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        巧思妙想 靈活運(yùn)用

        2015-12-28 16:11:04潘成洲
        初中生世界·八年級 2015年12期
        關(guān)鍵詞:標(biāo)桿直角勾股定理

        潘成洲

        勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論,它有著悠久的歷史,在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著重要的作用.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”,在運(yùn)用勾股定理解題時(shí),若能正確地把握數(shù)學(xué)思想方法,則可開闊思路,解題更加簡便快捷.現(xiàn)將幾種常見思想方法總結(jié)如下:

        一、 數(shù)形結(jié)合思想

        數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù),以數(shù)解形”,將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)問題中所隱含的條件.勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的定理,它的驗(yàn)證和應(yīng)用,都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

        例1 ? 有一直立標(biāo)桿,它的上部被風(fēng)吹折,桿頂著地,離桿腳20 cm,修好后又被風(fēng)吹折,因新斷處比前次低了5 cm,且標(biāo)桿頂著地處比前次遠(yuǎn)10 cm,求標(biāo)桿的高.

        【分析】依題意作圖如圖1,數(shù)形結(jié)合求解.設(shè)第一次吹折后下段AB的長為x cm,上段BC的長為y cm,第二次吹折后下段AD的長為(x-5) cm,上段DE的長為(y+5) cm,依題意得,

        y2-x2=202, ? ? ? ? ? ? ? ? ①(y+5)2-(x-5)2=302, ②

        只要求出x+y的值即求出標(biāo)桿的高而不必單獨(dú)求x與y的值.

        解:設(shè)第一次吹折后下段AB的長為x cm,上段BC的長為y cm,

        第二次吹折后下段AD的長為(x-5) cm,

        上段DE的長為(y+5) cm,依題意得,

        y2-x2=202, ? ? ? ? ? ? ? ?①(y+5)2-(x-5)2=302,②

        由②-①得,10(x+y)=500,

        ∴x+y=50.

        故標(biāo)桿的高為50 cm.

        【點(diǎn)評】利用三邊的平方關(guān)系或輔助線結(jié)合生活常識可獲得直角三角形,進(jìn)而可求邊長或面積.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的重要思想方法,它可以使抽象的知識轉(zhuǎn)化為形象的圖形,從而處理起來更直觀、容易,應(yīng)該引起同學(xué)們的重視.

        二、 方程思想

        例2 ?在△ABC中,AB=10,AC=6,∠C=90°,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),M、N分別為直角三角形的直角邊與AC、BC的交點(diǎn).

        (1) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí),求BN的長.

        (2) 當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí),即點(diǎn)M在AC上(不與A、C重合),猜想圖3中AM2、CM2、CN2、BN2這四條線段滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明你得出此結(jié)論的理由.

        【分析】(1) Rt△ABC中,已知AB=10,AC=6,可由勾股定理直接求出BC=8.不難發(fā)現(xiàn)連接AN可證AN=BN,在Rt△ACN中已知AC及AN與CN的數(shù)量關(guān)系,可設(shè)BN=x,則CN=8-x,由勾股定理得到方程62+(8-x)2=x2即能解出BN.

        (2) 觀察題中線段都含有平方,聯(lián)想到勾股定理,但發(fā)現(xiàn)不能直接得出數(shù)量關(guān)系,只能添加輔助線構(gòu)造全等將BN轉(zhuǎn)化為AE,使得AM、AE和CM、CN存在兩個(gè)直角三角形中,利用勾股定理則有AE2+AM2=EM2、CN2+CM2=MN2的數(shù)量關(guān)系,再由EM、NM相等建立等量關(guān)系便能解決問題.

        解:(1) 連接AN.

        ∵Rt△ABC中,∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2=64,

        ∵BC>0,

        ∴BC=8,

        ∵OA=OB,

        ∠AON=∠BON,ON=ON,

        ∴△OAN≌△OBN(SAS),∴AN=NB.

        設(shè)BN=x,則CN=8-x.

        ∵Rt△ACN中,∠C=90°,

        ∴AC2+CN2=AN2,∴62+(8-x)2=x2,

        (2) 延長NO到E,使EO=NO,連接AE、EM、MN.

        ∵OB=OA,

        ∠NOB=∠EOA,ON=OE,

        ∴△NOB≌△EOA(SAS),

        ∴BN=AE,∠B=∠EAO,∴AE∥BC,

        ∴∠EAC+∠C=180°.

        ∵∠C=90°,∴∠EAC=90°,

        ∵M(jìn)O垂直平分EN,∴EM=MN.

        ∵AE2+AM2=EM2,CN2+CM2=MN2,

        ∴AM2+BN2=CN2+CM2.

        【點(diǎn)評】我們發(fā)現(xiàn)“方程”是解決勾股定理計(jì)算問題的有效工具,思路清晰,解題簡便.我們也體會(huì)到直角三角形與等腰三角形有著密切的聯(lián)系,把研究等腰三角形轉(zhuǎn)化為研究直角三角形,轉(zhuǎn)化的思想是研究問題的一種策略.

        三、 整體思想

        例3 ? 已知a、b、c分別是Rt△ABC的兩條直角邊和斜邊,且a+b=14,c=10,則S△ABC=_______.

        【分析】一般的想法,要求直角三角形的面積,先求出其兩條直角邊a、b,則S△ABC即可求出,但這樣求a、b非常繁雜,甚至在現(xiàn)階段不可能.如果注意到:S△ABC=ab,那么只要求出ab這一整體就可以了.

        解:由a+b=14,兩邊平方得:a2+2ab+b2=196,所以ab=,

        根據(jù)勾股定理,a2+b2=c2.

        【點(diǎn)評】運(yùn)用整體思想,有時(shí)可以直奔主題,少走彎路,使問題的解決更方便、快捷,在一定程度上,體現(xiàn)了解題者的目標(biāo)意識.

        (作者單位:江蘇省常州市蘭陵中學(xué))

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