如下：

對實驗測得的輸出位移和時間數(shù)據(jù)按單一頻率Fourier函數(shù)擬合，即式(2)：

yout=a0+a1cosωt+b1sinωt

(2)

得到a0、a1、b1。

此外，按照模型假設(shè)，有：

yout=k2A1-k1A0sin(φ+φ0)cosωt+

k1A0cos(φ+φ0)sinωt

(3)

對比以上兩式可得：

(4)

由此，可根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的函數(shù)擬合得到的a0、a1、b1，解上式方程組，計算出輸出信號中的k1、k2以及相位滯后角度φ。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，用上述參數(shù)辨識方法，得到式(1)中的模型參數(shù)，見表1。

表1　模型參數(shù)

根據(jù)模型及表1中的參數(shù)得出建模遲滯環(huán)，如圖2所示。

圖2　模型檢驗

建模曲線與實驗遲滯曲線最大偏差為78.3nm。由圖2可以看出，所假設(shè)的相移遲滯模型與實際遲滯特性基本相符，相移遲滯模型建模結(jié)果與實際遲滯特性測試結(jié)果的相對誤差在0.4%以下。

由以上結(jié)果可以看出，所假設(shè)的相移遲滯模型是有效的，而且通過簡單的數(shù)學(xué)描述實現(xiàn)了較高的精度動態(tài)遲滯特性建模。

1.3遲滯特性線性化

在實際的動態(tài)應(yīng)用中，期望壓電陶瓷輸入輸出特性應(yīng)當是線性的，而非環(huán)狀遲滯特性。根據(jù)所提出的相移遲滯模型，利用辨識出的相位參數(shù)，對輸入信號作預(yù)補償。即把輸入信號的相位角提前，提前的角度與相位滯后角度相同，將遲滯環(huán)線性化。將原始電壓輸入信號rin作相移補償，修正為rinn：

rinn=A0sin(2πft-φ0+φ)+A1

(5)

將原始輸入信號作為橫軸，指令修正后的位移輸出作為縱軸，得到修正后的輸入輸出關(guān)系，如圖3所示。

圖3　遲滯特性線性化

對修正后執(zhí)行器的輸入輸出關(guān)系作線性擬合得到線性化的輸入電壓與位移輸出關(guān)系，見式(6)，擬合結(jié)果的線性相關(guān)系數(shù)為1，均方根誤差為0.0395μm。

y=0.8933v+0.07029

(6)

式中，v為原始輸入電壓，單位為V；y為電壓指令修正后的位移輸出，單位為μm。

以上建模結(jié)果表明，相移遲滯模型能夠有效地描述壓電執(zhí)行器的動態(tài)遲滯現(xiàn)象。通過指令預(yù)修正補償，實現(xiàn)了系統(tǒng)在單一頻率偏置正弦輸入信號下的遲滯補償。補償后壓電陶瓷的位移輸出與原始輸入電壓具有良好的線性關(guān)系。

2零相差前饋控制

實驗中發(fā)現(xiàn)PID閉環(huán)控制能使壓電陶瓷具有良好的靜態(tài)定位性能，但由于遲滯特性的存在，PID控制難以兼顧靜態(tài)定位和動態(tài)跟蹤的性能。為改善系統(tǒng)的動態(tài)指令跟蹤性能，利用相移遲滯模型的原理，對PID閉環(huán)控制系統(tǒng)進行改進。

2.1相移系統(tǒng)的補償

實驗測試所使用的P-845.6S型壓電陶瓷執(zhí)行器及配套控制系統(tǒng)可以使用模擬PID閉環(huán)控制器進行定位控制，在保證靜態(tài)定位精度的前提下調(diào)節(jié)PID參數(shù)時，動態(tài)跟蹤誤差難以降低，系統(tǒng)跟蹤動態(tài)位移指令會產(chǎn)生較大的相位滯后。在保證靜態(tài)定位精度的PID參數(shù)下，以跟蹤峰谷值為20μm的100Hz偏置正弦位移指令為例，指令跟蹤結(jié)果如圖4所示。

圖4　PID跟蹤控制結(jié)果

閉環(huán)跟蹤的結(jié)果表明：PID閉環(huán)控制與遲滯特性共同作用的結(jié)果仍然是使得系統(tǒng)整體的輸入輸出特性表現(xiàn)出相位滯后特性，跟蹤誤差最大值為3.483μm，相對誤差接近17.5%。

PID閉環(huán)跟蹤控制的結(jié)果與所提出的相移遲滯模型相符。因此可以按照相移遲滯模型對位移指令的幅值和相位滯后角作預(yù)修正，以實現(xiàn)高精度的位移指令跟蹤。其具體過程如下：

根據(jù)模型參數(shù)辨識結(jié)果，將式(1)中的原始輸入信號rin變修正為rinn，其中

(7)

根據(jù)相移遲滯模型有

(8)

式(8)中rin為原始輸入信號，rinn為預(yù)補償之后的輸入信號，yout為原始輸出信號，youtn為預(yù)補償之后的輸出信號。顯然，通過指令預(yù)補償，補償后的輸出信號復(fù)現(xiàn)了原始輸入信號。

修正后的跟蹤結(jié)果如圖5所示。通過指令預(yù)修正的方式，跟蹤位移指令的最大誤差為79nm，相對誤差降低到0.4%，大大提高系統(tǒng)的指令跟蹤性能。

圖5　修正后的跟蹤控制結(jié)果

以上給出了PID閉環(huán)系統(tǒng)針對某一頻率下偏置正弦信號跟蹤的指令預(yù)補償方法，其核心是先通過實驗結(jié)果辨識出相移模型中的相位和幅值特性。但這種方法的局限性在于每次針對不同頻率或不同幅值的信號，都需要先通過實驗數(shù)據(jù)辨識相移模型中的相位和幅值特性。為克服這一方法的不足，通過實驗測試了系統(tǒng)的一系列頻率特性，并通過曲線擬合的辦法得到其Bode圖(如圖6所示)，從而得到系統(tǒng)所需頻段內(nèi)較為準確的頻率特性，以便實現(xiàn)頻段內(nèi)任意頻率的指令預(yù)補償。

圖6　實驗測試結(jié)果的Bode圖

2.2零相差前饋控制原理

在2.1節(jié)中給出的補償方法始終需要人為干預(yù)，實際使用時有諸多不便?？紤]到零相差前饋能夠有效地實現(xiàn)相位自動補償，而且通過指令的預(yù)補償使得系統(tǒng)在給定頻段內(nèi)的相移為零，能夠?qū)崿F(xiàn)良好的指令跟蹤性能。因此使用零相差前饋的方式進行位移指令的自動預(yù)補償。

零相差前饋控制[7]是仍是基于不變性原理，將前饋控制環(huán)節(jié)設(shè)計成待校正系統(tǒng)的逆，使校正后的系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)為1，實現(xiàn)良好的跟蹤性能。零相差前饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7　零相差前饋控制系統(tǒng)框圖

其中F為前饋控制器，PID為PID控制器，K為線性功放，PZT為壓電陶瓷執(zhí)行器。

令Gc(z-1)為連續(xù)的閉環(huán)PID系統(tǒng)Gc(s)經(jīng)零階保持器(Zero Order Holder)離散化得到的結(jié)果，Gc(z-1)具有s個非最小相位零點，其靜態(tài)增益為1，則Gc(z-1)表示為：

(9)

(10)

2.3前饋控制器設(shè)計

由于閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Gc(s)包含壓電陶瓷遲滯特性，難以用理論方法得出，因此根據(jù)閉環(huán)測試的Bode圖(圖6)擬合得到：

(11)

由式(10)擬合的Gc(s)對比試驗結(jié)果，得到如圖8的擬合誤差。

圖8　閉環(huán)系統(tǒng)擬合誤差

根據(jù)擬合的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通過在前饋控制器中引入對應(yīng)的零點來補償閉環(huán)系統(tǒng)中單位圓外的零點(會轉(zhuǎn)換為前饋控制器的不穩(wěn)定極點)。得到的前饋控制器如式(12)。

(12)

2.4跟蹤控制實驗

跟蹤控制實驗仍采用P-845.6S型壓電陶瓷執(zhí)行器及配套的PID閉環(huán)控制系統(tǒng)，位移檢測采用壓電陶瓷執(zhí)行器內(nèi)置的應(yīng)變片位移傳感器，其位移檢測精度為±5nm。根據(jù)設(shè)計的零相差前饋控制器，先對原始位移指令信號作離線修正。再將修正后的位移指令作為PID閉環(huán)系統(tǒng)的輸入。實驗測試了62.5~250Hz頻段內(nèi)的七個幅值為10μm的單頻率偏置正弦輸入信號(偏置量為10μm)下的跟蹤控制，其結(jié)果見表2。

表2　零相差前饋跟蹤控制實驗結(jié)果

測試的結(jié)果表明，提出的跟蹤控制方案能很好的跟蹤單頻率正弦偏置信號。在250Hz以下的工作頻段內(nèi)，基于相移遲滯模型的零相差前饋控制方案能實現(xiàn)良好的位移跟蹤。系統(tǒng)位移指令跟蹤的相對誤差小于0.36%，具有較高的跟蹤精度。

3結(jié)論

針對壓電陶瓷執(zhí)行器的動態(tài)遲滯特性，提出以相位滯后特性為核心的一種較為簡便的遲滯特性建模方法。根據(jù)相移遲滯原理，通過指令預(yù)補償?shù)姆椒▽崿F(xiàn)了壓電陶瓷遲滯特性的線性化，并給出了相移系統(tǒng)的簡單補償方法。同時，基于相移遲滯模型，設(shè)計了零相差前饋控制器，可以通過離線補償?shù)姆椒?，簡便而有效地實現(xiàn)指令預(yù)補償。實驗結(jié)果表明，所提出的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)給定頻段內(nèi)的單頻率信號的高精度跟蹤控制。

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(編輯李秀敏)