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圖像分割的變分模型與數值計算

薛瑞 李然

信陽師范學院（信陽 464000）

摘 要在圖像分析與計算機視覺領域中,圖像分割技術應用很廣，它是一個基礎的并且非常重要的課題?，F如今，關于變分模型的圖像分割方法得到了國內外學者的廣泛關注。本文將要討論圖像分割的變分模型與數值計算，主要提出一種快速求解 Mumford-Shah 模型的變分水平集分割方法和C-V 模型。

關鍵詞圖像的分割技術 變分模型技術 數值計算

圖像分析技術的第一步就是圖像分割，圖像分割成為計算機視覺的基礎，也是對圖像理解來說非常重要的組成部分，因此圖像分割技術也成為了數字圖像處理的基礎性難題。

人類在實際生活中獲得的大量信息絕大部分來源于視覺的圖像信息，這是由于圖像信息具有形象、直觀、易懂和信息量大的一些特點，所以它成為我們日常生產生活中接觸最多的信息種類之一。所謂的圖像處理，就是對于一些圖像信息，我們需要利用科學手段進行分析、加工和提取，使其滿足人們的感官以及其他方面的要求，而這個過程即是處理的過程。那么，我們來介紹一下圖像處理的方法，數據的編碼和傳輸是其中之一，其次是平滑、邊緣銳化和分割的特征，最后還有特征抽取圖像增強、圖像識別與理解等。

1　圖像分割方法概述

目前，一些特定理論、方法相結合的圖像分割方法相繼出現，在各學科許多新理論和新方法的提出后，下面我們簡要的介紹以下幾種分割方法。

(1)基于數學形態(tài)學的圖像分割

形態(tài)學圖像分割是為了達到對圖像分析和識別的目的，首先要獲得圖像的對應形狀，那么形狀的獲取就要利用具有一定形態(tài)的結構元素去度量和提取，以達到分析和識別的目的。

(2)基于人工神經網絡的分割

人工神經網絡法具有自學習、自組織和自適應的性能，并且具有較強的非線性映射能力，十分適合去解決那些背景內容不確切、推理準則不明顯以及十分復雜的分割情況?？梢杂糜柧殬颖炯瘜ι窠浘W絡進行訓練，目的是以確定節(jié)點間的連接和權值, 然后新的圖像數據被訓練好的神經網絡分割，這就是神經網絡方法分割圖像的基本思路。

(3)基于聚類的分割

聚類分析是多元統計分析的方法之一，也是數據挖掘的一個重要算法；同時它是模式識別中非監(jiān)督模式識別的一個重要手段。聚類劃分算法技術大致上可分為三種方式：模糊聚類，可能性聚類，硬聚類。1.1 基于變分方法的圖像分割

給變分圖像分割的思想下個定義：那就是在圖像中描述一條曲線，該曲線受內外能量的共同支配，內部能量是由圖像輪廓自身特性決定的，外部能量是圖像特征決定的，我們可以根據物理運動系統中得來的能量泛函來描述這條曲線的所有屬性以及它的運動方式；來優(yōu)化這個能量泛函，最終實現這樣的目標，即這條曲線在移動中的能量逐步趨于最小，并最終在所要找的物體輪廓附近停止。

水平集方法是一種表示活動輪廓的方式，也是我們目前常采用的：由于水平集方法的引入，可以使用活動輪廓模型可以處理一些圖像分割問題。水平集方法將閉合曲線演化問題轉化為更高維空間中水平集函數演化的隱含方程來求解，從而便于處理曲線（曲面）的拓撲結構變化，并具有計算穩(wěn)定的特點。

1.2 幾個經典的變分模型

下面給出兩個相關的變分圖像分割模型。

(1)Mumford-Shah（M-S）模型

1989 年，一個著名的變分模型被Mulnford 和shah 提出，很多圖像分割方法被他們的工作統一，并提出了很多理論和實際問題。

(2)Chan-Vese（C-V）模型

由于 M-S 模型實際應用中存在諸多局限性，大量的學者更多的研究其簡化模型，這其中最著名的模型是 C-V 模型。在 2001 年，Chan 和 Vese基于水平集框架，提出了一種高效的模型的方法用來求解二相分片常值 M-S。給定一幅灰度圖像， C 為一封閉曲線，則能量泛函

能夠重新表示為：

其中，v >0是權重參數，inside ( C )和 outside ( C )分別表示曲線C的內部區(qū)域和外部區(qū)域；用

這兩個常值，來擬合曲線 C 的內部區(qū)域和外部區(qū)域的灰度值。當閉合曲線C在內部或外部區(qū)域時，的值較大，只有曲線達到兩個區(qū)域邊界時，

的值才能達到最小。這樣當式子最小化時，就可以將目標邊界分離出來。

2　基于水平集的快速變分分割模型

Chan 和 Vese 確實使用了交互最優(yōu)化方式來求解下面的極小化問題：

詳細地，Chan-Vese 極小化能量泛函的主要步驟是：

：

再次：通過求解下面偏微分方程的穩(wěn)定解，得到

3　數值算法和實驗結果

我們并沒有采用復雜的逆向差分方法，而是簡單使用有限差分方法。在數值實現時，空間偏導數

，進而偏微分方程可以被離散下面的形式：

表示為

這里，

其中，為大于零的參數，我們通常選取非常小的數，從而能夠避免上式中奇異性問題的出現。

4　結語

本文對圖像分割數值計算的小部分問題進行了研究和總結，從變分模型的實際存在的問題出發(fā)，研究這些問題出現的原因并提出新的模型；其次，在水平集框架下，提出了一種快速變分方法來求解Mumford-Shah 模型的和C-V 模型。探討了通常在求解能量泛函時將會產生的固有局限，即不得不使用交互最優(yōu)化的方式；同時，將聚類算法整合入變分水平集框架，從而提出了一種新的方式來極小化Mumford-Shah 能量泛函。

變分模型在圖像處理和計算機視覺領域中大量產生，使得圖像處理和計算機視覺的研究突飛猛進。在今后的研究中，首先應強化這方面的理論基礎，研究并試圖去解決一些實際需求涉及的理論問題。另外，數值求解過程中的不準確可能會帶來求解的不精確，甚導致錯誤求解，今后應能夠分析變分模型數值求解方法中關于穩(wěn)定性、唯一性、收斂性的證明問題。最后，應能夠結合實際需要，將變分模型具體應用到現實生活和生產中，發(fā)揮其使用價值。

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（責任編輯：興安）