嚴(yán)海霞

（阜寧高等師范學(xué)校江蘇鹽城224000）

微積分解題中拉格朗日中值定理的運(yùn)用初探

嚴(yán)海霞

（阜寧高等師范學(xué)校江蘇鹽城224000）

拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中有著重要的地位，它建立起函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，并且能夠借助于導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出函數(shù)的性質(zhì)，以達(dá)到對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析的目的。本文對(duì)拉格朗日中值定理在微積分解題中運(yùn)用進(jìn)行探討，對(duì)其在不等式、極限以及級(jí)數(shù)收斂性的判斷上的運(yùn)用進(jìn)行分析和歸納。

拉格朗日中值定理；微積分；運(yùn)用

0.前言

在微積分學(xué)中的中值定理有著重要的地位，拉格朗日中值定理很好地把函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，課本[1]上對(duì)其應(yīng)用僅僅停留在表面，沒有對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)地分析和總結(jié)。因此，本文將首先對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)要概述，并著重對(duì)在不等式問題、求極限問題以及級(jí)數(shù)收斂性判定上如何巧妙借用其定理進(jìn)行分析和研究，并給出實(shí)例加以例證。以促進(jìn)對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)上對(duì)該定理的掌握程度，也促進(jìn)在教師之間對(duì)其的研究和交流。

1.拉格朗日中值定理概述

拉格朗日中值定理指出，假如函數(shù)f(x)具備以下兩個(gè)條件：①函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；②函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ，其取值范圍為（a,b），可以得到:

上面這個(gè)表達(dá)式給出了該定理的增量形式。將這個(gè)增量形式與在a和b之間的ξ相結(jié)合就可以在微積分中對(duì)不等式等多種題型進(jìn)行解答。拉格朗日除了上面這種表達(dá)式外，還有另外幾種表達(dá)形式，不同的表達(dá)形式具有不同的應(yīng)用范圍和作用。

（1）假如要表示曲線上某點(diǎn)切線斜率時(shí)，這個(gè)表達(dá)式可用式（1-1）表示：

（2）當(dāng)表示函數(shù)的改變量和該函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)和自變量相乘的關(guān)系時(shí)，可以采用下面（1-2）這個(gè)表達(dá)形式：

（3）當(dāng)表示其函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，可以采用下面（1-3）這個(gè)表達(dá)形式：

該定理也可以稱之為中值公式或者拉格朗日公式，其作為微積分中一個(gè)重要理論，無(wú)論在學(xué)術(shù)上亦或在實(shí)際中都具有十分高的地位和研究?jī)r(jià)值，尤其對(duì)不等式證明、函數(shù)求極限以及判定級(jí)數(shù)的收斂性等問題，應(yīng)用此定理，將使得需要求解的問題簡(jiǎn)單化。

在討論該定理在微積分中的運(yùn)用時(shí)候，我們必須要分析和研究其證明思路。下面對(duì)該定理的證明思路進(jìn)行簡(jiǎn)要分析：

對(duì)該定理的證明思路必須引起高度地重視，因?yàn)樵摱ɡ淼淖C明思路是在不等式證明、極限求解等一切問題中應(yīng)用的前提依據(jù)和重要基礎(chǔ)。對(duì)于該定理的證明思想，可以細(xì)分為以下幾個(gè)步驟：

第一，將需要證明的結(jié)論中的改為未知變量x，并借助于化簡(jiǎn)和整理后可以讓等式右邊為零，也即下面的（1-4）式：

第二，試圖找出（1-4）式的一個(gè)原函數(shù)，其方法如下式（1-5）：

第三，f(x)就是構(gòu)造出的輔助函數(shù)，再借助于羅爾定理來(lái)證明其結(jié)論的正確。

借助于羅爾定理，可以得到f(a)=f(b)，因此可以知道，f(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理的條件，因此，開區(qū)間(a,b)上至少會(huì)有一點(diǎn)ξ，可以得到F'(ξ)=0，從而能夠推導(dǎo)出該定理的基本公式：

2.拉格朗日中值定理在微積分解題中的應(yīng)用

2.1 拉格朗日中值定理在不等式中的應(yīng)用

該定理在不等式的運(yùn)用，其思想是，對(duì)于該定理公式中的ξ在開區(qū)間(a,b)中取值，不管的取得的值為多少，都能夠借助于ξ在開區(qū)間(a,b)的某一值，則能夠估計(jì)f'(x)的范圍，或者也可以認(rèn)為，在ξ是(a,b)上的取值的基礎(chǔ)上，能夠確定f'(x)取值的上下界，然后再利用f'(x)取值的最大最小值去替換該定理中的f'(ξ)，這樣就很輕松地得到不等式。為此，首先應(yīng)該分析該定理在證明不等式的思路和步驟方法。

第一步，要觀察不等式的結(jié)構(gòu)，思考假如將其進(jìn)行變形后是否可以變?yōu)樵摱ɡ淼幕竟较嚓P(guān)的形式。

第二步，在可以進(jìn)行第一步變形的基本要求和前提下，應(yīng)該分析題目給出的已知條件來(lái)構(gòu)造出函數(shù)f(x)。

第三步，對(duì)所構(gòu)造出的函數(shù)f(x)，要驗(yàn)證其是不是能夠滿足該定理的條件。

第四步，借助于f'(x)可以滿足的不等式的條件求出要題目中需要證明的不等式。

下面，結(jié)合幾個(gè)例題來(lái)詳細(xì)講解拉格朗日中值定理在不等式中的應(yīng)用。

證明：設(shè)f(x)=arctanx，則可以在區(qū)間[0,h]上采用該定理進(jìn)行運(yùn)算，也即得：

討論：對(duì)待本題，假如對(duì)該定理在不等式中的運(yùn)用有比較清楚的認(rèn)識(shí)，一般學(xué)習(xí)者解題都會(huì)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行求解，然而，這樣的解題是十分麻煩，而且計(jì)算量也很大，而利用該中值定理進(jìn)行解題，問題則會(huì)簡(jiǎn)單得很多。同時(shí)也應(yīng)該注意，由于拉格朗日中值定理中有求導(dǎo)的式子，所以要對(duì)arctanx、arccotx等一系列簡(jiǎn)單的求導(dǎo)公式要熟記于心，這是解題的基礎(chǔ)，也是正確解題不可忽視的一部分。

2.2 拉格朗日中值定理在極限求解中的應(yīng)用

該定理的應(yīng)用十分廣泛，在極限求解問題中也是經(jīng)常使用到。大體來(lái)說(shuō)，我們采用極限的定義、性質(zhì)或者采用洛必達(dá)法則等一些常規(guī)方法來(lái)求極限，但是很多題目采用此定理來(lái)解答會(huì)方便快捷得很多，下面采用一些實(shí)例來(lái)說(shuō)明在一些極限求解問題上運(yùn)用此定理的好處。

討論：初看此題，似乎沒有可以解題的方法和思路，但是注意到此題中和有一個(gè)共同的特點(diǎn)，也就是它們的結(jié)構(gòu)是相同的，都可以表示為，這樣采用該定理來(lái)求解，就會(huì)顯得簡(jiǎn)單便捷的很多。

討論：本題假如用極限的定義或者性質(zhì)求解，將會(huì)很麻煩而且計(jì)算過程也會(huì)很復(fù)雜。假如仔細(xì)觀察這類題目的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)被減數(shù)和減數(shù)之間的自變量就相差為1，而這類題型的求解假如采用拉格朗日中值定理來(lái)求解，如上述解題過程，不僅方便，而且解題思路很清晰。

2.3 拉格朗日中值定理在收斂級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

該定理的也在判定級(jí)數(shù)的收斂性上有著具體的應(yīng)用，最典型的例子是對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)的收斂性進(jìn)行判斷。下面通過這個(gè)例子的講解，來(lái)分析此定理在收斂級(jí)數(shù)中的運(yùn)用。

證明：假設(shè)f(x)=lnx，則f(x)在區(qū)間[N,N+1]上是連續(xù)的，在開區(qū)間（N，N+1）上可導(dǎo)，根據(jù)該定理可知，在區(qū)間（N，N+1）上至少存在著一點(diǎn)ξ，可以使得：

于是可得，當(dāng)N=1時(shí)候，ln2-ln1〈1；當(dāng)N=2時(shí)，有，當(dāng)N=3時(shí)，有以此類推，可知，當(dāng)N=n時(shí)，有

討論：對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性，高等數(shù)學(xué)中只是指出用其發(fā)散性和其他級(jí)數(shù)相比較來(lái)判斷其他級(jí)數(shù)的斂散性，對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性的證明，假如僅僅使用級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)或者判定準(zhǔn)則進(jìn)行判斷是一件十分困難的事情，而本題中借助于該定理來(lái)判斷調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性，其解答過程簡(jiǎn)單，而且比較容易理解，不失為該定理在審斂級(jí)數(shù)中具體運(yùn)用的典范。

3.結(jié)束語(yǔ)

拉格朗日中值定理作為微積分學(xué)中一個(gè)重要的核心定理之一，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，應(yīng)當(dāng)牢固對(duì)其基本概念以及有關(guān)該定理的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)。在借助于拉格朗日中值定理來(lái)解決不等式問題、極限求解問題以及判斷級(jí)數(shù)的收斂性問題等一系列問題的核心是必須構(gòu)造出滿足該定理的輔助函數(shù)和相應(yīng)的區(qū)間，然后才能對(duì)其采用拉格朗日中值定理來(lái)求解題目中的問題就顯得很方便。所以，這里又要求我們對(duì)構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)、有關(guān)特征等一系列問題都必須搞清楚和真正弄懂弄通，對(duì)這些函數(shù)的使用范圍要很熟悉。當(dāng)然，除此之外，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的提高，而數(shù)學(xué)能力的提供的途徑在于對(duì)問題多思考和加以總結(jié)和分析，并結(jié)合一定的習(xí)題練習(xí)，這樣才能夠更快更好的構(gòu)造出拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)來(lái)求解。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社，2001.

［2］劉振航.關(guān)于拉格朗日中值定理的證明[J].天津商學(xué)院學(xué)報(bào)，2002,(5):35-36.

G642.3

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2095-7327（2015）-08-0031-02

嚴(yán)海霞（1979.11—），女，江蘇射陽(yáng)人，碩士，講師，就職于阜寧高等師范學(xué)校，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)。