基于相似極值延拓的EMD端點(diǎn)效應(yīng)改進(jìn)方法*

岳曉峰1，邵海賀2

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 ，長(zhǎng)春130012)

摘要：經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)是HHT變換處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的關(guān)鍵步驟。原始故障信號(hào)經(jīng)過(guò)EMD分解為固有模態(tài)函數(shù)后進(jìn)行希爾伯特變換，求出信號(hào)的瞬時(shí)頻率來(lái)反映故障特征。但分解過(guò)程中產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題使得求出的瞬時(shí)頻率失去準(zhǔn)確性。文章在研究相似極值延拓算法的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)算法，增加了端點(diǎn)處是否作為極值點(diǎn)的判斷，避免了端點(diǎn)數(shù)值超出包絡(luò)線所造成的分析結(jié)果失真問(wèn)題。仿真分析和實(shí)例故障診斷結(jié)果表明，文中算法計(jì)算效率高，能有效抑制經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解過(guò)程中的端點(diǎn)飛翼現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解; 端點(diǎn)效應(yīng)；相似極值延拓

文章編號(hào)：1001-2265(2015)09-0078-03

收稿日期：2014-4-27；修回日期：2015-05-26

基金項(xiàng)目：*吉林省科技廳基金資助項(xiàng)目(20110303)

作者簡(jiǎn)介：岳曉峰(1971—)，男，吉林省吉林市人，長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)器視覺(jué)及智能檢測(cè)，(E-mail)675886609@qq.com。

中圖分類號(hào)：TH166;TG659

Improved Method for End Effects of EMD Based on Similar Extreme Extension

YUE Xiao-feng1, SHAO Hai-he2

(School of Mechatronic Engineering,Changchun University of Technology, Changchun 130012, China)

Abstract：Empirical mode decomposition (EMD) is the key step of Hilbert-Huang transform in the processing non-linear and non-stationary signal. The original fault signal is decomposed into intrinsic mode function on Hilbert transform by Empirical mode decomposition, the instantaneous frequency of the signal to reflect the characteristics of the fault. But the end effects of EMD make the instantaneous frequency lost accuracy during the decomposition process. In this paper a improved method was developed based on the study of Similar extreme extension. The problem of the analysis distortion caused by the endpoint value beyond the envelope is avoided by increasing the judgment of whether the endpoint as the extreme point. Simulation analysis and instance of fault diagnosis results show that the algorithm is of high efficiency and can effectively inhibit endpoint flying wing phenomenon in the process of empirical mode decomposition.

Key words： EMD ; end effects; similar extreme extension

0引言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障信號(hào)大都表現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)性的特點(diǎn)，希爾伯特-黃變換(HHT)能有效分析非平穩(wěn)性信號(hào)，準(zhǔn)確提取故障特征信息。HHT方法的核心是經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD),基于信號(hào)時(shí)域局部特性將復(fù)雜信號(hào)分解成若干固有模態(tài)函數(shù)(IMF)和一個(gè)殘余分量，通過(guò)Hilbert變換得到各IMF的瞬時(shí)頻率和時(shí)頻譜圖，準(zhǔn)確反映出原始信號(hào)的故障特征。近年來(lái)HHT被廣泛應(yīng)用于機(jī)械故障診斷[1]、醫(yī)學(xué)信號(hào)分析[2]以及語(yǔ)音增強(qiáng)[3]等領(lǐng)域。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解過(guò)程中往往采用三次樣條函數(shù)擬合構(gòu)造信號(hào)的上下包絡(luò)線，當(dāng)信號(hào)端點(diǎn)處不是極值點(diǎn)，三次樣條差值求包絡(luò)線時(shí)就會(huì)導(dǎo)致擬合誤差產(chǎn)生端點(diǎn)飛翼現(xiàn)象，并隨著迭代過(guò)程由信號(hào)邊緣擴(kuò)大到內(nèi)部，破壞數(shù)據(jù)序列，導(dǎo)致篩選結(jié)果失真。

針對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，目前常用的改進(jìn)方法包括端點(diǎn)延拓、鏡像延拓、平行延拓、極值延拓以及相似極值延拓等等。本文在分析EMD分解原理和現(xiàn)有延拓算法的基礎(chǔ)上，提出了相似極值延拓改進(jìn)算法來(lái)抑制端點(diǎn)效應(yīng)，采用邊際譜和Hilbert譜來(lái)分析本文方法的抑制效果。通過(guò)對(duì)仿真信號(hào)和實(shí)際故障信號(hào)進(jìn)行分析來(lái)驗(yàn)證本文方法在抑制端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題上的效果。

1EMD算法數(shù)學(xué)原理

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)算法的目的在于對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，使求得的瞬時(shí)頻率具有實(shí)際物理意義。因此EMD分解得到的IMF必須滿足：①信號(hào)的極值點(diǎn)數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目必須相等或最多相差一個(gè)；②通過(guò)極大值和極小值求得的上下包絡(luò)均值為0。

EMD算法的計(jì)算步驟如下：

步驟1：求信號(hào)x(t)所有的局部極值點(diǎn)，并且把所有的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別擬合成上包絡(luò)線u0(t)和下包絡(luò)線v0(t)。

步驟2：計(jì)算上下包絡(luò)的均值m0(t)

h11(t)=h1(t)―m1(t)

(1)

原始信號(hào)x(t)與m0(t)的差值定義為函數(shù)h0(t)，則:

h0(t)=x(t)―m0(t)

(2)

步驟3：判斷h0(t)是否滿足上述的兩條性質(zhì)。若滿足，則h0(t)為IMF；否則，h0(t)被作為待處理數(shù)據(jù)，于是:

h11(t)=h1(t)―m1(t)

(3)

重復(fù)k次前兩個(gè)步驟的處理過(guò)程，直到h1k(t)為一個(gè)IMF，記h1k(t)為c1(x)。

步驟4：原始信號(hào)減去c1(x)得到新的待處理信號(hào)r1(t)，繼續(xù)重復(fù)上述步驟得到各個(gè)固有模式分量。當(dāng)固有模態(tài)分量cn(x)的余項(xiàng)rn(t)小于預(yù)定值時(shí)不能再篩選出模式函數(shù)，EMD分解過(guò)程終止。最終原始信號(hào)x(t)的表達(dá)式如下：

(4)

2相似極值延拓改進(jìn)的算法

2.1端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題

EMD分解過(guò)程中，通過(guò)對(duì)端點(diǎn)處極值點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值擬合獲得信號(hào)的上下包絡(luò)再進(jìn)行包絡(luò)平均，當(dāng)信號(hào)端點(diǎn)處不是極值點(diǎn)，三次樣條差值求包絡(luò)線時(shí)就會(huì)導(dǎo)致擬合誤差產(chǎn)生端點(diǎn)飛翼現(xiàn)象，并隨著迭代過(guò)程由信號(hào)邊緣擴(kuò)大到內(nèi)部，破壞數(shù)據(jù)序列，導(dǎo)致篩選結(jié)果失真。同時(shí)進(jìn)行Hilbert變換過(guò)程中也會(huì)導(dǎo)致端點(diǎn)效應(yīng)的產(chǎn)生，當(dāng)?shù)谝稽c(diǎn)和最后點(diǎn)的數(shù)據(jù)值出現(xiàn)差異時(shí)，變換過(guò)程中就會(huì)發(fā)生頻譜泄露現(xiàn)象，導(dǎo)致時(shí)頻譜圖的精準(zhǔn)性下降。

目前人們大都從兩個(gè)方向著手研究端點(diǎn)效應(yīng)的抑制[4]。一個(gè)方向是延拓原始數(shù)據(jù)序列，另一個(gè)方向就是采用其他的樣條函數(shù)擬合包絡(luò)。采用延拓方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行延長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)EMD分解得到的本征模態(tài)分量中也含有延拓?cái)?shù)據(jù)部分，可以很好地解決包絡(luò)擬合過(guò)程和希爾伯特變換過(guò)程中兩種原因的端點(diǎn)效應(yīng)。

2.2相似極值延拓算法的改進(jìn)

目前常用的抑制端點(diǎn)效應(yīng)的方法有端點(diǎn)延拓法、極值點(diǎn)延拓法、鏡像延拓法以及平行延拓法等等。每種方法都都有各自的優(yōu)點(diǎn)以及一定的局限性，抑制端點(diǎn)效應(yīng)的整體效果還不錯(cuò)。但是它們都是單一參照端點(diǎn)處極值點(diǎn)變化進(jìn)行延拓來(lái)達(dá)到抑制效果，往往忽略了數(shù)據(jù)序列內(nèi)部極值點(diǎn)的影響，會(huì)產(chǎn)生一定的分析誤差。沈路等【5】提出的相似極值延拓法綜合考慮了端點(diǎn)處極值點(diǎn)變化趨勢(shì)和信號(hào)數(shù)據(jù)內(nèi)部極值點(diǎn)大小對(duì)延拓結(jié)果的影響。但是該算法沒(méi)考慮端點(diǎn)的數(shù)值是否超出該端點(diǎn)兩個(gè)相鄰極值包含的范圍，為了避免信號(hào)落在包絡(luò)線之外的區(qū)域，在原有算法的基礎(chǔ)上增加了端點(diǎn)處是否作為極值點(diǎn)的判斷，使得端點(diǎn)處理效果更加完善。

對(duì)長(zhǎng)度為N的離散信號(hào)序列:X(i)=[x(1),x(2),…x(n)]i=1，2,…，N;t=[t(1),t(2),…t(n)];其極大值序列為:U(i)，i=1，2…,K;其極小值數(shù)列為:L(i)，i=1，2…,M。極大值U(i)和極小值L(i)對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列分別為tmax(i),i=1,2,3,…,K;tmin(i),i=1,2,…,M。

將信號(hào)兩端相鄰的一對(duì)極大值和極小值的時(shí)間差作為形狀特征進(jìn)行延拓，延拓極值點(diǎn)的大小為內(nèi)部極值點(diǎn)序列的均值。下面以左延拓算法為例說(shuō)明該算法：

在進(jìn)行延拓極值點(diǎn)之前先增加一個(gè)端點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的判斷：

(5)

(6)

3仿真信號(hào)分析

為了驗(yàn)證該方法抑制端點(diǎn)效應(yīng)的有效性，采用基頻為80Hz、40Hz和20Hz的三種正弦信號(hào)疊加的仿真信號(hào)，采樣頻率為1000Hz。X(t)=sin(2π80t)+0.5sin(2π40t)+0.2sin(2π20t+π/3)。該仿真信號(hào)的理想邊際譜應(yīng)該分別在20Hz和40Hz以及80Hz三處出現(xiàn)沖激，對(duì)比圖1和圖2可以看出未經(jīng)延拓的邊際譜在低頻處存在虛假分量，而相似極值延拓改進(jìn)算法在分解過(guò)程中有效的抑制了端點(diǎn)效應(yīng)，處理后得到的邊際譜圖效果良好。

圖1　未經(jīng)延拓的邊際譜

圖2　基于改進(jìn)相似極值延拓的邊際譜

圖3、圖4和圖5分別是未采用延拓方法、相似極值延拓法和相似極值延拓改進(jìn)算法后分解得到的Hilbert譜，后兩種方法的分析結(jié)果都可以清晰地分解出原始的不同基頻的信號(hào)成分，有效的抑制了端點(diǎn)效應(yīng)。但是對(duì)比圖4和圖5可知，經(jīng)過(guò)相似極值延拓算法的Hilbert譜中還含有少量低頻虛假能量，在數(shù)據(jù)兩端可以觀察到輕微失真。由于相似極值延拓方法能同時(shí)抑制了EMD分解和Hilbert變換的端點(diǎn)效應(yīng)，使得處理后的Hilbert譜能取得更好的分析效果。

圖3　未經(jīng)延拓的希爾伯特譜

圖4　基于相似極值延拓的希爾伯特譜

圖5　基于改進(jìn)相似極值延拓的希爾伯特譜

4實(shí)例分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證方法的有效應(yīng)，采用美國(guó)Case Western Reserve University[6]公開的驅(qū)動(dòng)端軸承SKF6205-2RS的內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行分析研究。軸承損傷是電火花加工造成的單點(diǎn)損傷，信號(hào)的采樣頻率為12000Hz，實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)速為1797r/min時(shí)，旋轉(zhuǎn)頻率為fr=29.95Hz。軸承參數(shù)如下：外圈直徑為R=51.9989mm，內(nèi)圈直徑為r=25.0012mm，節(jié)徑D=39.0398mm，滾珠直徑d=7.9400mm，滾珠個(gè)數(shù)Z=9，接觸角a=00。當(dāng)軸承內(nèi)圈發(fā)生故障時(shí)，相應(yīng)的故障頻率fi可以按下面的公式計(jì)算[7]:

(8)

采用本文方法對(duì)該軸承內(nèi)外圈故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得到圖6和圖7和圖8。從圖5中可知原始信號(hào)分解得到5階IMF分量，在IMF1分量中出現(xiàn)了震蕩成分，反映了內(nèi)圈故障的沖擊響應(yīng)，代表的是內(nèi)圈故障的沖擊信號(hào)；在IMF2中反映的是基頻信號(hào)分量，且信號(hào)兩端沒(méi)有出現(xiàn)擺動(dòng)，表明了相似極值延拓方法較好地抑制了端點(diǎn)效應(yīng)。從圖6和圖7中我們可以看出清晰地找到故障頻率為164.1Hz，與內(nèi)圈理論故障頻率相差很小，因此判斷出是軸承內(nèi)圈故障，而且可以看到在時(shí)頻譜中端點(diǎn)擺動(dòng)的現(xiàn)象并不明顯，說(shuō)明了改進(jìn)相似極值延拓算法可以很好的抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

圖6　內(nèi)圈故障信號(hào)EMD分解

圖7　內(nèi)圈故障信號(hào)邊際譜

圖8　內(nèi)圈故障信號(hào)時(shí)頻譜

5結(jié)論

針對(duì)EMD分解過(guò)程中產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，本文提出的基于相似極值延拓算法的改進(jìn)方法在綜合考慮了端點(diǎn)處極值點(diǎn)變化趨勢(shì)和原始數(shù)據(jù)序列內(nèi)部極值點(diǎn)大小對(duì)原始數(shù)據(jù)延拓的影響基礎(chǔ)上，增加了端點(diǎn)處是否為極值點(diǎn)的判斷，使得端點(diǎn)處理效果更加完善，準(zhǔn)確分析出原始信號(hào)所包含的時(shí)頻信息。通過(guò)仿真信號(hào)和軸承內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)的實(shí)例分析，驗(yàn)證了該方法能很好地抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

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(編輯李秀敏)