孫景亮，劉春生，史浩明

(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210016)

0 引言

避障問(wèn)題是研究多智能體飛行器協(xié)同控制不可忽視的關(guān)鍵問(wèn)題，這將直接影響飛行器能否順利完成既定任務(wù)以及適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境的能力。近年來(lái)，針對(duì)飛行器協(xié)同一致性以及避障的研究不勝枚舉，其主要應(yīng)用工具就是圖論。它將多飛行器系統(tǒng)看作網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌?］，這對(duì)多智能體系統(tǒng)的研究具有指導(dǎo)意義。同時(shí)，考慮到續(xù)航能力、經(jīng)濟(jì)性、實(shí)時(shí)性等重要指標(biāo)的要求，最優(yōu)一致性算法得到廣泛發(fā)展［2-3］。針對(duì)復(fù)雜環(huán)境下的最優(yōu)避障，其方法主要是兩類:一是分別設(shè)計(jì)最優(yōu)一致性控制器和避障控制器［4］，該方法應(yīng)用廣泛且簡(jiǎn)單實(shí)用，但并不能保證系統(tǒng)的全局最優(yōu)，即飛行器的避障過(guò)程不是最優(yōu)化的;二是將避障函數(shù)直接設(shè)計(jì)在優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)中［5］，從而保證了飛行器的全局最優(yōu)。這兩種方法均未過(guò)多考慮傳統(tǒng)人工勢(shì)能場(chǎng)的缺點(diǎn)，即飛行器易陷入局部極值。文獻(xiàn)［6］采用選擇速度避障的方法，將飛行器的速度信息用于避障，有效降低了陷入局部極值的可能性，但該方法只針對(duì)特定的三種模式下的避障，因而不具有普遍性。

傳統(tǒng)人工勢(shì)能場(chǎng)避障函數(shù)是利用對(duì)飛行器的排斥力迫使其遠(yuǎn)離障礙物，但當(dāng)飛行器處于勢(shì)能場(chǎng)向量的相反方向時(shí)，勢(shì)能場(chǎng)的排斥力很容易抵消飛行器的速度，從而使飛行器陷入局部極值或瞬間失速的狀態(tài)，這對(duì)于飛行器而言，無(wú)疑是致命弱點(diǎn)。

針對(duì)以上分析，本文提出基于動(dòng)態(tài)勢(shì)場(chǎng)法的最優(yōu)一致性避障算法，使勢(shì)能場(chǎng)向量根據(jù)飛行器距離障礙物的位置信息和速度信息而變化，這樣勢(shì)能場(chǎng)向量和飛行器速度向量的合力，迫使飛行器平滑繞過(guò)障礙物，既解決了飛行器陷入局部極值的問(wèn)題，又能夠避免接近障礙物時(shí)引起的振蕩，同時(shí)可以保證系統(tǒng)的全局最優(yōu)。

1 圖論

多智能體之間的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以用一個(gè)圖G=(V，E)來(lái)表示。其中:V表示圖G的有限非空頂點(diǎn)集合V={1，2，…，n};E表示圖的有限邊集合，E={(i，j)|i，j∈V，i≠j}，(i，j)表示智能體 i和 j之間的通訊，i=1，2，…，n。在圖 G 中，若(i，j)∈E≠(j，i)∈E，則稱該圖為有向圖，否則為無(wú)向圖。

本文假設(shè)智能體之間的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為無(wú)向圖，假設(shè)存在5個(gè)智能體，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 智能體通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Communication topology of agents

圖G的拉普拉斯矩陣L=D(G)－A(G)。其中:度矩陣D(G)=diag(d(i))，d(i)為圖G中與頂點(diǎn) i相關(guān)聯(lián)邊的數(shù)目;鄰接矩陣 A(G)=［aij］，aij為連接頂點(diǎn)i與頂點(diǎn)j的邊數(shù)。拉普拉斯矩陣L存在如下性質(zhì):0是矩陣L的一個(gè)特征值，向量1是特征值0所對(duì)應(yīng)的特征向量［7］。

2 問(wèn)題描述

用一組單積分器動(dòng)態(tài)系統(tǒng)來(lái)描述多智能體系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為:

其中:

式中:xi∈ Rm，ui∈ Rm(i=1，2，…，n)分別表示智能體i的位置和控制輸入;?表示矩陣的Kronecker積;0n表示n維零矩陣;Im，In分別表示m維和n維單位矩陣。

定義誤差動(dòng)態(tài)方程為:

式中:Xf∈Rm表示飛行器終端狀態(tài);Uf為終端控制輸入。由圖論拉普拉斯矩陣性質(zhì)可得0nm×1，即終端狀態(tài)Xf為常數(shù)，終端控制輸入U(xiǎn)f為零。

3 避障函數(shù)

假設(shè)障礙物可表述為矩形(x0±v1，y0±v2)，其中(x0，y0)為矩形中心，v1，v2∈R+。則圍繞該矩形障礙物所形成的勢(shì)能場(chǎng)向量可表述為:

其中:

引理［8］:在橢圓簇上任意一點(diǎn)(x，y)沿著橢圓軌跡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的軌跡方程為:

如圖2所示，飛行器與障礙物中心連線和水平方向的夾角為χi=atan 2(y0－yi，x0－xi)，函數(shù)atan 2計(jì)算兩點(diǎn)形成的斜率角度，取值范圍atan 2(y，x)∈［－ π，π］。

圖2 動(dòng)態(tài)勢(shì)能場(chǎng)避障示意圖Fig.2 Obstacle avoidance in dynamic potential field

假設(shè)旋轉(zhuǎn)勢(shì)能場(chǎng)向量可以表示為:

則由旋轉(zhuǎn)軌跡方程式(4)得:

式中:(vxc，vyc)，(vxcc，vycc)分別表示勢(shì)能場(chǎng)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)向量和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)向量。

為保證勢(shì)能場(chǎng)向量隨著飛行器與障礙物距離的減小而增大，對(duì)勢(shì)能場(chǎng)向量進(jìn)行如下改造:

其中:

因此障礙物周圍勢(shì)能場(chǎng)向量可以表示為:

4 控制器設(shè)計(jì)

最優(yōu)一致性避障問(wèn)題可表述為以下最小化性能指標(biāo):

假設(shè)最優(yōu)代價(jià)函數(shù)

則Hamilton函數(shù)可表示為:

矩陣P滿足Riccati方程:

將矩陣 A，B，R，Q 帶入式(13)，解得:

所以最優(yōu)控制

令 ?H/?U=0，可得:

由式(16)可知，總可以找到一個(gè)足夠小的權(quán)重矩陣M和適當(dāng)?shù)臋?quán)重系數(shù)λ，使得避障勢(shì)能函數(shù)

5 穩(wěn)定性分析

由文獻(xiàn)［9］關(guān)于非二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題證明可以得出:非線性系統(tǒng)Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的穩(wěn)態(tài)解是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，這樣不僅保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且滿足最優(yōu)條件。因此，選取李雅普諾夫函數(shù)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性:

6 仿真驗(yàn)證

多智能體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是無(wú)向連通圖，則拉普拉斯矩陣可以定義為:

假設(shè)5個(gè)智能體初始位置分別為(5，－6)，(8，8)，(－6，－3)，(－2，－6)和(－2，4)，權(quán)值矩陣 M=0.85In，λ=5.24。本文分別對(duì)智能體群在無(wú)障礙物、存在單個(gè)障礙物和多個(gè)障礙物的情況下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

智能體在無(wú)障礙物情況下飛行，飛行軌跡和控制輸入如圖3～圖5所示。

圖3 無(wú)障礙物一致性飛行軌跡Fig.3 Consensus trajectories of five agents without obstacles

圖4 x軸控制輸入Fig.4 Control input on x-axis

圖5 y軸控制輸入Fig.5 Control input on y-axis

由飛行軌跡圖和控制輸入可以得出，飛行器最終匯聚于某一點(diǎn)，設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制律使系統(tǒng)達(dá)到一致性要求，控制輸入逐漸減少為零。

假設(shè)飛行軌跡上存在一個(gè)障礙物，位置坐標(biāo)為(4±1，4±0.5)，軌跡如圖6所示。

圖6 單個(gè)障礙物避障軌跡Fig.6 Trajectories of agents with a single obstacle

從仿真圖可以驗(yàn)證動(dòng)態(tài)勢(shì)能場(chǎng)避障函數(shù)的有效性，能夠使飛行器順利躲避障礙物，達(dá)到系統(tǒng)整體的一致性要求。

假設(shè)系統(tǒng)飛行軌跡上存在3個(gè)障礙物，位置坐標(biāo)分別為(3±1，3±0.5)，(－3±1，－2±0.5)，(6±0.5，6±1)，飛行軌跡如圖7所示。

圖7 多個(gè)障礙物避障軌跡Fig.7 Trajectories of agents with multiple obstacles

仿真結(jié)果表明，在存在多個(gè)障礙物的復(fù)雜環(huán)境中，飛行器依然能夠有效躲避障礙物，實(shí)現(xiàn)一致性要求，達(dá)到期望的目標(biāo)。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)多智能體飛行器的最優(yōu)一致性避障問(wèn)題進(jìn)行了研究，仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的算法能夠有效躲避障礙物，實(shí)現(xiàn)一致性。

本課題待解決的問(wèn)題還有:多個(gè)距離較近障礙物的情況，這種情況下動(dòng)態(tài)勢(shì)能場(chǎng)會(huì)相互影響;飛行器存在通信時(shí)滯問(wèn)題，這必將降低系統(tǒng)的一致性，同時(shí)影響飛行器的避障過(guò)程。

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