帶有中間緩沖區(qū)的生產系統(tǒng)設備維修策略研究*

嚴正峰，劉猛

(合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009)

摘要：為了保障生產系統(tǒng)的連續(xù)性并降低其維修成本，提出一種以馬爾可夫決策理論為基礎的維修策略動態(tài)選擇方法。在綜合考慮系統(tǒng)運行成本、緩沖庫存成本、設備維修成本及停機損失成本的基礎上，構建了生產系統(tǒng)可靠性成本模型。該模型以帶有中間緩沖區(qū)的二級生產系統(tǒng)為研究對象，以設備狀態(tài)和緩沖庫存量為自變量，以可靠性成本為目標函數(shù)。利用隨機動態(tài)規(guī)劃方法對模型求解，推導出系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略，為生產線設計和維修計劃的制定提供依據。最后，通過實例驗證了模型的有效性和可行性。

關鍵詞：生產系統(tǒng)；庫存；緩沖區(qū)；可靠性成本；維修策略

文章編號：1001-2265(2015)09-0081-05

收稿日期：2014-11-30；修回日期：2014-12-20

基金項目：*安徽省科技廳工程技術研究中心建設計劃；安徽省重點實驗室建設項目(201106G01015)

作者簡介：嚴正峰(1969—)，男，湖北黃梅縣人，合肥工業(yè)大學教授，博士，研究方向為設施布局與物流規(guī)劃，(E-mail)mryzf99@yeah.net。

中圖分類號：TH186；TG506

The Study of Maintenance Policy in a Production System with an Intermediate Buffer

YAN Zheng-feng，LIU Meng

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China)

Abstract：To guarantee continuity and decrease maintenance cost of a production system, a dynamic selection method of maintenance policy based on Markov decision was put forward. On the basis of the comprehensive consideration to the cost of operating, inventory, maintenance and the cost due to the lost production, a reliability-cost model was established. The model took the secondary production system as the research object, equipment condition and the buffer inventory as independent variables, reliability-cost as objective function. The best maintenance policy in different conditions of production system was derived by method of stochastic dynamic programming, the model can provide basis for design of production line and scheduling the maintenance plan. The example verification proved the effectiveness of the model.

Key words： production system; inventory; buffer; reliability cost; maintenance policy

0引言

隨著科學技術的發(fā)展，生產系統(tǒng)的結構變得日益復雜，故障損失也越來越大，因此生產系統(tǒng)的可靠性逐漸受到人們的重視。日常生產活動中，生產系統(tǒng)中的設備不可避免地要出現(xiàn)故障，重大設備故障引起生產系統(tǒng)長時間停頓，給高速運行的生產系統(tǒng)帶來重大的經濟損失[1]。生產系統(tǒng)中增設緩沖區(qū)可以將設備—設備之間的“剛性連接”轉變?yōu)樵O備-緩沖區(qū)—設備的“柔性連接”，從而減少單臺設備故障造成整個生產系統(tǒng)停止運行的狀況。以緩沖區(qū)庫存量和設備狀態(tài)為依據，制定合理的維修計劃，能夠有效降低設備故障率，提高生產效益及生產系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

緩沖區(qū)庫存量和設備維修時機的動態(tài)關系研究具有一定的理論難度和較高的實用價值，為此激發(fā)了一大批研究者展開這一問題的研究，并取得了許多階段性成果。Douer and Yechiali[2]以設備長期運行的期望成本最小化為目標函數(shù)，確定了單臺設備的最佳預防維修周期；Van der Duyn Schouten and vanneste[3]等人以串聯(lián)生產系統(tǒng)中的單臺設備為研究對象，考慮了設備失效率的變化，用嵌入法制定了以設備服務時間和緩沖庫存量為基礎的預防維修策略，并證明了該方法的整體最優(yōu)性。Kyriakidis, Dimitrakos and Karamatsoukis[4-6]等以設備狀態(tài)和緩沖庫存量為依據，分別考慮了設備維修策略和下級緩沖區(qū)、上級緩沖區(qū)庫存量的關系，以設備運行成本最低為目標函數(shù)確定了設備修復后最優(yōu)的等待時間。Yevkin O, Krivtsov V[7]以失效率為Weibull分布的設備為例，建立了設備的更新函數(shù)，用改進的蒙特卡洛方法求解出維修量最小的維修方法。Borrero J S, Akhavan-Tabatabaei R[8]對設備狀態(tài)的退化和緩沖庫存量進行了量化，以設備長期運行的折扣成本最小化為目標函數(shù)，建立了兩個不同的優(yōu)化模型，制定了單臺設備的最優(yōu)維修策略。李同玲[9]將預防性維修問題和生產調度作為一個整體進行研究,主要研究了關于預防性維修的生產調度問題。對該問題設計了一個遺傳算法進行求解。染色體為工件序列和機器序列,針對此問題設計了最先適配啟發(fā)式方法確定各工件的最優(yōu)時間表并作為遺傳算法的解碼。孫凱彪等[10]研究了周期性維護和決策維護。對于周期維護最小化時間表長問題,證明了經典的FFD算法是一個很好的啟發(fā)式算法,并且得到了該算法的一個上界對于決策維護最小化總完工時間問題,分析了SPT算法的界。特別地,對于單機并且機器僅需要2次維護的情況,給出SPT算法的界不超過11/9。韓幫軍等[11-12]提出了等效役齡的概念，建立了預防維修周期間故障率的遞推關系式，以生產系統(tǒng)中的單臺設備為對象建立可靠性成本模型，并用遺傳算法對模型進行了優(yōu)化。盛天文等[13]為解決壽命型設備在基于可靠度的預防維修下的經濟維修策略問題，提出一種基于可靠度和經濟性，求解維修周期和維修時間策略的方法。綜上所述，緩沖庫存量的控制對上下級設備的維修策略的制定有重要影響，目前研究大多以單臺設備為對象，本文將同時考慮緩沖區(qū)和其上下級設備的約束關系，從系統(tǒng)整體的角度考慮設備運行成本和維護成本，制定具體維修策略。

本文以帶有緩沖區(qū)的二級生產系統(tǒng)為研究對象，并將其抽象為可靠性框圖模型，構建生產系統(tǒng)可靠性成本函數(shù)，利用馬爾可夫決策理論確定生產系統(tǒng)中設備狀態(tài)和緩沖庫存的最優(yōu)匹配。模型能夠根據設備工作狀態(tài)和緩沖庫存量確定最優(yōu)的維修策略并指導現(xiàn)場的維修調度。

1模型表達

1.1馬爾可夫決策理論

在視情維修方法下，馬爾可夫決策理論是設備劣化和維修工作建模應用最廣泛的工具[14]。一般來說，用幾個離散的狀態(tài)來描述設備的劣化狀況比如一個連續(xù)的標量更具有可行性[15]。馬爾可夫決策問題的解稱為方法(policy)，是從狀態(tài)集合到動作集合的一個映射，即π:S→A。按照方法解決問題的過程是，首先智能體需要知道當前所處狀態(tài)S，然后執(zhí)行方法對應的行動π(S),并進入下一狀態(tài)，重復此過程直到問題結束。最優(yōu)方法記為π*,對應值函數(shù)為V*,稱為最優(yōu)值函數(shù)。通常,當一個方法π滿足對狀態(tài)S,有V*(S)-Vπ(S)≤ξ時,我們稱π為狀態(tài)S處的ξ最優(yōu)方法，當π對問題所有狀態(tài)均滿足上述條件時，稱其為問題的ξ最優(yōu)方法[16]。

1.2生產系統(tǒng)基本模型和狀態(tài)分析

以帶有緩沖區(qū)的二級生產系統(tǒng)為研究對象，不考慮生產系統(tǒng)上級緩沖區(qū)的物料短缺和下級緩沖區(qū)的物料堵塞情況。生產系統(tǒng)中設備M1以效率d1生產工件并運送至B1儲存，M2以效率d2從緩沖區(qū)B1獲取工件(d1≥d2)，不考慮工件在M1和B1，B1和M2之間的運送時間。如圖1所示。

圖1生產系統(tǒng)可靠性框圖模型

隨著設備M1、M2役齡的增加，其失效率也將增大，可以定期對設備狀態(tài)進行檢查評估并將其分為m+2個狀態(tài)，以0代表設備的全新狀態(tài)，無任何磨損。1,2···,m代表設備磨損程度逐漸增加的過程，但仍可以正常工作。m+1代表設備處于失效狀態(tài)，必須進行故障維修。設備由ξ時刻的狀態(tài)i轉移到ξ+1時刻的狀態(tài)i′的概率為pii′,因設備處于被動維修狀態(tài),所以i′≥i。

對設備可以采取的維修方式u∈{0,1,2}，u=0代表不對設備進行維修活動，使其以現(xiàn)有狀態(tài)繼續(xù)工作，u=1代表對設備進行預防維修，u=2代表對設備進行故障維修。預防維修和故障維修的維修時間均服從幾何分布，且其修復率為定值。當設備處于狀態(tài)1,2···,m時，可以對設備采取維修方式u=0，也可以采取維修方式u=1，當設備處于狀態(tài)m+1時，必須采取維修方式u=2即故障維修。

生產系統(tǒng)的狀態(tài)由設備M1的狀態(tài)i,緩沖區(qū)B1的庫存量x和設備M2的狀態(tài)j決定，即:

S=(i,x,j)

其中：

i∈{0,1,2…,m,m+1,PM},x∈{0,1,2,…,K},

j∈{0,1,2…,m,m+1,PM}。

1.3可靠性成本函數(shù)

可靠性成本指生產系統(tǒng)處于任意狀態(tài)下的運行成本Cij，緩沖區(qū)庫存成本h·x (單位庫存成本h和庫存量x的乘積)，預防維修成本Cp，故障維修成本Cf和停機造成的生產損失成本Cl的總和(可靠性成本函數(shù)可參考文獻[4,6,7,13])，所以可靠性成本函數(shù)為：

Cs=Cij+h·x+Cp+Cf+Cl

(1)

當生產系統(tǒng)處于狀態(tài)S=(i,x,j)時，如對M1進行維修需要考慮M1的停機損失成本及緩沖庫存B1不能滿足M2的需求而造成的生產損失，對M2維修需要考慮M2的停機損失成本及緩沖取B1達到最大庫存容量K造成的生產損失。生產損失成本等于設備單位時間生產損失量與停機時間的乘積。即：生產損失成本。

Cl=d1·t1+d2·t2

(2)

其中，t1表示設備M1的停機時間，t2表示設備M2的停機時間，d1,d2分別表示設備M1、M2的生產率。將(2)式代入(1)式可得：

Cs=Cij+h·x+Cp+Cf+(d1·t1+d2·t2)

(3)

設備預防維修和故障維修時間均服從幾何分布，假設設備修復率為a，則修復所用時間t的概率p(t)=a·(1-a)(t-1)。

2維修策略的制定

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(4)

其中：

(5)

其中：

(6)

其中：

結合公式(4)，(5)，(6)，可得出引理1。

引理1：對任意n=0,1,2,···有

(1)

0≤x≤K,0≤j≤m

(2)

0≤x≤K,0≤i≤m

(3)

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(4)

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

參考文獻證明過程可[7]中l(wèi)emma1。

參考文獻令Cα(i,x,j)為初始狀態(tài)折扣成本的最小期望值，其中(i,x,j)∈S，由[5-7]可知

(7)

且存在非負實數(shù)B滿足：對所有(i,x,j)∈S且α∈(0,1)有

|Cα(i,x,j)-Cα(i,x*,j)|≤B,x*∈(0,m)

(8)

證明詳見文獻[7]中l(wèi)emma3。(7)、(8)式表明存在(i,x,j)∈S有常數(shù)g滿足：

g,C((i,PM),x,(j,PM))},0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(9)

C(m+1,x,j)=min{α·a′·C(0,min(x-d2·t,0),j)+α·(1-a′)·

C(m+1,min(x-d2·t,0),j)+h·x+Cm+1,j+Cf1+Cl-g,

C(m+1,x,PM)},0≤x≤K,0≤j≤m,

(10)

C(i,x,m+1)=min{α·b′·C(0,max(x+d1·t,K),j)+α·(1-b′)·

C(i,max(x+d1·t,K),j)+Cf2+Ci,m+1+h·x+Cl-g,

C(PM,x,m+1)},0≤x≤K,0≤i≤m,

(11)

結合引理(1),(2),(3),(4)和公式(9)，(10)，(11)有以下結論：

存在(i,x,j)∈S 滿足：

C(PM,x,j)≤C(i,x,j)0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

C(i,x,PM)≤C(i,x,j)0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

C(m+1,x,PM)≤C(m+1,x,j)0≤x≤K,0≤j≤m

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)0≤i≤m,0≤x≤K

3實例驗證

為了驗證以上結論的正確性，現(xiàn)給出以下實例進行分析驗證。以汽車離合器蓋及壓盤總成裝配線中綜合性能檢測機和平衡機構成的生產系統(tǒng)為例，綜合性能檢測機對離合器蓋及壓盤總成進行綜合性能檢測，檢測完成后通過機械裝置將離合器蓋及壓盤總成搬運至在制品運輸軌道B1，等待平衡機對其進行平衡測試，詳見圖2。

圖2　二級生產系統(tǒng)模型

令m=10,當i,j∈(0,m)時,Cij=0.3(i+j),當i=PM或m+1時Cij=0.3j,當j=PM或m+1時Cij=0.3i,緩沖區(qū)B1最大庫存量K=15,綜合性能檢測機的預防維修費用Cp1=1.8,修復率a=0.98,故障維修費用Cf1=2.1,修復率a′=0.95,平衡機的預防維修費用Cp2=2.1,修復率b=0.96,故障維修費用Cf2=3.0,修復率b′=0.94?？紤]到設備狀態(tài)衰退的平穩(wěn)性(詳見參考文獻[4]中4.Stationary deterioration),可令Pj,j+1=(m+2-j)-1,h=0.2,d1=d2=0.5。因為常數(shù)g不影響維修策略的選擇，為計算簡單，此處令g=0。把以上參數(shù)代入式(9)~(11)，得到該生產系統(tǒng)中設備的最優(yōu)維修策略。在matlab7.0環(huán)境下利用隨機動態(tài)規(guī)劃方法[17]對模型求解可得C(i,x,j)圖像，如圖3所示。

圖3　生產系統(tǒng)可靠性成本效果圖

且有以下結論：

(1)當x≥4,8≤i≤10且j≤7時,

C(PM,x,j)≤C(i,x,j)

(2)當j=11,7≤i≤10且x∈(12,15)時,

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)

(3)當x≥4,8≤j≤10且i≤6時,

C(i,x,PM)≤C(i,x,j)

(4)當i=11,7≤j≤10且x∈(0,3)時,

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)

(5)當i,j∈(0,10),|i-j|≤2,|i+j|≥14

且x∈(0,15)時,

C(PM,x,PM)≤C(i,x,j),

C(PM,x,PM)≤C(PM,x,j),

C(PM,x,PM)≤C(i,x,PM)

結論(1)、(2)表明對綜合性能檢測機進行預防維修時生產系統(tǒng)的可靠性成本小于生產系統(tǒng)當前狀態(tài)的可靠性成本，即生產系統(tǒng)當前狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略是對綜合性能檢測機進行預防維修，詳見圖4。結論(3)、(4)表明對平衡機進行預防維修時生產系統(tǒng)的可靠性成本小于生產系統(tǒng)當前狀態(tài)的可靠性成本，即生產系統(tǒng)當前狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略是對平衡機進行預防維修，詳見圖5。結論(5)表明同時對綜合性能檢測機和平衡機進行預防維修時生產系統(tǒng)的可靠性成本小于系統(tǒng)當前狀態(tài)下的可靠性成本，小于單獨對綜合性能檢測機或平衡機進行預防維修時的可靠性成本，即生產系統(tǒng)在當前狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略是同時對綜合性能檢測機和平衡機進行預防維修，詳見圖6。

圖4　對綜合性能檢測機預防維修

圖5　對平衡機預防維修

圖6　同時對綜合性能檢測機和平衡機預防維修

4結論

針對傳統(tǒng)制造系統(tǒng)維修策略研究中未全面考慮系統(tǒng)連續(xù)性和可靠性成本的問題，提出一種帶有緩沖區(qū)的生產系統(tǒng)設備維修策略研究方法。構建了基于馬爾可夫理論的可靠性成本模型，并詳細推導出系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的可靠性成本計算公式。實例驗證部分以具體生產系統(tǒng)為例給出了最優(yōu)維修策略，驗證結果表明生產系統(tǒng)維修策略是狀態(tài)閾值問題。本文的研究對于帶有緩沖區(qū)的生產系統(tǒng)設備維修計劃的制定具有一定的指導作用；可靠性成本模型對降低維修成本，提高生產系統(tǒng)的生產率和連續(xù)性有實踐價值。在后續(xù)的研究工作中，將重點考慮當設備生產率隨設備狀態(tài)的衰退發(fā)生變化，設備在不同衰退程度下修復率發(fā)生變化的情況下，如何制定生產系統(tǒng)維修策略。

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(編輯李秀敏)