康永強(qiáng)

(廣東順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東佛山528300)

1 提出問題

本文在 －1＜p0≤p(t)≤0的情形下，考慮二階中立型時滯擬線性微分方程

其中，x(t)=y(t)+p(t)y(t－ τ).

首先，有以下假設(shè):

(A1)τ，σ，σ1，σ2是非負(fù)的常數(shù)，α，β，γ 是正的常數(shù)，σ ≥ σ1，σ ≥ σ2且0 ＜ α ＜ γ ＜ β;(A2)q0，q1，q2∈ C(［t0，∞)，R+)，R+= ［0，∞);

(A3)r∈ C(［t0，∞)，(0，∞ )) ，p∈C(［t0，∞)，R)且 －1 ＜ p0≤p(t)≤0，p0是常數(shù).

函數(shù) y(t)∈ C(［Ty，∞)，R)，Ty≥t0，是方程(1.1)的解，如果p(t)|x'(t)|α－1x'(t)∈C1(Ty，∞)且滿足方程(1.1)，我們主要考慮方程(1.1)的非平凡解y(t)，即sup{|y(t)|:t≥T}＞0，T≥Ty.如果它有任意大的零點(diǎn)，稱之為振動的;否則，稱之為非振動的.如果方程(1.1)的所有非平凡解都是振動的，方程(1.1)稱為振動的.

當(dāng)時 p(t)≡0，q1(t)≡0，q2(t)≡0，σ =0 時，方程(1.1)轉(zhuǎn)化為半線性微分方程

可參見 Elbert［3］，Li和 Yeh［4］.

當(dāng) q0(t)≡0，r(t)≡1，σ = σ1= σ2時，方程(1.1)轉(zhuǎn)化為

由Xu和Liu［9］得到如下結(jié)果.

則方程(1.3)是振動的.且

本文受 Wang［7］，Wang 和 Yang［8］，Xu 和 Liu［9］以及 Liu［10］等的啟發(fā)，將文獻(xiàn)［9］的結(jié)果推廣至(1.1)，修正了Xu和Liu［9］其中的一些錯誤.

2 二階中立型時滯擬線性微分方程的振動準(zhǔn)則

本文在 －1＜p0≤p(t)≤0的情形下，建立方程(1.1)的新的振動準(zhǔn)則.

為了方便表達(dá)，作出如下標(biāo)記:

(H1)H(t，t)=0，t≥ t0，H(t，s)＞ 0，(t，s)∈ D0;

(H2)H關(guān)于第二個變量有連續(xù)和非正的偏導(dǎo)數(shù)，滿足

對于給定的函數(shù) h ∈ C(D，R)，ρ∈ C1(［t0，∞)，R+)和 η ∈ C1(［t0，∞)，R)，記

滿足，則方程(1.1)的解或者是振動的，或者當(dāng)t→∞ 時趨于0.

證明 假定y(t)是方程(1.1)的非振動的解，不失一般性，假定y(t)≠0，t≥t0.不妨設(shè)存在t1＞t0，使得

成立，類似與文獻(xiàn)［11］中引理1(1)的證明.根據(jù)文獻(xiàn)［11］引理1(2)和文獻(xiàn)［10］，對某個T0≥t1+τ+σ，有x'(t)＞ 0且x″(t)＜ 0，但x(t)＞ 0或x(t)＜ 0，t≥T0－ τ － σ.

(i)當(dāng)x(t)＞0時，注意到y(tǒng)(t)≥x(t)，當(dāng)t≥T0時，有

由方程(1.1)，可得

定義ω(t)，

對(2.5)微分，有

由(2.4)和x'(t)＜ x'(t－ σ)，可得

由 Hardy［16］，定理 61，可得

于是

結(jié)合(2.6)和(2.7)，當(dāng) t≥ T0時，有

將(2.8)用 s代換 t，用 H(t，s)相乘，并在［T，t］上積分，根據(jù)(H2)，對所有的 t≥ T ≥ T0，有

現(xiàn)令

根據(jù)文獻(xiàn)［16］，則有

將(2.10)代入(2.9)，得到

因此，根據(jù)(H2)，得到

(2.12)在t→∞ 時的上極限的結(jié)果與條件(2.1)矛盾，即y(t)是振動的.

(ii)當(dāng)x(t)＜0時，由文獻(xiàn)［10］的結(jié)論可知，當(dāng)t→∞ 時，y(t)趨于0.

由(i)和(ii)，定理2.1得證.

且有

存在 φ ∈ C(［t0，∞)，R)，使得

且對所有的T≥t0，有

當(dāng)方程(1.1)滿足(2.15)時，方程(1.1)的解或者是振動的，或者當(dāng)t→∞ 時，趨于0.

證明 定理2.2的證明過程和定理2.1的情形類似，有(2.9)和(2.11)成立.因此，由(2.11)，對于所有的t＞ T≥T0，有

同時，根據(jù)(2.16)，則有

定義

則根據(jù)(2.11)和(2.17)，可知

現(xiàn)在，我們斷定有下式成立

否則，假定(2.19)相反的情形

根據(jù)(2.13)，存在一個正的常數(shù)k1，使得

令k2是任意常數(shù)，從(2.20)可知，存在T1≥T0，使得

而且

根據(jù)(2.21)，存在一個 T2≥ T1，使得 H(t，T1)/H(t，T0)≥ k1，對任意 t≥ T2，說明 Q(t)≥ k2y，即

接下來，觀察(2.18)，可以確定一個在［t0，∞)的數(shù)列，滿足

即存在常數(shù)M，使得

對任意大的n∈N，由(2.23)確定

另外，由(2.24)表明

因此，由(2.24)和(2.26)，得出不等式

對任意大n∈N，觀察上式從及(2.26)，有

這樣，由(2.27)，則

與(2.15)矛盾，因此(2.21)成立.由(2.19)和(2.21)得到

與(2.15)矛盾.則定理2.2 得證.

以下定理的證明都類似于定理2.1和定理2.2，故略去.

存在 φ∈C (［t0，∞)，R )，使得(2.16)成立，且對所有的T≥t0，有

當(dāng)方程(1.1)滿足(2.28)時，方程(1.1)的解或者是振動的，或者是當(dāng)時t→∞，趨于0.

當(dāng)方程(1.1)滿足(2.29)時，方程(1.1)的解或者是振動的，或者是當(dāng)t→∞ 時，趨于0.而且，假設(shè)φ∈C(［t0，∞)R)，且(2.16)和(2.28)成立.

3 結(jié)論

當(dāng) －1 ＜ p0≤p(t)≤0時，定理2.1、定理2.2、定理2.3和定理2.4修正了Xu和Liu［9］中相應(yīng)的結(jié)果.具體地，由于Xu和Liu［9］引用的文獻(xiàn)［11］中引理1(2)有誤［10］，得到方程(1.3)是振動的;而我們的結(jié)論是:方程(1.1)的解或者是振動的，或者是當(dāng)t→∞ 時，趨于0.

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