林玉花，陳婉琳，王海娜，張惠英

(1．福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州 350116;2．廈門市大同中學(xué)，福建廈門 361008)

0 引言

浮游植物是海洋環(huán)境中的初級生產(chǎn)者，在海洋生態(tài)系統(tǒng)的能量傳遞與物質(zhì)循環(huán)中起重要作用，在海洋生物資源和生態(tài)系統(tǒng)中占有重要地位［1］．由于人類將大量工業(yè)廢水、生活污水等植物營養(yǎng)物質(zhì)排入湖泊、河口等，導(dǎo)致水域環(huán)境的富營養(yǎng)化，赤潮與水華成為當(dāng)今社會迫切需要解決的一個極為嚴(yán)峻的生態(tài)環(huán)境與社會經(jīng)濟(jì)問題［2］，研究表明，在海洋中相對其他浮游藻類，有害藻類取得生長優(yōu)勢的主要原因之一可能是浮游植物的植化相克作用，所以植化相克作用對赤潮與水華的形成具有重要作用．近年來，生物治理方法越來越受到人們的關(guān)注，它主要是利用生物間的競爭、抑制和捕食的關(guān)系，在赤潮區(qū)引入無害藻類以抑制赤潮藻的繁殖，從而減少赤潮的發(fā)生［3］．因此對浮游植物相克模型進(jìn)行研究具有很大的現(xiàn)實意義，學(xué)者們對具有相克作用的浮游植物模型的動力學(xué)行為展開了系列研究，以期可以為赤潮與水華的發(fā)生提供一些早期預(yù)警信息［4－7］．Bandyopadhyay［5］提出并研究了如下兩種群浮游生物相克模型:

其中:N1(t)，N2(t)分別代表兩個相互競爭的浮游生物種群在t時刻的種群密度;αi，i=1，2表示兩種群的內(nèi)凜增長率;βi，i=1，2表示兩種群的種內(nèi)競爭率;νi，i=1，2表示兩種群的種間競爭率;γN1(t)N22(t)表示兩種群個體相遇時，N2種群釋放的毒素對N1種群的影響．對于該模型，文［5］探討了邊界平衡點局部漸近穩(wěn)定性和內(nèi)部平衡點的全局吸引性．最近，在文［7］中指出文［5］的證明是不嚴(yán)密的，其主要結(jié)果是否成立還有待進(jìn)一步的研究，文［7］已經(jīng)針對非自治情形探討了系統(tǒng)的全局吸引性問題，得到了系統(tǒng)正解全局漸近穩(wěn)定的充分性條件，補(bǔ)充和完善了文［5］的結(jié)果．針對文［5］，尚有如下問題有待研究:系統(tǒng)的邊界平衡點是否可能全局漸近穩(wěn)定，毒素對系統(tǒng)邊界平衡點的穩(wěn)定性影響如何;能否在文［5］的工作基礎(chǔ)上，通過克服文［5］分析上的錯誤之處，給出一組合理的保證系統(tǒng)正平衡點全局吸引的充分性條件呢?本文旨在對這兩個問題給出肯定回答．

由生態(tài)學(xué)含義知道，系統(tǒng)(1)中的所有系數(shù)均為大于零的常數(shù)，且系統(tǒng)(1)的初值滿足N1(0)＞0，N2(0)＞0．易知，對?t≥0，系統(tǒng)的任意解N1(t)＞0，N2(t)＞0．

1 主要結(jié)果及其證明

完全類似于文［7］引理2．2及定理2．1的證明，有定理1 若條件

由文［5］可知系統(tǒng)(1)有三個邊界平衡點 E00(0，0)，E10(α1·β1－1，0)，E01(0，α2·β2－1);同時若條件N2*＜α2·β2－1，α1ν2－β1α2＜0成立，則系統(tǒng)(1)至少有一個正平衡點．且其中N2*滿足下面方程

下面給出系統(tǒng)(1)存在唯一正平衡點的一個充分性條件．

定理2 若條件

成立，則系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點E*(N*1，N*2)．

證明 令

其中:a= γβ2，b= － γα2，c= β1β2－ ν1ν2，d= α1ν2－ β1α2．由于 N*2＜ α2·β－12是滿足方程 f(x)=0 的一個根，因此要證得系統(tǒng)(1)只有一個正平衡點只需證明方程f(x)=0在x∈(0，α2·β－12)的內(nèi)只有一個正根．由條件(H2)的第一個條件，有c＞0，d＜0．注意到:f'(x)=3ax2+2bx+c，由條件(H2)有:Δ =4b2－12ac=4γ2α22－12γβ2c ＜ 0．這表明，當(dāng)x∈(0，α2·β－12)，f'(x)＞ 0即f(x)在(0，α2·β－12)單調(diào)增加．注意到f(0)=d＜0，由條件(H2)的第二個條件

可知f(x)在(0，α2·β－12)上有且僅有一個根，因此N*2存在且唯一，即系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點．定理證畢．

定理3 若E10局部漸近穩(wěn)定，此外，進(jìn)一步假設(shè)條件

成立，則E10全局漸近穩(wěn)定．

證明 令 N10= α1·β－11，則 α1= β1N10，E10=(N10，0)．構(gòu)造 Lyapunov函數(shù)

注意到，對所有的(N1，N2)∈(［0，+∞)，［0，+∞))，且(N1，N2)≠(N10，0)有V1(N1，N2)＞0，V1(N10，0)=0．沿著系統(tǒng)(1)的正解計算V1(N1，N2)關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，

則

于是f(N1，N2)＞0．從而有:

所以E10全局漸近穩(wěn)定．

定理4 若E01局部漸近穩(wěn)定，此外，進(jìn)一步假設(shè)條件:

成立，則E01全局漸近穩(wěn)定．

注意到，對所有的(N1，N2)∈(［0，+∞)，［0，+∞))，且(N1，N2)≠ (0，N02)有 V2(N1，N2)＞0，V2(0，N02)=0．沿著系統(tǒng)(1)的正解計算V2(N1，N2)關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，

因此α －νN＜0．令:

1102

則

由條件(H4)可知，g(N1，N2)＞0．從而有

所以E01全局漸近穩(wěn)定．

定理5 假設(shè)條件(H1)成立，此外，進(jìn)一步假設(shè)

成立，其中m2，M1，M2是定理1中所定義的，則E*(N1*，N2*)全局漸近穩(wěn)定．

證明 由條件(H5)知存在足夠小的ε＞0使得

由條件(H1)成立，可知定理1成立，對上述ε＞0，存在足夠大的T，t＞T時有

成立，從而由(4)知當(dāng)t＞T時不等式

成立．今構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

由文［5］可知:V'(t)=－XTAX，其中:

由式(5)知t＞T時A正定，從而V'(t)≤0．當(dāng)且僅當(dāng)N1=N*1，N2=N*2時取等號，這表明正平衡點是全局吸引的，定理證畢．

注1 文［7］給出系統(tǒng)(1)的正平衡點E*(N*1，N*2)全局漸近穩(wěn)定的充分性條件使系統(tǒng)(1)持久和條件

成立．本文定理5也是在系統(tǒng)(1)滿足持久性條件下，考慮正平衡點的穩(wěn)定性問題．條件(H5)，(H6)都使系統(tǒng)的系數(shù)滿足一定的不等式，但是這兩個條件的表達(dá)式不一樣，所給的范圍也是不一樣的，后面將給出例子來說明這一點．

2 數(shù)值模擬

例1

相應(yīng)于系統(tǒng)(1)，有 α1=1．5，α2=0．8，β1=0．1，β2=0．2，ν1=0．02，ν2=0．06，γ =0．002．由Maple軟件計算可知，系統(tǒng)(6)有邊界平衡點E10=(15，0)，E01=(0，4)，不存在正平衡點且

這表明系統(tǒng)(6)滿足定理3的條件，從而E10全局漸近穩(wěn)定，圖1(a)是它的數(shù)值模擬圖，所有滿足不同初值的解最后都趨于點E10．

例2

相應(yīng)于系統(tǒng)(1)，有 α1=1，α2=1．2，β1=0．08，β2=0．04，ν1=0．04，ν2=0．01，γ =0．000 8．由Maple軟件計算可知，系統(tǒng)(6)有邊界平衡點E10=(12．5，0)，E01=(0，30)，不存在正平衡點且

因此系統(tǒng)(6)滿足定理4的條件，從而E01全局漸近穩(wěn)定，圖1(b)是它的數(shù)值模擬圖，所有滿足不同初值的解最后都趨于點E01．

圖1 系統(tǒng)(6)，(7)，(8)的模值摸擬圖Fig．1 Simulation diagrams of system(6)，(7)and(8)

例3

相應(yīng)于系統(tǒng)(1)，有 α1=1，α2=1，β1=0．09，β2=0．1，ν1=0．01，ν2=0．01，γ =0．000 8．由Maple軟件計算可知，系統(tǒng)(7)有邊界平衡點E10=(11．1，0)，E01=(0，10)和唯一的正平衡點E*(N*1，N*2)=(5．615 618 707，9．438 438 129)，且 M1≈11，M2=10，m2≈8．9，從而:

此外，有 β1=0．09= ν2+ γM22=0．09，β2=0．1 ＜ 0．19 ≈ ν1+2γM1M2．

因此，系統(tǒng)(8)滿足定理1和5的條件，但條件(H6)不成立．圖1(c)是它的模擬圖，該模擬圖表明，系統(tǒng)(8)當(dāng)系統(tǒng)滿足條件(H5)但不滿足條件(H6)時，仍然全局漸近穩(wěn)定．

3 結(jié)語

在文［5］的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)得到保證系統(tǒng)(1)的邊界平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分性條件，注意到保證E10全局穩(wěn)定的條件跟表示毒素的系數(shù)γ有關(guān)，而保證E01穩(wěn)定的條件跟毒素?zé)o關(guān)，但是由于這僅是充分性條件，而不是充要條件，目前還無法斷言E01的穩(wěn)定性跟毒素?zé)o關(guān)，這是一個有趣的有待進(jìn)一步探索的問題．此外，得到了正平衡點E*(N*1，N*2)全局漸近穩(wěn)定的一組充分性條件，有效補(bǔ)充和完善了文［5］的工作．